10.「2026安徽滁州期中，★☆」如图所示的是某种可调节躺椅的示意图，AE与BD的交点为C，∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CEF=30°。为了舒适，需调整∠CDF的大小，使∠EFD=120°，且∠CAB，∠CBA，∠CEF保持不变，则图中∠CDF应调整为度。

10.答案 20
解析 延长 DF 交 CE 于点 M(图略),
∵ ∠CAB=50°,∠CBA=60°,
∴ ∠ACB=180°-50°-60°=70°,
∴ ∠DCE=∠ACB=70°,
∵ ∠EFD=∠CEF+∠EMF,∠EMF=∠CDF+∠DCE,
∴ ∠EFD=∠CEF+∠CDF+∠DCE,
∵ ∠CEF=30°,∠EFD=120°,
∴ ∠CDF=120°-30°-70°=20°.故答案为20.

11.「2026山东日照月考，★☆」如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点O，连接CO，△ABC的外角∠ACG的平分线与线段BO的延长线交于点E，OD⊥OC交BC于点D.
下列四个结论:① $OD // CE$;② $∠ E = 90° - \frac{1}{2}∠ BAC$;③ $∠ AOB = ∠ BDO$;④ $∠ ACG = 2∠ AOE$.
其中所有正确的结论为 (填序号).

11.答案 ①③④
解析

∵ ∠ABC 和∠BAC 的平分线交于点 O,
∴ CO 平分∠ACB,
∴ ∠ACO = ∠BCO = $\frac{1}{2}∠ACB$,
∵ CE 平分∠ACG,
∴ ∠ACE = ∠ECG = $\frac{1}{2}∠ACG$,
∴ ∠OCE = ∠ACO + ∠ACE = $\frac{1}{2}∠ACB + \frac{1}{2}∠ACG$ = 90°,
∵ OD⊥OC,
∴ ∠COD=90°=∠OCE,
∴ OD//CE,故结论①正确;
∵ ∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+$\frac{1}{2}∠ABC$,
∠ACG=∠BAC+∠ABC,∠ECG=$\frac{1}{2}∠ACG$,
∴ ∠E + $\frac{1}{2}∠ABC = \frac{1}{2}(∠BAC + ∠ABC)$,
∴ ∠E = $\frac{1}{2}∠BAC$,
故只有当∠BAC=90°时,∠E=90°-$\frac{1}{2}∠BAC$,故结论②错误;
∵ ∠OAB=$\frac{1}{2}∠BAC$,∠ABO=$\frac{1}{2}∠ABC$,
∴ ∠AOB = 180° - $\frac{1}{2}(∠BAC + ∠ABC)$ = 180° - $\frac{1}{2}(180°-∠ACB)$ = 180° - 90° + $\frac{1}{2}∠ACB$ = 90° + $\frac{1}{2}∠ACB$,
∵ ∠BDO = ∠DOC + ∠BCO = 90°+$\frac{1}{2}∠ACB$,
∴ ∠AOB=∠BDO,故结论③正确;
∵ ∠ACG=∠BAC+∠ABC,∠AOE=∠BAO+∠ABO = $\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)$,
∴ ∠ACG=2∠AOE,故结论④正确.
综上所述,所有正确的结论为①③④.

12.「2026江西上饶月考，★☆」如图1，点A,B分别在射线OM,ON上运动(不与点O重合),AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,射线BC交OM于点G.
(1)若∠O=60°,求∠ACG的度数.
(2)如图2,若∠O=72°,过点C作CF//OA交AB于点F,求∠BGO与∠ACF的数量关系.

12.解析 (1)
∵ ∠O=60°,
∴ ∠BAO+∠ABO=180°-60°=120°,
∵ AC,BC分别是∠BAO和∠ABO的平分线,
∴ ∠BAC = $\frac{1}{2}∠BAO$, ∠ABC = $\frac{1}{2}∠ABO$,
∴ ∠ACG = ∠BAC + ∠ABC = $\frac{1}{2}(∠BAO + ∠ABO)$ = $\frac{1}{2}×120°=60°$.
(2)
∵ ∠O = 72°,
∴ ∠BAO + ∠ABO = 180° - 72° = 108°, 同 (1) 可得 ∠ACG = ∠BAC + ∠ABC = $\frac{1}{2}(∠BAO+∠ABO)=\frac{1}{2}×108°=54°$,
∵ CF // OA,
∴ ∠ACF = ∠CAG,
∵ ∠BGO = ∠ACG + ∠CAG,
∴ ∠BGO=54°+∠ACF.故∠BGO与∠ACF的数量关系为∠BGO=54°+∠ACF.

13. 核心素养 推理能力 「2026江西宜春期末」【概念认识】
如图1,在∠ABC中,若∠ABD = ∠DBE = ∠EBC,则BD,BE叫作∠ABC的“三分线”.其中,BD是“邻BA三分线”,BE是“邻BC三分线”.
【问题解决】
(1) 如图1,∠ABC=66°,BD,BE是∠ABC的“三分线”,则∠ABE的度数为.
(2) 如图2,在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,若∠ABC的“三分线”BD交AC于点D,则∠BDC的度数为.
(3) 如图3,在△ABC中,BP,CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻CB三分线”,且∠BPC=140°,求∠A的度数.
【延伸推广】
(4) 在△ABC中,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的“三分线”所在的直线与∠ACD的“三分线”所在的直线交于点P.若∠BAC=α,∠ABC=β,直接写出∠BPC的度数(用含α,β的代数式表示).

13.解析 (1)44°.
(2)75°或90°.
详解:如图,当BD是“邻AB三分线”时,
∵ ∠ABC=45°,∠A=60°,
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 60° + $\frac{1}{3}×45°=75°$;
当BD'是“邻BC三分线”时,
∵ ∠ABC=45°,∠A=60°,
∴ ∠BD'C=∠A+∠ABD'=60°+$\frac{2}{3}×45°=90°$.
(3)
∵ ∠BPC = 140°,
∴ ∠PBC + ∠PCB = 180° - 140°=40°,
∵ BP,CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACB的“邻CB三分线”,
∴ ∠PBC = $\frac{1}{3}∠ABC$, ∠PCB = $\frac{1}{3}∠ACB$,
∴ $\frac{1}{3}∠ABC+\frac{1}{3}∠ACB=40°$,
∴ ∠ABC+∠ACB=120°,
∴ ∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-120°=60°.
(4)∠BPC 的度数是 $\frac{2}{3}α$ 或 $\frac{1}{3}α$ 或 $\frac{2α+β}{3}$ 或 $\frac{α-β}{3}$ 或$\frac{β-α}{3}$.
详解:分情况讨论如下:
①如图1,当BP,CP分别是∠ABC的“邻BA三分线”和∠ACD的“邻CA三分线”时,∠PCD = $\frac{2}{3}(α+β)$,∠PBC=$\frac{2}{3}β$,
∴ ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = $\frac{2}{3}α$;
②如图2,当BP,CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACD的“邻CD三分线”时,∠PCD = $\frac{1}{3}(α+β)$,∠PBC=$\frac{1}{3}β$,
∴ ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = $\frac{1}{3}α$;
③如图3,当BP,CP分别是∠ABC的“邻BC三分线”和∠ACD的“邻CA三分线”时,∠PCD = $\frac{2}{3}(α+β)$,∠PBC=$\frac{1}{3}β$,
∴ ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = $\frac{2α+β}{3}$;
④当BP,CP分别是∠ABC的“邻BA三分线”和∠ACD的“邻CD三分线”时,
如图4,当α＞β时,∠PCD = $\frac{1}{3}(α+β)$,∠PBC=$\frac{2}{3}β$,
∴ ∠BPC = ∠PCD - ∠PBC = $\frac{α-β}{3}$;
如图5,当α＜β时,∠PCB = ∠DCE = $\frac{1}{3}(α+β)$,∠FBC=$\frac{2}{3}β$,
∴ ∠BPC = ∠FBC - ∠PCB = $\frac{β-α}{3}$.
综上所述,∠BPC 的度数是 $\frac{2}{3}α$ 或 $\frac{1}{3}α$ 或 $\frac{2α+β}{3}$ 或 $\frac{α-β}{3}$ 或$\frac{β-α}{3}$.