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1.「2026河北唐山期末」用直接开平方法解一元二次方程$(x-1)^2=16$时，方程两边同时开平方可以得到（
A.$x-1=16$
B.$x-1=\pm16$
C.$x-1=4$
D.$x-1=\pm4$
D
）A.$x-1=16$
B.$x-1=\pm16$
C.$x-1=4$
D.$x-1=\pm4$
答案
1.D 方程两边同时开平方可以得到x-1=±4.故选D.
解析
【分析】
解这道题首先要回忆直接开平方法的运算规则：对于形如$a^2 = b$（$b≥0$）的式子，$a$是$b$的平方根，有两个互为相反数的结果，即$a=\pm\sqrt{b}$。解题时把$(x-1)$看作一个整体，对应规则里的$a$，等式右边的16是非负数，符合开平方的条件，开平方后右边要取正负两个平方根，再计算$\sqrt{16}$的结果就能得到对应的式子，再匹配选项即可。
【解析】
根据直接开平方法的规则，对于方程$(x-1)^2=16$，将$x-1$视为整体，方程两边同时开平方，由于正数的平方根有两个且互为相反数，可得：
$x-1=\pm\sqrt{16}$
计算得$\sqrt{16}=4$，因此$x-1=\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础考查，解题核心是将含未知数的括号部分看作整体，同时要注意正数开平方需同时取正负两个平方根，避免遗漏负根的情况。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆直接开平方法的运算规则：对于形如$a^2 = b$（$b≥0$）的式子，$a$是$b$的平方根，有两个互为相反数的结果，即$a=\pm\sqrt{b}$。解题时把$(x-1)$看作一个整体，对应规则里的$a$，等式右边的16是非负数，符合开平方的条件，开平方后右边要取正负两个平方根，再计算$\sqrt{16}$的结果就能得到对应的式子，再匹配选项即可。
【解析】
根据直接开平方法的规则，对于方程$(x-1)^2=16$，将$x-1$视为整体，方程两边同时开平方，由于正数的平方根有两个且互为相反数，可得：
$x-1=\pm\sqrt{16}$
计算得$\sqrt{16}=4$，因此$x-1=\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础考查，解题核心是将含未知数的括号部分看作整体，同时要注意正数开平方需同时取正负两个平方根，避免遗漏负根的情况。
【难度系数】
0.9
2.「2026吉林长春期末」方程$x^2 -9=0$的解是（
A.$x_1=x_2=3$
B.$x_1=3,x_2=-3$
C.$x_1=x_2=\sqrt{3}$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
B
）A.$x_1=x_2=3$
B.$x_1=3,x_2=-3$
C.$x_1=x_2=\sqrt{3}$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
答案
2.B $x^2-9=0$,移项得$x^2=9$,直接开平方得$x=\pm3$,即$x_1=3,x_2=-3$.故选B.
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是含未知数的平方项减常数，右边为0，适合用直接开平方法求解。第一步先将常数项移到方程右侧，得到$x^2$等于常数的形式，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对右侧的常数开平方即可得到方程的两个解，最后匹配选项得出答案。
【解析】
对方程$x^2 -9=0$进行求解：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2=9$；
2. 对等式两边直接开平方，根据平方根的性质，9的平方根为$\pm3$，因此$x=\pm3$；
3. 即方程的两个解为$x_1=3,x_2=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，难度较低，掌握直接开平方法的适用条件和平方根的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元二次方程的基础题，解题思路如下：首先观察方程形式，左边是含未知数的平方项减常数，右边为0，适合用直接开平方法求解。第一步先将常数项移到方程右侧，得到$x^2$等于常数的形式，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，对右侧的常数开平方即可得到方程的两个解，最后匹配选项得出答案。
【解析】
对方程$x^2 -9=0$进行求解：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2=9$；
2. 对等式两边直接开平方，根据平方根的性质，9的平方根为$\pm3$，因此$x=\pm3$；
3. 即方程的两个解为$x_1=3,x_2=-3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，难度较低，掌握直接开平方法的适用条件和平方根的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.「2026贵州毕节金沙期中」若关于$x$的方程$(x-m)^2 = n$有实数根，则$n$的取值范围是（
A.$n≥0$
B.$n＞0$
C.$n≤0$
D.$n＜0$
A
）A.$n≥0$
B.$n＞0$
C.$n≤0$
D.$n＜0$
答案
3.A
∵关于x的方程$(x-m)^2=n$有实数根,
∴$n≥0$.故选A.
∵关于x的方程$(x-m)^2=n$有实数根,
∴$n≥0$.故选A.
解析
【分析】
解题时先回忆实数平方的性质：任意实数的平方都是非负数。本题中方程左边是$(x-m)^2$，属于实数的平方，取值必然大于等于0，要使方程存在实数根，等号右边的n的取值需要匹配左边的取值范围，因此只需判断n满足和左边取值范围一致的条件即可。
【解析】
根据平方的非负性可得，对于任意实数x，都有$(x-m)^2 ≥ 0$。
已知关于x的方程$(x-m)^2 = n$有实数根，因此等号右侧的n需要满足$n ≥ 0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平方的非负性，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查实数平方性质的应用，掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆实数平方的性质：任意实数的平方都是非负数。本题中方程左边是$(x-m)^2$，属于实数的平方，取值必然大于等于0，要使方程存在实数根，等号右边的n的取值需要匹配左边的取值范围，因此只需判断n满足和左边取值范围一致的条件即可。
【解析】
根据平方的非负性可得，对于任意实数x，都有$(x-m)^2 ≥ 0$。
已知关于x的方程$(x-m)^2 = n$有实数根，因此等号右侧的n需要满足$n ≥ 0$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
平方的非负性，直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查实数平方性质的应用，掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4.「2026安徽宿州萧县期中」下列解方程正确的是（
A.$x^2=-64$,解:$x=\pm8$
B.$(x-1)^2=36$,解:$x-1=6,\therefore x=7$
C.$x^2=7$,解:$x=\pm\sqrt{7}$
D.$25x^2=1$,解:$25x=\pm1,\therefore x=\pm\frac{1}{25}$
C
）A.$x^2=-64$,解:$x=\pm8$
B.$(x-1)^2=36$,解:$x-1=6,\therefore x=7$
C.$x^2=7$,解:$x=\pm\sqrt{7}$
D.$25x^2=1$,解:$25x=\pm1,\therefore x=\pm\frac{1}{25}$
答案
4.C A.$x^2=-64$没有实数解,故A选项错误;B.$(x-1)^2=36$,解:$x-1=\pm6,\therefore x_1=7,x_2=-5$,故B选项错误;C.$x^2=7$,解:$x=\pm\sqrt{7}$,故C选项正确;D.$25x^2=1$,解:$5x=\pm1,\therefore x=\pm\frac{1}{5}$,故D选项错误.故选C.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路是逐个判断每个选项的解方程过程是否符合直接开平方法的规则：首先，对于形如$a^2=p$的式子，若$p＜0$，则没有实数解；若$p≥0$，开平方时要同时取正负两个平方根，再化简求解，还要注意系数的正确处理。我们依次分析每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由于任何实数的平方都是非负数，因此$x^2=-64$没有实数解，故A选项错误；
B. 对$(x-1)^2=36$开平方，得$x-1=\pm6$，解得$x_1=7$，$x_2=-5$，选项漏了负根的情况，故B选项错误；
C. 对$x^2=7$开平方，7是正数，因此解为$x=\pm\sqrt{7}$，故C选项正确；
D. 对$25x^2=1$变形得$(5x)^2=1$，开平方得$5x=\pm1$，解得$x=\pm\frac{1}{5}$，选项开平方时系数处理错误，故D选项错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法的运算规范，解题时要注意两点：一是负数没有实数平方根，二是开平方时不要漏写负的平方根，还要注意方程中系数的正确处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路是逐个判断每个选项的解方程过程是否符合直接开平方法的规则：首先，对于形如$a^2=p$的式子，若$p＜0$，则没有实数解；若$p≥0$，开平方时要同时取正负两个平方根，再化简求解，还要注意系数的正确处理。我们依次分析每个选项的正误即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由于任何实数的平方都是非负数，因此$x^2=-64$没有实数解，故A选项错误；
B. 对$(x-1)^2=36$开平方，得$x-1=\pm6$，解得$x_1=7$，$x_2=-5$，选项漏了负根的情况，故B选项错误；
C. 对$x^2=7$开平方，7是正数，因此解为$x=\pm\sqrt{7}$，故C选项正确；
D. 对$25x^2=1$变形得$(5x)^2=1$，开平方得$5x=\pm1$，解得$x=\pm\frac{1}{5}$，选项开平方时系数处理错误，故D选项错误。
综上，正确的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法的运算规范，解题时要注意两点：一是负数没有实数平方根，二是开平方时不要漏写负的平方根，还要注意方程中系数的正确处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
5.「2026安徽宿州期中」若一元二次方程$x^2=m$的两个实数根分别是$2a-6$和$3a-4$,则$m$的值是（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
5.B 用直接开平方法解一元二次方程$x^2=m$可知,它的两个根互为相反数,$\therefore 2a-6+3a-4=0$,解得$a=2$,$\therefore$两根为-2和2,$\therefore m=4$,故选B.
解析
【分析】
首先回忆直接开平方法解一元二次方程$x^2=m$的根的特征：当$m≥0$时，方程有两个互为相反数的实数根，即两根之和为0。结合题目给出的两个根$2a-6$和$3a-4$，先利用“互为相反数的两个数和为0”列方程求出$a$的值，再代入求出根的数值，平方后即可得到$m$的值。
【解析】
解：用直接开平方法解一元二次方程$x^2=m$，可知方程的两个实数根互为相反数，因此两根之和为0。
根据题意列方程：$(2a-6)+(3a-4)=0$
合并同类项得：$5a-10=0$
解得：$a=2$
将$a=2$代入两个根：$2a-6=2×2-6=-2$，$3a-4=3×2-4=2$
所以$m=(\pm2)^2=4$，故选B。
【答案】B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；相反数的性质
【点评】
本题解题的核心是掌握直接开平方法所得方程的两根互为相反数的特征，通过列一元一次方程求出参数后即可计算$m$的值，解题思路清晰，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆直接开平方法解一元二次方程$x^2=m$的根的特征：当$m≥0$时，方程有两个互为相反数的实数根，即两根之和为0。结合题目给出的两个根$2a-6$和$3a-4$，先利用“互为相反数的两个数和为0”列方程求出$a$的值，再代入求出根的数值，平方后即可得到$m$的值。
【解析】
解：用直接开平方法解一元二次方程$x^2=m$，可知方程的两个实数根互为相反数，因此两根之和为0。
根据题意列方程：$(2a-6)+(3a-4)=0$
合并同类项得：$5a-10=0$
解得：$a=2$
将$a=2$代入两个根：$2a-6=2×2-6=-2$，$3a-4=3×2-4=2$
所以$m=(\pm2)^2=4$，故选B。
【答案】B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；相反数的性质
【点评】
本题解题的核心是掌握直接开平方法所得方程的两根互为相反数的特征，通过列一元一次方程求出参数后即可计算$m$的值，解题思路清晰，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
6.「2026 四川绵阳平武期中」一元二次方程$\frac{1}{3}(x+3)^2=1$的解是
$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
.答案
6.答案 $x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
解析 方程的两边都乘3,得$(x+3)^2=3$,$\therefore x+3=\pm\sqrt{3}$,$\therefore x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$.
解析 方程的两边都乘3,得$(x+3)^2=3$,$\therefore x+3=\pm\sqrt{3}$,$\therefore x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程形式，左边含有系数$\frac{1}{3}$，第一步先通过等式的性质消去系数，将方程变形为$(x+a)^2=b(b≥0)$的标准形式；再根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；最后分别求解一元一次方程，即可得到原一元二次方程的两个解。
【解析】
解：方程两边同时乘以3，得：
$(x+3)^2=3$
对等式两边开平方，得：
$x+3=\pm\sqrt{3}$
分别求解两个一次方程：
当$x+3=\sqrt{3}$时，$x=-3+\sqrt{3}$；
当$x+3=-\sqrt{3}$时，$x=-3-\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是将含未知数的整体看作平方项，转化为可直接开平方的形式，需注意开平方时要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题适合用直接开平方法求解，解题思路如下：首先观察方程形式，左边含有系数$\frac{1}{3}$，第一步先通过等式的性质消去系数，将方程变形为$(x+a)^2=b(b≥0)$的标准形式；再根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；最后分别求解一元一次方程，即可得到原一元二次方程的两个解。
【解析】
解：方程两边同时乘以3，得：
$(x+3)^2=3$
对等式两边开平方，得：
$x+3=\pm\sqrt{3}$
分别求解两个一次方程：
当$x+3=\sqrt{3}$时，$x=-3+\sqrt{3}$；
当$x+3=-\sqrt{3}$时，$x=-3-\sqrt{3}$。
【答案】
$x_1=-3+\sqrt{3},x_2=-3-\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是将含未知数的整体看作平方项，转化为可直接开平方的形式，需注意开平方时要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
7.若关于$x$的方程$(ax-1)^2 -16=0$的根为$b$,则$ab$的值为
5或-3
.答案
7.答案 5或-3
解析 将$x=b$代入方程$(ax-1)^2-16=0$,得$(ab-1)^2-16=0$,$\therefore (ab-1)^2=16$,$\therefore ab-1=\pm4$,解得$ab=5$或$ab=-3$.
解析 将$x=b$代入方程$(ax-1)^2-16=0$,得$(ab-1)^2-16=0$,$\therefore (ab-1)^2=16$,$\therefore ab-1=\pm4$,解得$ab=5$或$ab=-3$.
解析
【分析】
解题时首先根据方程根的定义，根代入方程可使等式成立，因此先将x=b代入原方程，观察式子可发现ab以整体形式出现，将ab看作一个未知量，运用直接开平方法求解即可，无需单独计算a和b的取值，利用整体思想可简化运算。
【解析】
∵$x=b$是方程$(ax-1)^2 -16=0$的根，
∴将$x=b$代入方程得：$(ab-1)^2 -16=0$，
移项得：$(ab-1)^2=16$，
两边直接开平方得：$ab-1=\pm4$，
当$ab-1=4$时，$ab=5$；
当$ab-1=-4$时，$ab=-3$。
【答案】
5或-3
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法；整体思想
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用方程根的性质代入，结合整体思想简化计算，避免不必要的运算步骤。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据方程根的定义，根代入方程可使等式成立，因此先将x=b代入原方程，观察式子可发现ab以整体形式出现，将ab看作一个未知量，运用直接开平方法求解即可，无需单独计算a和b的取值，利用整体思想可简化运算。
【解析】
∵$x=b$是方程$(ax-1)^2 -16=0$的根，
∴将$x=b$代入方程得：$(ab-1)^2 -16=0$，
移项得：$(ab-1)^2=16$，
两边直接开平方得：$ab-1=\pm4$，
当$ab-1=4$时，$ab=5$；
当$ab-1=-4$时，$ab=-3$。
【答案】
5或-3
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法；整体思想
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用方程根的性质代入，结合整体思想简化计算，避免不必要的运算步骤。
【难度系数】
0.8
8. 学科特色
教材变式 用直接开平方法解方程：
(1)$9x^2 - 100 = 0$.
(2)$(x+3)^2 - 121 = 0$.
(3)$3(2x - 6)^2 = 18$.
教材变式 用直接开平方法解方程：
(1)$9x^2 - 100 = 0$.
(2)$(x+3)^2 - 121 = 0$.
(3)$3(2x - 6)^2 = 18$.
答案
8.解析 (1)$9x^2-100=0$,移项,得$9x^2=100$,系数化为1,得$x^2=\frac{100}{9}$,解得$x=\pm\frac{10}{3}$.
(2)$(x+3)^2-121=0$,移项,得$(x+3)^2=121$,直接开平方,得$x+3=\pm11$,解得$x_1=8,x_2=-14$.
(3)$3(2x-6)^2=18$,整理,得$(2x-6)^2=6$,直接开平方,得$2x-6=\pm\sqrt{6}$,解得$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$.
(2)$(x+3)^2-121=0$,移项,得$(x+3)^2=121$,直接开平方,得$x+3=\pm11$,解得$x_1=8,x_2=-14$.
(3)$3(2x-6)^2=18$,整理,得$(2x-6)^2=6$,直接开平方,得$2x-6=\pm\sqrt{6}$,解得$x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2},x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$.
解析
【分析】
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义开平方，将二次方程降次为一元一次方程求解。解题时按步骤操作：先通过移项、系数化为1，将方程转化为$(mx+n)^2=p$（$p≥0$）的标准形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意开平方后不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$9x^2 - 100 = 0$：
移项，得$9x^2 = 100$，
系数化为1，得$x^2 = \frac{100}{9}$，
直接开平方，得$x = \pm \frac{10}{3}$。
(2) 解方程$(x+3)^2 - 121 = 0$：
移项，得$(x+3)^2 = 121$，
直接开平方，得$x + 3 = \pm 11$，
即$x+3=11$或$x+3=-11$，
解得$x_1=8$，$x_2=-14$。
(3) 解方程$3(2x - 6)^2 = 18$：
系数化为1，得$(2x - 6)^2 = 6$，
直接开平方，得$2x - 6 = \pm \sqrt{6}$，
即$2x = 6 + \sqrt{6}$或$2x = 6 - \sqrt{6}$，
解得$x_1 = \frac{6+\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = \frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{10}{3}$；
(2) $x_1=8$，$x_2=-14$；
(3) $x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，考查对直接开平方法解题步骤的掌握，解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的根，避免漏解，同时计算过程中要注意符号和化简的准确性。
【难度系数】
0.85
用直接开平方法解一元二次方程的核心是先将方程整理为“含未知数的完全平方式=非负常数”的形式，再利用平方根的定义开平方，将二次方程降次为一元一次方程求解。解题时按步骤操作：先通过移项、系数化为1，将方程转化为$(mx+n)^2=p$（$p≥0$）的标准形式，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意开平方后不要遗漏负根。
【解析】
(1) 解方程$9x^2 - 100 = 0$：
移项，得$9x^2 = 100$，
系数化为1，得$x^2 = \frac{100}{9}$，
直接开平方，得$x = \pm \frac{10}{3}$。
(2) 解方程$(x+3)^2 - 121 = 0$：
移项，得$(x+3)^2 = 121$，
直接开平方，得$x + 3 = \pm 11$，
即$x+3=11$或$x+3=-11$，
解得$x_1=8$，$x_2=-14$。
(3) 解方程$3(2x - 6)^2 = 18$：
系数化为1，得$(2x - 6)^2 = 6$，
直接开平方，得$2x - 6 = \pm \sqrt{6}$，
即$2x = 6 + \sqrt{6}$或$2x = 6 - \sqrt{6}$，
解得$x_1 = \frac{6+\sqrt{6}}{2}$，$x_2 = \frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{10}{3}$；
(2) $x_1=8$，$x_2=-14$；
(3) $x_1=\frac{6+\sqrt{6}}{2}$，$x_2=\frac{6-\sqrt{6}}{2}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的定义
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，考查对直接开平方法解题步骤的掌握，解题时需注意开平方后会得到两个互为相反数的根，避免漏解，同时计算过程中要注意符号和化简的准确性。
【难度系数】
0.85
9.「★☆」如图所示的是一个简单的程序计算器，若输出的数值为-10，则输入的x的值为 (
A.-8
B.$2\sqrt{5}-1$ 或 $-2\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}-1$ 或 $-\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}-1$
C
)A.-8
B.$2\sqrt{5}-1$ 或 $-2\sqrt{5}-1$
C.$\sqrt{5}-1$ 或 $-\sqrt{5}-1$
D.$\sqrt{5}-1$
答案
9.C 根据题意,得$(x+1)^2×(-2)=-10$,$\therefore (x+1)^2=5$,$\therefore x+1=\pm\sqrt{5}$,$\therefore x=-1\pm\sqrt{5}$.故选C.
解析
【分析】
首先读懂程序的运算顺序：输入x后，依次执行加1、平方、乘-2的操作，最终得到输出值。解题时先根据该运算顺序列出关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据程序的运算规则，列方程得：
$(x+1)^2 × (-2) = -10$
1. 系数化为1：方程两边同时除以-2，得
$(x+1)^2 = 5$
2. 开平方：等式两边同时开平方，得
$x+1 = \pm\sqrt{5}$
3. 移项求解：
当$x+1=\sqrt{5}$时，$x=\sqrt{5}-1$；
当$x+1=-\sqrt{5}$时，$x=-\sqrt{5}-1$。
因此输入的x的值为$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合程序运算的形式考查一元二次方程的求解，解题关键是准确根据运算顺序列出方程，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先读懂程序的运算顺序：输入x后，依次执行加1、平方、乘-2的操作，最终得到输出值。解题时先根据该运算顺序列出关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据程序的运算规则，列方程得：
$(x+1)^2 × (-2) = -10$
1. 系数化为1：方程两边同时除以-2，得
$(x+1)^2 = 5$
2. 开平方：等式两边同时开平方，得
$x+1 = \pm\sqrt{5}$
3. 移项求解：
当$x+1=\sqrt{5}$时，$x=\sqrt{5}-1$；
当$x+1=-\sqrt{5}$时，$x=-\sqrt{5}-1$。
因此输入的x的值为$\sqrt{5}-1$或$-\sqrt{5}-1$。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合程序运算的形式考查一元二次方程的求解，解题关键是准确根据运算顺序列出方程，求解时注意正数的平方根有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10. 学科特色
换元法「2026江苏无锡滨湖期中，★☆」若关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，则方程$m(x-3)^2 + n = 0$的根是 (
A.2
B.4
C.2或4
D.-2或4
换元法「2026江苏无锡滨湖期中，★☆」若关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为1，则方程$m(x-3)^2 + n = 0$的根是 (
C
)A.2
B.4
C.2或4
D.-2或4
答案
10.C 由题意得$x=1$是$mx^2+n=0$的一个根,则该方程的另一个根为-1,设$y=x-3$,则$m(x-3)^2+n=0$可化为$my^2+n=0$,$\therefore y=x-3=1$或$y=x-3=-1$,解得$x_1=4,x_2=2$.故选C.
技巧归纳 本题将$y=x-3$作为整体看作方程的“新元”,则方程$my^2+n=0$和$mx^2+n=0$的系数相同,故解相同.
技巧归纳 本题将$y=x-3$作为整体看作方程的“新元”,则方程$my^2+n=0$和$mx^2+n=0$的系数相同,故解相同.
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据已知条件，先明确方程$mx^2+n=0$的根，已知一个根为1，结合该方程无一次项的特点，可推出另一个根为-1；再观察待求解的方程$m(x-3)^2 + n = 0$，其结构和第一个方程完全一致，因此可以用换元法，将$x-3$看作整体，令$y=x-3$，则方程转化为$my^2+n=0$，它的解就是$y=1$或$y=-1$，最后反解$x$即可得到所求方程的根。也可以先把$x=1$代入第一个方程得到$m$和$n$的关系，再代入第二个方程用直接开平方法求解，两种方法均符合九年级知识要求，其中换元法利用整体思想更简便。
【解析】
∵ $x=1$是一元二次方程$mx^2 +n=0$的一个根，将$x=1$代入方程得$m·1^2 +n=0$，即$m+n=0$。
方程$mx^2 +n=0$移项得$x^2=-\frac{n}{m}$，结合$m+n=0$可得$-\frac{n}{m}=1$，因此方程$mx^2 +n=0$的两个根为$x=1$和$x=-1$。
设$y=x-3$，则方程$m(x-3)^2 +n=0$可化为$my^2 +n=0$，因此$y$的取值为1或-1，即：
$x-3=1$ 或 $x-3=-1$
分别解得$x_1=4$，$x_2=2$，即方程的根为2或4。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义、换元法、直接开平方法
【点评】
本题是整体思想在一元二次方程求解中的典型应用，核心是发现两个方程的结构共性，通过换元将陌生方程转化为已知解的方程，大幅简化计算过程，也可以通过根的定义推导系数关系后用直接开平方法求解，对整体思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据已知条件，先明确方程$mx^2+n=0$的根，已知一个根为1，结合该方程无一次项的特点，可推出另一个根为-1；再观察待求解的方程$m(x-3)^2 + n = 0$，其结构和第一个方程完全一致，因此可以用换元法，将$x-3$看作整体，令$y=x-3$，则方程转化为$my^2+n=0$，它的解就是$y=1$或$y=-1$，最后反解$x$即可得到所求方程的根。也可以先把$x=1$代入第一个方程得到$m$和$n$的关系，再代入第二个方程用直接开平方法求解，两种方法均符合九年级知识要求，其中换元法利用整体思想更简便。
【解析】
∵ $x=1$是一元二次方程$mx^2 +n=0$的一个根，将$x=1$代入方程得$m·1^2 +n=0$，即$m+n=0$。
方程$mx^2 +n=0$移项得$x^2=-\frac{n}{m}$，结合$m+n=0$可得$-\frac{n}{m}=1$，因此方程$mx^2 +n=0$的两个根为$x=1$和$x=-1$。
设$y=x-3$，则方程$m(x-3)^2 +n=0$可化为$my^2 +n=0$，因此$y$的取值为1或-1，即：
$x-3=1$ 或 $x-3=-1$
分别解得$x_1=4$，$x_2=2$，即方程的根为2或4。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义、换元法、直接开平方法
【点评】
本题是整体思想在一元二次方程求解中的典型应用，核心是发现两个方程的结构共性，通过换元将陌生方程转化为已知解的方程，大幅简化计算过程，也可以通过根的定义推导系数关系后用直接开平方法求解，对整体思想的运用有一定要求。
【难度系数】
0.7
11. 学科特色易错题「2026四川遂宁射洪期末，★☆」已知$(x^2 + y^2 +1)^2=81$，则$x^2 + y^2=$
8
。答案
11.答案 8
解析 $\because (x^2+y^2+1)^2=81$,$\therefore x^2+y^2+1=\pm9$,$\therefore x^2+y^2=8$或$x^2+y^2=-10$(舍去).
易错警示 注意“新元要有新范围”,本题中$x^2+y^2$的值非负.
解析 $\because (x^2+y^2+1)^2=81$,$\therefore x^2+y^2+1=\pm9$,$\therefore x^2+y^2=8$或$x^2+y^2=-10$(舍去).
易错警示 注意“新元要有新范围”,本题中$x^2+y^2$的值非负.
解析
【分析】
解题时先观察等式特征，左边是含$x^2+y^2$的式子的平方，右边是常数，符合直接开平方法的适用形式，因此第一步先对等式两边开平方，得到$x^2+y^2+1$的两个可能取值；其次要注意$x^2$、$y^2$都是非负数，因此它们的和$x^2+y^2$必然是非负的，据此舍去不符合取值范围的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：$\because (x^2 + y^2 +1)^2=81$，
根据平方根的定义，对等式两边开平方得：$x^2 + y^2 +1=\pm9$，
分两种情况计算：
①当$x^2 + y^2 +1=9$时，移项得$x^2 + y^2=9-1=8$；
②当$x^2 + y^2 +1=-9$时，移项得$x^2 + y^2=-9-1=-10$，
$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore x^2 + y^2≥0$，故$x^2 + y^2=-10$不符合题意，舍去。
综上，$x^2 + y^2=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
直接开平方法解方程，平方的非负性
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略$x^2+y^2$的非负性，多写出错误解$-10$，做这类题时要注意挖掘题目中的隐含取值范围，对计算结果进行验证取舍。
【难度系数】
0.7
解题时先观察等式特征，左边是含$x^2+y^2$的式子的平方，右边是常数，符合直接开平方法的适用形式，因此第一步先对等式两边开平方，得到$x^2+y^2+1$的两个可能取值；其次要注意$x^2$、$y^2$都是非负数，因此它们的和$x^2+y^2$必然是非负的，据此舍去不符合取值范围的解，即可得到正确结果。
【解析】
解：$\because (x^2 + y^2 +1)^2=81$，
根据平方根的定义，对等式两边开平方得：$x^2 + y^2 +1=\pm9$，
分两种情况计算：
①当$x^2 + y^2 +1=9$时，移项得$x^2 + y^2=9-1=8$；
②当$x^2 + y^2 +1=-9$时，移项得$x^2 + y^2=-9-1=-10$，
$\because x^2≥0$，$y^2≥0$，$\therefore x^2 + y^2≥0$，故$x^2 + y^2=-10$不符合题意，舍去。
综上，$x^2 + y^2=8$。
【答案】
$8$
【知识点】
直接开平方法解方程，平方的非负性
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略$x^2+y^2$的非负性，多写出错误解$-10$，做这类题时要注意挖掘题目中的隐含取值范围，对计算结果进行验证取舍。
【难度系数】
0.7
12.「2026江苏南京玄武期中，★☆」已知$x_1,x_2$是方程$(x-m)^2=p^2$($m,p$为常数)的两个实数根，若$x_1-x_2=6$，则$p$的值为________.
答案
12.答案 $\pm3$
解析 方程$(x-m)^2=p^2$的两边直接开平方,得$x-m=\pm p$,解得$x_1=m+p,x_2=m-p$,$\therefore |x_1-x_2|=|(m+p)-(m-p)|=|2p|$,$\because x_1-x_2=6$,$\therefore |2p|=|6|$,$\therefore p=\pm3$.
解析 方程$(x-m)^2=p^2$的两边直接开平方,得$x-m=\pm p$,解得$x_1=m+p,x_2=m-p$,$\therefore |x_1-x_2|=|(m+p)-(m-p)|=|2p|$,$\because x_1-x_2=6$,$\therefore |2p|=|6|$,$\therefore p=\pm3$.
解析
【分析】
首先观察方程的结构，方程左边是关于x的完全平方式，右边是平方数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征，因此优先选用直接开平方法求出两个根的表达式；再结合已知的两根差的条件，代入根的表达式建立关于p的等式，求解即可得到p的值，解题时要注意开平方存在正负两种情况，避免漏解。
【解析】
对方程$(x-m)^2=p^2$两边直接开平方，得：
$x-m=\pm p$
分别求解可得方程的两个根为$x_1=m+p$，$x_2=m-p$（或$x_1=m-p$，$x_2=m+p$）
则两根的差为：
$x_1-x_2=(m+p)-(m-p)=2p$，或$x_1-x_2=(m-p)-(m+p)=-2p$
已知$x_1-x_2=6$，因此$|2p|=6$
解得$p=\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练掌握直接开平方法的求解步骤，注意开平方后结果的正负性，避免漏写负解。
【难度系数】
0.8
首先观察方程的结构，方程左边是关于x的完全平方式，右边是平方数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征，因此优先选用直接开平方法求出两个根的表达式；再结合已知的两根差的条件，代入根的表达式建立关于p的等式，求解即可得到p的值，解题时要注意开平方存在正负两种情况，避免漏解。
【解析】
对方程$(x-m)^2=p^2$两边直接开平方，得：
$x-m=\pm p$
分别求解可得方程的两个根为$x_1=m+p$，$x_2=m-p$（或$x_1=m-p$，$x_2=m+p$）
则两根的差为：
$x_1-x_2=(m+p)-(m-p)=2p$，或$x_1-x_2=(m-p)-(m+p)=-2p$
已知$x_1-x_2=6$，因此$|2p|=6$
解得$p=\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质；绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是熟练掌握直接开平方法的求解步骤，注意开平方后结果的正负性，避免漏写负解。
【难度系数】
0.8
13.「2026河南洛阳洛龙期中，★☆」对于实数$p,q$，用符号$\min\{p,q\}$表示$p,q$两数中较小的数，例如$\min\{-2,8\}=-2$，若$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$，则$x=$
-1或2
。答案
13.答案 -1或2
解析 易知$x^2≠(x-1)^2$,$\therefore$分以下两种情况:
①当$(x-1)^2＞x^2$时,$x^2=1$,解得$x=1$或$x=-1$,$x=1$时,$(x-1)^2=0$,不符合要求,舍去;$x=-1$时,$(x-1)^2=4$,符合要求;
②当$(x-1)^2＜x^2$时,$(x-1)^2=1$,解得$x=2$或$x=0$,$x=2$时,$x^2=4$,符合要求;$x=0$时,$x^2=0$,不符合要求,舍去.
综上所述,$x=-1$或$x=2$.
解析 易知$x^2≠(x-1)^2$,$\therefore$分以下两种情况:
①当$(x-1)^2＞x^2$时,$x^2=1$,解得$x=1$或$x=-1$,$x=1$时,$(x-1)^2=0$,不符合要求,舍去;$x=-1$时,$(x-1)^2=4$,符合要求;
②当$(x-1)^2＜x^2$时,$(x-1)^2=1$,解得$x=2$或$x=0$,$x=2$时,$x^2=4$,符合要求;$x=0$时,$x^2=0$,不符合要求,舍去.
综上所述,$x=-1$或$x=2$.
解析
【分析】
首先要正确理解新定义$\min\{p,q\}$的含义，即表示$p,q$中较小的数。已知$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$，说明两个代数式中较小的那个值为1，由于$x^2$和$(x-1)^2$的大小关系不确定，因此需要分两种情况讨论：①假设$x^2$是较小的数，即$x^2＜(x-1)^2$，令$x^2=1$求解后验证是否符合前提；②假设$(x-1)^2$是较小的数，即$(x-1)^2＜x^2$，令$(x-1)^2=1$求解后验证是否符合前提，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
由题意可知，$\min\{x^2,(x-1)^2\}$为$x^2$和$(x-1)^2$中较小的数，且结果为1，分两种情况讨论：
① 当$x^2 ＜ (x-1)^2$时，$x^2=1$，
用直接开平方法解得$x=\pm1$，
检验：当$x=1$时，$(x-1)^2=0 ＜ 1=x^2$，不符合$x^2$更小的前提，舍去；
当$x=-1$时，$(x-1)^2=(-2)^2=4 ＞ 1=x^2$，符合要求；
② 当$(x-1)^2 ＜ x^2$时，$(x-1)^2=1$，
用直接开平方法解得$x-1=\pm1$，即$x=2$或$x=0$，
检验：当$x=0$时，$x^2=0 ＜1=(x-1)^2$，不符合$(x-1)^2$更小的前提，舍去；
当$x=2$时，$x^2=4＞1=(x-1)^2$，符合要求。
综上所述，$x$的值为$-1$或$2$。
【答案】
$-1$或$2$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，合理根据两个代数式的大小关系分类讨论，特别要注意解出方程后需要验证是否符合对应分类的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
首先要正确理解新定义$\min\{p,q\}$的含义，即表示$p,q$中较小的数。已知$\min\{x^2,(x-1)^2\}=1$，说明两个代数式中较小的那个值为1，由于$x^2$和$(x-1)^2$的大小关系不确定，因此需要分两种情况讨论：①假设$x^2$是较小的数，即$x^2＜(x-1)^2$，令$x^2=1$求解后验证是否符合前提；②假设$(x-1)^2$是较小的数，即$(x-1)^2＜x^2$，令$(x-1)^2=1$求解后验证是否符合前提，舍去不符合的解即可得到最终结果。
【解析】
由题意可知，$\min\{x^2,(x-1)^2\}$为$x^2$和$(x-1)^2$中较小的数，且结果为1，分两种情况讨论：
① 当$x^2 ＜ (x-1)^2$时，$x^2=1$，
用直接开平方法解得$x=\pm1$，
检验：当$x=1$时，$(x-1)^2=0 ＜ 1=x^2$，不符合$x^2$更小的前提，舍去；
当$x=-1$时，$(x-1)^2=(-2)^2=4 ＞ 1=x^2$，符合要求；
② 当$(x-1)^2 ＜ x^2$时，$(x-1)^2=1$，
用直接开平方法解得$x-1=\pm1$，即$x=2$或$x=0$，
检验：当$x=0$时，$x^2=0 ＜1=(x-1)^2$，不符合$(x-1)^2$更小的前提，舍去；
当$x=2$时，$x^2=4＞1=(x-1)^2$，符合要求。
综上所述，$x$的值为$-1$或$2$。
【答案】
$-1$或$2$
【知识点】
新定义运算，直接开平方法解方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程的解法，解题的核心是准确理解新定义的运算规则，合理根据两个代数式的大小关系分类讨论，特别要注意解出方程后需要验证是否符合对应分类的前提，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
