1. 学科特色多解法 「2026 四川广元期中」如图,在△ABC中,∠C=70°,沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2的度数为 ()

A.140°
B.180°
C.250°
D.360°

1.C 【解法一】如图,设∠CDE=∠3,∠CED=∠4,
∵ ∠C=70°,
∴ ∠3+∠4=180°-70°=110°,
∵ ∠1+∠3=180°,∠2+∠4=180°,
∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°+180°=360°,
∴ ∠1+∠2=360°-110°=250°.故选C.
【解法二】根据“A 字模型”的结论得∠1+∠2=∠C+180°=70°+180°=250°.故选C.

2.如图，D是$△ ABC$的AC边上一点，$∠ A = ∠ ABD$，$∠ BDC = 150°$，$∠ ABC = 85°$，则$∠ A$的度数为________；$∠ C$的度数为________。

2.答案 75°;20°
解析
∵ ∠BDC 是△ABD 的外角,
∴ ∠BDC=∠A+∠ABD.又
∵ ∠A=∠ABD,∠BDC=150°,
∴ ∠A=75°.
∵ ∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴ ∠C=180°-∠ABC-∠A.
又
∵ ∠ABC=85°,
∴ ∠C=20°.

3. 学科特色多解法「2026江苏南京期末」如图,已知∠BDC=142°,∠B=42°,∠C=20°,则∠A的度数为 ()

A.75°
B.80°
C.90°
D.110°

3.B 【解法一】如图,连接AD,并延长到点E,
∵ ∠BDE=∠B+∠BAE,∠CDE=∠C+∠CAE,
∴ ∠BDC=∠B+∠C+∠BAE+∠CAE=∠B+∠C+∠BAC,
∵ ∠BDC=142°,∠B=42°,∠C=20°,
∴ ∠BAC=∠BDC-∠B-∠C=142°-42°-20°=80°.
【解法二】根据“燕尾模型”的结论可知,∠BDC=∠A+∠B+∠C,
∵ ∠BDC=142°,∠B=42°,∠C=20°,
∴ ∠A=142°-42°-20°=80°.故选B.

4.「2026广东揭阳月考」如图，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P的度数为（）

A.15°
B.20°
C.25°
D.30°

4.B 根据“燕尾模型”的结论可知,∠PCD=∠P+∠D+∠PBD,∠ACD=∠A+∠D+∠ABD,
∴ ∠P=∠PCD-∠PBD-∠D,
∵ BP平分∠ABD,CP平分∠ACD,
∴ ∠PBD=1/2∠ABD,∠PCD=1/2∠ACD,
∵ ∠A=55°,∠D=15°,
∴ ∠P=1/2(∠ACD-∠ABD)-∠D=1/2(∠A+∠D)-∠D=1/2(∠A-∠D)=1/2×(55°-15°)=20°.

5.我们将如图1所示的图形称为“8字型”,根据三角形内角和定理知“8字型”有如下性质:∠A+∠B=∠C+∠D.
【性质理解】如图2,在“8字型”△AOB与△COD中,∠EAO=∠C,∠D=2∠B,求证:∠EAB=∠B.
【性质应用】如图3,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,∠BOD=∠A,若∠ECD比∠DBE大20°,求∠BDO的度数.
【拓展提高】如图4,已知BE,CD是△ABC的角平分线,且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P,设∠A=α,求∠P的度数(用含α的代数式表示∠P).

5.解析 【性质理解】证明:由题意得∠EAO+∠AEO=∠C+∠D,
∵ ∠EAO=∠C,
∴ ∠AEO=∠D,
∵ ∠D=2∠B,
∴ ∠AEO=2∠B,
∵ ∠AEO=∠EAB+∠B,
∴ ∠EAB=∠B.
【性质应用】
∵ ∠ECD 比 ∠DBE 大 20°,∠ECD+∠BEC=∠DBE+∠BDC,
∴ 设∠DBE=x,∠BDC=y,则∠ECD=x+20°,∠BEC=y-20°,
∵ ∠BOD=∠A,
∴ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-∠BOD=x+y,
∴ ∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-∠ECD=x+y-x-20°=y-20°,
∵ ∠ABC+∠DCB+∠BDC=180°,
∴ y-20°+y=180°,解得y=100°,
∴ ∠BDO=100°.
【拓展提高】
∵ BE,CD是△ABC的角平分线,
∴ 设∠ABE=∠CBE=m,∠ACD=∠BCD=n,
∵ ∠A=α,
∴ 2m+2n+α=180°,
∴ m+n=90°-α/2,
∵ ∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P,
∴ ∠CEP=1/2(α+m),∠CDP=1/2(α+n),
∵ ∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P,
∴ ∠P=1/2(α+m)+n-1/2(α+n)=1/2(m+n)
=1/2(90°-α/2)=45°-α/4.