登录
11.「2026河南驻马店上蔡月考，★☆」若$n(n≠0)$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx + 4n = 0$的根，则$m - n$的值为（
A.-1
B.1
C.-4
D.4
D
）A.-1
B.1
C.-4
D.4
答案
$\because n(n≠0)$是关于x的一元二次方程$x^2-mx+4n=0$的根，$\therefore n^2-mn+4n=0$，即$n(n-m+4)=0$，$\because n≠0$，$\therefore n-m+4=0$，$\therefore m-n=4$.故选D.
解析
【分析】
解题时首先回忆方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式成立。本题已知n是给定一元二次方程的根，因此第一步先把x=n代入方程得到关于m、n的等式；再结合题目给出的n≠0的条件，对得到的等式因式分解，消去非零的n后整理变形，即可求出m-n的值。
【解析】
∵$n(n≠0)$是关于x的一元二次方程$x^2 - mx + 4n = 0$的根，
∴将$x=n$代入方程得：$n^2 - mn + 4n = 0$，
提取公因式$n$可得：$n(n - m + 4) = 0$，
又
∵$n≠0$，
∴$n - m + 4 = 0$，
移项整理得：$m - n = 4$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.因式分解的应用
3.等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程根的定义的理解与应用，解题的关键是明确方程的根代入原方程可使等式成立，结合已知条件化简即可得到所求代数式的值，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式成立。本题已知n是给定一元二次方程的根，因此第一步先把x=n代入方程得到关于m、n的等式；再结合题目给出的n≠0的条件，对得到的等式因式分解，消去非零的n后整理变形，即可求出m-n的值。
【解析】
∵$n(n≠0)$是关于x的一元二次方程$x^2 - mx + 4n = 0$的根，
∴将$x=n$代入方程得：$n^2 - mn + 4n = 0$，
提取公因式$n$可得：$n(n - m + 4) = 0$，
又
∵$n≠0$，
∴$n - m + 4 = 0$，
移项整理得：$m - n = 4$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.因式分解的应用
3.等式的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对方程根的定义的理解与应用，解题的关键是明确方程的根代入原方程可使等式成立，结合已知条件化简即可得到所求代数式的值，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
12.「2026青海西宁期末，★☆」某停车场的平面示意图如图所示，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等，停车位的占地面积为352平方米.设停车场内车道的宽度为x米，根据题意可列方程为（
A.$(40 - x)(19 - x) = 352$
B.$(40 - 2x)(19 - x) = 352$
C.$(40 - 2x)(19 - 2x) = 352$
D.$(40 - x)(19 - 2x) = 352$
A
）A.$(40 - x)(19 - x) = 352$
B.$(40 - 2x)(19 - x) = 352$
C.$(40 - 2x)(19 - 2x) = 352$
D.$(40 - x)(19 - 2x) = 352$
答案
停车场内车道的宽度为x米，通过平移可知，停车位区域可组成一个矩形，这个矩形的长为$(40-x)$米，宽为$(19-x)$米，由矩形的面积公式可得$(40-x)·(19-x)=352$.故选A.
解析
【分析】
本题为一元二次方程实际应用中的面积问题，解题可采用平移法简化计算：首先明确我们需要用停车位的面积建立等量关系，对于含有等宽车道的不规则图形，可通过平移将分散的停车位拼接成一个规则的矩形，只需确定拼接后矩形的长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
设停车场内车道的宽度为$x$米，利用平移的性质，将上下两排的停车位向中间车道方向平移，可将所有停车位拼接为一个完整的矩形：
1. 确定拼接后矩形的长：停车场总长度为40米，水平方向仅需扣除1个车道的宽度$x$，因此拼接后矩形的长为$(40-x)$米；
2. 确定拼接后矩形的宽：停车场总宽度为19米，垂直方向仅需扣除中间1个车道的宽度$x$，因此拼接后矩形的宽为$(19-x)$米；
已知停车位占地面积为352平方米，根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可列方程为：
$(40-x)(19-x)=352$
因此符合题意的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、平移的性质、矩形面积计算
【点评】
本题是面积类实际应用题的典型题型，解题核心是利用平移将分散的不规则图形转化为规则的矩形，从而降低计算难度，解题时需注意准确判断平移后矩形的长和宽需要扣除的车道数量，避免多减或漏减车道宽度。
【难度系数】
0.7
本题为一元二次方程实际应用中的面积问题，解题可采用平移法简化计算：首先明确我们需要用停车位的面积建立等量关系，对于含有等宽车道的不规则图形，可通过平移将分散的停车位拼接成一个规则的矩形，只需确定拼接后矩形的长和宽，再结合矩形面积公式即可列出方程。
【解析】
设停车场内车道的宽度为$x$米，利用平移的性质，将上下两排的停车位向中间车道方向平移，可将所有停车位拼接为一个完整的矩形：
1. 确定拼接后矩形的长：停车场总长度为40米，水平方向仅需扣除1个车道的宽度$x$，因此拼接后矩形的长为$(40-x)$米；
2. 确定拼接后矩形的宽：停车场总宽度为19米，垂直方向仅需扣除中间1个车道的宽度$x$，因此拼接后矩形的宽为$(19-x)$米；
已知停车位占地面积为352平方米，根据矩形面积公式$面积=长×宽$，可列方程为：
$(40-x)(19-x)=352$
因此符合题意的选项为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用、平移的性质、矩形面积计算
【点评】
本题是面积类实际应用题的典型题型，解题核心是利用平移将分散的不规则图形转化为规则的矩形，从而降低计算难度，解题时需注意准确判断平移后矩形的长和宽需要扣除的车道数量，避免多减或漏减车道宽度。
【难度系数】
0.7
13.「2026吉林长春月考，★☆」若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-8=0(a≠0)$有一个根为$x=2025$，则一元二次方程$a(x+3)^2+bx+3b=8(a≠0)$的一个根为（
A.$x=2022$
B.$x=2023$
C.$x=2025$
D.$x=2028$
A
）A.$x=2022$
B.$x=2023$
C.$x=2025$
D.$x=2028$
答案
方程$a(x+3)^2+bx+3b=8$可整理为$a(x+3)^2+b(x+3)-8=0$，
设$y=x+3$，则方程可化为$ay^2+by-8=0$，
$\because$ 方程$ax^2+bx-8=0$有一个根为$x=2025$，
$\therefore$ 方程$ay^2+by-8=0$的一个根为$y=2025$，即$x+3=2025$，$\therefore x=2022$.故选A.
设$y=x+3$，则方程可化为$ay^2+by-8=0$，
$\because$ 方程$ax^2+bx-8=0$有一个根为$x=2025$，
$\therefore$ 方程$ay^2+by-8=0$的一个根为$y=2025$，即$x+3=2025$，$\therefore x=2022$.故选A.
解析
【分析】
本题可通过整体换元的思路求解。首先观察已知方程和待求方程的结构特征，先对待求方程进行整理变形，将其转化为和已知方程结构完全相同的形式，再利用已知方程的根，通过整体代换求出待求方程的根。具体步骤为：先整理待求方程，提取公因式将含b的项合并，把x+3看作一个整体设为y，此时待求方程就和已知方程形式一致，再根据已知方程的根得到y的值，最后反解x即可。
【解析】
先对一元二次方程$a(x+3)^2+bx+3b=8$进行整理：
将含$b$的项提取公因式，可得$a(x+3)^2+b(x+3)-8=0$。
设$y=x+3$，则上述方程可化为$ay^2+by-8=0$。
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-8=0(a≠0)$有一个根为$x=2025$，因此方程$ay^2+by-8=0$的一个根为$y=2025$，即$x+3=2025$，解得$x=2025-3=2022$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 换元法解方程
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，解题的核心是将待求方程变形为与已知方程结构相同的形式，借助已知条件快速求解，避免了复杂的代入计算，熟练掌握换元思想可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题可通过整体换元的思路求解。首先观察已知方程和待求方程的结构特征，先对待求方程进行整理变形，将其转化为和已知方程结构完全相同的形式，再利用已知方程的根，通过整体代换求出待求方程的根。具体步骤为：先整理待求方程，提取公因式将含b的项合并，把x+3看作一个整体设为y，此时待求方程就和已知方程形式一致，再根据已知方程的根得到y的值，最后反解x即可。
【解析】
先对一元二次方程$a(x+3)^2+bx+3b=8$进行整理：
将含$b$的项提取公因式，可得$a(x+3)^2+b(x+3)-8=0$。
设$y=x+3$，则上述方程可化为$ay^2+by-8=0$。
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx-8=0(a≠0)$有一个根为$x=2025$，因此方程$ay^2+by-8=0$的一个根为$y=2025$，即$x+3=2025$，解得$x=2025-3=2022$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的根的定义
2. 换元法解方程
【点评】
本题侧重考查整体代换的数学思想，解题的核心是将待求方程变形为与已知方程结构相同的形式，借助已知条件快速求解，避免了复杂的代入计算，熟练掌握换元思想可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
14.「2026江西南昌期中，★☆」若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$中的$a,b,c$满足$4a - 2b + c = 0$，则方程必有一根为（
A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=\pm2$
C
）A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x=-2$
D.$x=\pm2$
答案
$\because$ 当x=-2时，$ax^2+bx+c=a·(-2)^2+b·(-2)+c=4a-2b+c=0$，$\therefore$ 方程必有一根为x=-2，故选C.
解析
【分析】
本题解题核心依据是一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以从两个角度思考：一是对比已知等式$4a - 2b + c = 0$和方程$ax^2+bx+c=0$的形式，找到x取何值时，$ax^2+bx+c$能转化为$4a-2b+c$；二是采用代入验证法，将选项中的x值逐一代入方程左边，判断计算结果是否为0，即可确定方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，若x是方程的根，则代入后满足$ax^2+bx+c=0$。
对各选项逐一验证：
当$x=0$时，代入得左边$=a·0^2 + b·0 + c = c≠0$，不符合要求；
当$x=2$时，代入得左边$=a·2^2 + b·2 + c = 4a+2b+c≠4a-2b+c$，不符合要求；
当$x=-2$时，代入得左边$=a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a-2b+c$，结合已知条件$4a-2b+c=0$，可得左边=右边，因此$x=-2$是方程的根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解一元二次方程根的定义，既可以通过对比系数直接推导对应的x值，也可以通过代入法快速验证选项得出答案，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.9
本题解题核心依据是一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以从两个角度思考：一是对比已知等式$4a - 2b + c = 0$和方程$ax^2+bx+c=0$的形式，找到x取何值时，$ax^2+bx+c$能转化为$4a-2b+c$；二是采用代入验证法，将选项中的x值逐一代入方程左边，判断计算结果是否为0，即可确定方程的根。
【解析】
根据一元二次方程根的定义，若x是方程的根，则代入后满足$ax^2+bx+c=0$。
对各选项逐一验证：
当$x=0$时，代入得左边$=a·0^2 + b·0 + c = c≠0$，不符合要求；
当$x=2$时，代入得左边$=a·2^2 + b·2 + c = 4a+2b+c≠4a-2b+c$，不符合要求；
当$x=-2$时，代入得左边$=a·(-2)^2 + b·(-2) + c = 4a-2b+c$，结合已知条件$4a-2b+c=0$，可得左边=右边，因此$x=-2$是方程的根。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解一元二次方程根的定义，既可以通过对比系数直接推导对应的x值，也可以通过代入法快速验证选项得出答案，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.9
15.「2026新疆乌鲁木齐期中，★☆」若关于$x$的一元二次方程$(3a-6)x^2+(a^2-4)x+a+9=0$没有一次项，则$a=$
-2
.答案
答案 -2
解析 $\because$ 该一元二次方程没有一次项，$\therefore a^2-4=0$，且$3a-6≠0$，解得$a=-2$.
解析 $\because$ 该一元二次方程没有一次项，$\therefore a^2-4=0$，且$3a-6≠0$，解得$a=-2$.
解析
【分析】
解题需抓住两个核心限制条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程没有一次项，因此一次项系数为0。先根据两个条件分别列出关于a的关系式，再求解a的取值，最后排除不符合要求的取值即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$3a-6≠0$，解得$a≠2$
又
∵ 方程没有一次项
∴ 一次项系数为0，即$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$
结合$a≠2$的限制条件，最终可得$a=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制，直接得出$a=±2$的错误结论，牢记一元二次方程的构成条件即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题需抓住两个核心限制条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程没有一次项，因此一次项系数为0。先根据两个条件分别列出关于a的关系式，再求解a的取值，最后排除不符合要求的取值即可得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$3a-6≠0$，解得$a≠2$
又
∵ 方程没有一次项
∴ 一次项系数为0，即$a^2-4=0$，解得$a=2$或$a=-2$
结合$a≠2$的限制条件，最终可得$a=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念考察题，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制，直接得出$a=±2$的错误结论，牢记一元二次方程的构成条件即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
16. 学科特色降次法「2026甘肃武威凉州期中，★☆」已知m是方程$x^2 - x - 2025 = 0$的一个根，则$m^3 - 2026m +1$的值为
2026
。答案
答案 2 026
解析 由题意可得$m^2-m-2025=0$，$\therefore m^2=m+2025$，
$\therefore m^3-2026m+1=m(m+2025)-2026m+1=m^2-m+1=m+2025-m+1=2026$.
技巧归纳 本题将$m^2-m-2025=0$变形为$m^2=m+2025$，利用该变形式可以将m的二次式等量代换为一次式，达到降次的目的.
解析 由题意可得$m^2-m-2025=0$，$\therefore m^2=m+2025$，
$\therefore m^3-2026m+1=m(m+2025)-2026m+1=m^2-m+1=m+2025-m+1=2026$.
技巧归纳 本题将$m^2-m-2025=0$变形为$m^2=m+2025$，利用该变形式可以将m的二次式等量代换为一次式，达到降次的目的.
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，将m代入方程可得到关于m的等式，由于所求代数式是含m的三次式，而已知的是m的二次等式，因此可以通过等式变形将$m^2$用含m的一次式表示，再将三次式$m^3$转化为$m· m^2$，代入降次后的式子逐步化简，不需要求出m的具体值，整体代入即可得到结果。
【解析】
$\because$ m是方程$x^2 - x - 2025 = 0$的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 2025 = 0$，即$m^2 = m + 2025$。
对所求代数式变形降次：
$m^3 - 2026m + 1 = m· m^2 - 2026m + 1$
把$m^2 = m + 2025$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= m(m + 2025) - 2026m + 1\\&= m^2 + 2025m - 2026m + 1\\&= m^2 - m + 1\end{aligned}$
再把$m^2 - m = 2025$代入上式：
$原式= 2025 + 1 = 2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义，降次代换，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，核心解题技巧是通过方程变形实现高次幂向低次幂的转化，避免了求解方程根的复杂运算，考查整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
首先根据一元二次方程根的定义，将m代入方程可得到关于m的等式，由于所求代数式是含m的三次式，而已知的是m的二次等式，因此可以通过等式变形将$m^2$用含m的一次式表示，再将三次式$m^3$转化为$m· m^2$，代入降次后的式子逐步化简，不需要求出m的具体值，整体代入即可得到结果。
【解析】
$\because$ m是方程$x^2 - x - 2025 = 0$的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得：$m^2 - m - 2025 = 0$，即$m^2 = m + 2025$。
对所求代数式变形降次：
$m^3 - 2026m + 1 = m· m^2 - 2026m + 1$
把$m^2 = m + 2025$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= m(m + 2025) - 2026m + 1\\&= m^2 + 2025m - 2026m + 1\\&= m^2 - m + 1\end{aligned}$
再把$m^2 - m = 2025$代入上式：
$原式= 2025 + 1 = 2026$
【答案】
2026
【知识点】
一元二次方程根的定义，降次代换，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程根的应用的典型题型，核心解题技巧是通过方程变形实现高次幂向低次幂的转化，避免了求解方程根的复杂运算，考查整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
17. 核心素养推理能力「2026四川资阳安岳期中」定义:如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$,那么我们称这个方程为“和谐”方程;如果一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$,那么我们称这个方程为“美好”方程,如果一个一元二次方程$2x^2+mx+n=0$既是“和谐”方程又是“美好”方程,则$mn$的值为 (
A.2
B.0
C.-2
D.3
B
)A.2
B.0
C.-2
D.3
答案
根据题意得“和谐”方程的一个根为1，“美好”方程的一个根为-1，所以一元二次方程$2x^2+mx+n=0$的根为1和-1，所以$2+m+n=0$，$2-m+n=0$，解得$m=0$，$n=-2$，所以$mn=0$.故选B.
解析
【分析】
首先理解新定义的内涵：“和谐”方程满足$a+b+c=0$，联想将$x=1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，左边恰好为$a+b+c$，可推出“和谐”方程必有根$x=1$；同理“美好”方程满足$a-b+c=0$，将$x=-1$代入方程左边恰好为$a-b+c$，可推出“美好”方程必有根$x=-1$。已知目标方程既是“和谐”又是“美好”方程，说明$x=1$和$x=-1$都是它的根，将两根分别代入方程得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，求解出$m$、$n$后计算$mn$即可。
【解析】
1. 推导特殊根：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
当$x=1$时，左边$=a·1^2 + b·1 + c = a+b+c$，因此“和谐”方程必有一个根为$x=1$；
当$x=-1$时，左边$=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，因此“美好”方程必有一个根为$x=-1$。
2. 代入列方程：
因为$2x^2+mx+n=0$既是“和谐”方程又是“美好”方程，所以$x=1$和$x=-1$都是该方程的根，分别代入得：
$\begin{cases}2×1^2 + m×1 + n = 0 \\2×(-1)^2 + m×(-1) + n = 0 \end{cases}$，化简得$\begin{cases}2 + m + n = 0 ①\\2 - m + n = 0 ②\end{cases}$
3. 解方程组求参数：
①+②得：$4 + 2n = 0$，解得$n=-2$；
将$n=-2$代入①得：$2 + m - 2 = 0$，解得$m=0$。
4. 计算$mn$：
$mn=0×(-2)=0$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 新定义运算
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程根的应用，解题核心是抓住新定义的本质，推导出两类方程对应的特殊根，再代入求解参数，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先理解新定义的内涵：“和谐”方程满足$a+b+c=0$，联想将$x=1$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，左边恰好为$a+b+c$，可推出“和谐”方程必有根$x=1$；同理“美好”方程满足$a-b+c=0$，将$x=-1$代入方程左边恰好为$a-b+c$，可推出“美好”方程必有根$x=-1$。已知目标方程既是“和谐”又是“美好”方程，说明$x=1$和$x=-1$都是它的根，将两根分别代入方程得到关于$m$、$n$的二元一次方程组，求解出$m$、$n$后计算$mn$即可。
【解析】
1. 推导特殊根：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，
当$x=1$时，左边$=a·1^2 + b·1 + c = a+b+c$，因此“和谐”方程必有一个根为$x=1$；
当$x=-1$时，左边$=a·(-1)^2 + b·(-1) + c = a-b+c$，因此“美好”方程必有一个根为$x=-1$。
2. 代入列方程：
因为$2x^2+mx+n=0$既是“和谐”方程又是“美好”方程，所以$x=1$和$x=-1$都是该方程的根，分别代入得：
$\begin{cases}2×1^2 + m×1 + n = 0 \\2×(-1)^2 + m×(-1) + n = 0 \end{cases}$，化简得$\begin{cases}2 + m + n = 0 ①\\2 - m + n = 0 ②\end{cases}$
3. 解方程组求参数：
①+②得：$4 + 2n = 0$，解得$n=-2$；
将$n=-2$代入①得：$2 + m - 2 = 0$，解得$m=0$。
4. 计算$mn$：
$mn=0×(-2)=0$，因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 新定义运算
3. 解二元一次方程组
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程根的应用，解题核心是抓住新定义的本质，推导出两类方程对应的特殊根，再代入求解参数，整体逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
18. 核心素养 运算能力「2026黑龙江牡丹江期中」请阅读下面的材料:已知一元二次方程$x^2+x-1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的2倍.具体解题过程如下:设所求方程的根为$y$,则$y=2x$,即$x=\frac{y}{2}$,把$x=\frac{y}{2}$代入已知方程,得$(\frac{y}{2})^2 + \frac{y}{2} -1=0$,即$\frac{y^2}{4}+\frac{y}{2}-1=0$,整理得$y^2+2y-4=0$.这种用方程的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数).
(1)已知方程$x^2+x-2=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的3倍,则所求方程为
(2)已知方程$2x^2-7x+3=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数,则所求方程为
(3)已知方程$3x^2-2x+1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1.
(1)已知方程$x^2+x-2=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的3倍,则所求方程为
$y^2+3y-18=0$
.(2)已知方程$2x^2-7x+3=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的根的倒数,则所求方程为
$3y^2-7y+2=0$
.(3)已知方程$3x^2-2x+1=0$,求一个一元二次方程,使它的根分别比已知方程的根大1.
答案
(1)$y^2+3y-18=0$.详解:设所求方程的根为y，则$y=3x$，$\therefore x=\frac{y}{3}$，
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程，得$(\frac{y}{3})^2+\frac{y}{3}-2=0$，
即$\frac{y^2}{9}+\frac{y}{3}-2=0$，整理得$y^2+3y-18=0$.
(2)$3y^2-7y+2=0$.详解:设所求方程的根为y，由题易知x=0不是原方程的解，则$y=\frac{1}{x}$，$\therefore x=\frac{1}{y}$，
把$x=\frac{1}{y}$代入已知方程，得$2(\frac{1}{y})^2-7×\frac{1}{y}+3=0$，
即$\frac{2}{y^2}-\frac{7}{y}+3=0$，整理得$3y^2-7y+2=0$.
(3)设所求方程的根为y，则$y=x+1$，$\therefore x=y-1$，
把$x=y-1$代入已知方程，得$3(y-1)^2-2(y-1)+1=0$，
整理得$3y^2-8y+6=0$，$\therefore$ 所求方程为$3y^2-8y+6=0$.
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程，得$(\frac{y}{3})^2+\frac{y}{3}-2=0$，
即$\frac{y^2}{9}+\frac{y}{3}-2=0$，整理得$y^2+3y-18=0$.
(2)$3y^2-7y+2=0$.详解:设所求方程的根为y，由题易知x=0不是原方程的解，则$y=\frac{1}{x}$，$\therefore x=\frac{1}{y}$，
把$x=\frac{1}{y}$代入已知方程，得$2(\frac{1}{y})^2-7×\frac{1}{y}+3=0$，
即$\frac{2}{y^2}-\frac{7}{y}+3=0$，整理得$3y^2-7y+2=0$.
(3)设所求方程的根为y，则$y=x+1$，$\therefore x=y-1$，
把$x=y-1$代入已知方程，得$3(y-1)^2-2(y-1)+1=0$，
整理得$3y^2-8y+6=0$，$\therefore$ 所求方程为$3y^2-8y+6=0$.
解析
【分析】
本题考查利用材料给出的“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路可分为四步：①设所求新方程的根为y，根据题目给定的新根与原方程根x的对应关系，反解出x关于y的表达式；②若涉及分母的情况，先验证原方程无零根，保证表达式有意义；③将x的表达式代入原一元二次方程；④最后整理为二次项系数是正整数的一般形式即可。
【解析】
(1) 设所求方程的根为y，由题意得$y=3x$，即$x=\frac{y}{3}$。
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程$x^2+x-2=0$，得：
$(\frac{y}{3})^2+\frac{y}{3}-2=0$
两边同乘9消去分母，整理得$y^2+3y-18=0$。
(2) 设所求方程的根为y，原方程$2x^2-7x+3=0$的常数项为3≠0，可知x=0不是原方程的根，因此$y=\frac{1}{x}$有意义，即$x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入已知方程，得：
$2(\frac{1}{y})^2-7·\frac{1}{y}+3=0$
两边同乘$y^2$消去分母，整理为二次项系数为正的一般形式：$3y^2-7y+2=0$。
(3) 设所求方程的根为y，由题意得$y=x+1$，即$x=y-1$。
把$x=y-1$代入已知方程$3x^2-2x+1=0$，得：
$3(y-1)^2-2(y-1)+1=0$
展开并合并同类项：
$3(y^2-2y+1)-2y+2+1=0$
$3y^2-6y+3-2y+3=0$
整理得$3y^2-8y+6=0$。
【答案】
(1)$y^2+3y-18=0$
(2)$3y^2-7y+2=0$
(3)$3y^2-8y+6=0$
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是理解“换根法”的替换逻辑，考查信息提取能力和代数运算能力。解题时只要找准新、旧方程根的等量关系，代入后按要求化简即可，涉及倒数换根时注意先验证原方程无零根，避免出现无意义的分母。
【难度系数】
0.7
本题考查利用材料给出的“换根法”构造新的一元二次方程，解题思路可分为四步：①设所求新方程的根为y，根据题目给定的新根与原方程根x的对应关系，反解出x关于y的表达式；②若涉及分母的情况，先验证原方程无零根，保证表达式有意义；③将x的表达式代入原一元二次方程；④最后整理为二次项系数是正整数的一般形式即可。
【解析】
(1) 设所求方程的根为y，由题意得$y=3x$，即$x=\frac{y}{3}$。
把$x=\frac{y}{3}$代入已知方程$x^2+x-2=0$，得：
$(\frac{y}{3})^2+\frac{y}{3}-2=0$
两边同乘9消去分母，整理得$y^2+3y-18=0$。
(2) 设所求方程的根为y，原方程$2x^2-7x+3=0$的常数项为3≠0，可知x=0不是原方程的根，因此$y=\frac{1}{x}$有意义，即$x=\frac{1}{y}$。
把$x=\frac{1}{y}$代入已知方程，得：
$2(\frac{1}{y})^2-7·\frac{1}{y}+3=0$
两边同乘$y^2$消去分母，整理为二次项系数为正的一般形式：$3y^2-7y+2=0$。
(3) 设所求方程的根为y，由题意得$y=x+1$，即$x=y-1$。
把$x=y-1$代入已知方程$3x^2-2x+1=0$，得：
$3(y-1)^2-2(y-1)+1=0$
展开并合并同类项：
$3(y^2-2y+1)-2y+2+1=0$
$3y^2-6y+3-2y+3=0$
整理得$3y^2-8y+6=0$。
【答案】
(1)$y^2+3y-18=0$
(2)$3y^2-7y+2=0$
(3)$3y^2-8y+6=0$
【知识点】
一元二次方程根的定义，换元法，一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是理解“换根法”的替换逻辑，考查信息提取能力和代数运算能力。解题时只要找准新、旧方程根的等量关系，代入后按要求化简即可，涉及倒数换根时注意先验证原方程无零根，避免出现无意义的分母。
【难度系数】
0.7
