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1.「2024甘肃兰州中考」计算$2a(a-1)-2a^2 = (\quad)$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$
答案
1.D $2a(a-1)-2a^2 = 2a^2-2a-2a^2 = -2a.$故选 D.
2. 学科特色教材变式「2026河南洛阳期中」一个长方体的长，宽，高分别是$3a+1$，$2a$，$a^2$，则这个长方体的体积是（
A.$6a^2+2$
B.$6a^3+2a$
C.$6a^4+2a^2$
D.$6a^4+2a^3$
D
）A.$6a^2+2$
B.$6a^3+2a$
C.$6a^4+2a^2$
D.$6a^4+2a^3$
答案
2.D $(3a+1) · 2a · a^2 = (3a+1) · 2a^3 = 6a^4+2a^3.$
3. 学科特色易错题 下列计算错误的是 （
A.$-4a(2a^2+3a-1)=-8a^3-12a^2+4a$
B.$a^m(a^m -a^2 +1)=a^{mm}-a^{2m}+a^m$
C.$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1)=-12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2$
D.$(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · (-9a)=-18a^3 +6a^2 +4a$
B
）A.$-4a(2a^2+3a-1)=-8a^3-12a^2+4a$
B.$a^m(a^m -a^2 +1)=a^{mm}-a^{2m}+a^m$
C.$(-3x^2) · (4x^2 - \frac{4}{9}x +1)=-12x^4 + \frac{4}{3}x^3 -3x^2$
D.$(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · (-9a)=-18a^3 +6a^2 +4a$
答案
3.B A.$-4a(2a^2+3a-1)=-8a^3-12a^2+4a$,计算正确,不符合题意;B.$a^m(a^m -a^2 +1)=a^{2m}-a^{m+2}+a^m$,计算错误,符合题意;C.$(-3x^2) · (4x^2 -\frac{4}{9}x +1) = -12x^4 + \frac{4}{3}x^3 - 3x^2$,计算正确,不符合题意;D.$(2a^2 - \frac{2}{3}a - \frac{4}{9}) · (-9a)= -18a^3 +6a^2 +4a$,计算正确,不符合题意.故选 B.
4. 学科特色整体思想「2026海南海口期中」若$x^2 +2x -1=0$，则$4x(x+1)-2x^2 -3$的值为
-1
。答案
4.答案 -1
解析 $\because x^2+2x-1=0,\therefore x^2+2x=1$,
$\therefore$ 原式$=4x^2+4x-2x^2-3=2x^2+4x-3$
$=2(x^2+2x)-3=2×1-3=-1.$
解析 $\because x^2+2x-1=0,\therefore x^2+2x=1$,
$\therefore$ 原式$=4x^2+4x-2x^2-3=2x^2+4x-3$
$=2(x^2+2x)-3=2×1-3=-1.$
5. 情境$\frac{科学技术}{太阳能板}$ 太阳能发电板是航天器的重要供能装置，在航天科技节上，同学们自制了太阳能发电板。已知一块太阳能发电板的发电功率为$(4xy + 2y)\mathrm{kW}$。若该发电板工作了$(3x)^2$小时，则其发电量为 $\underline{\hspace{3cm}}$ $\mathrm{kW·h}$。（发电量=发电功率×发电时间）
答案
5.答案 $(36x^3 y+18x^2 y)$
解析 $\because$ 发电量=发电功率×发电时间,
$\therefore$ 发电量为$(3x)^2 · (4xy+2y) = 9x^2 · (4xy+2y) = (36x^3 y+18x^2 y)\mathrm{kW·h}.$
解析 $\because$ 发电量=发电功率×发电时间,
$\therefore$ 发电量为$(3x)^2 · (4xy+2y) = 9x^2 · (4xy+2y) = (36x^3 y+18x^2 y)\mathrm{kW·h}.$
6.计算：
(1)
(2)$(-2x)^3 · (2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x(2x^3 +4x^2).$
(1)
(2)$(-2x)^3 · (2x^3 - \frac{1}{2}x -1) -2x(2x^3 +4x^2).$
答案
6.解析 (1)原式$=(-\frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}xy - \frac{1}{4}y^2) · 4x^2 y^4$
$=-\frac{1}{2}x^2 · 4x^2 y^4 + \frac{3}{2}xy · 4x^2 y^4 - \frac{1}{4}y^2 · 4x^2 y^4$
$=-2x^4 y^4 +6x^3 y^5 -x^2 y^6.$
(2)原式$=-8x^3 · (2x^3 -\frac{1}{2}x -1)-(4x^4 +8x^3)$
$= -16x^6 +4x^4 +8x^3 -4x^4 -8x^3 = -16x^6.$
$=-\frac{1}{2}x^2 · 4x^2 y^4 + \frac{3}{2}xy · 4x^2 y^4 - \frac{1}{4}y^2 · 4x^2 y^4$
$=-2x^4 y^4 +6x^3 y^5 -x^2 y^6.$
(2)原式$=-8x^3 · (2x^3 -\frac{1}{2}x -1)-(4x^4 +8x^3)$
$= -16x^6 +4x^4 +8x^3 -4x^4 -8x^3 = -16x^6.$
7.「2026湖南衡阳月考，★☆」如果计算$(2 - nx + 3x^2 + mx^3)(-4x^2) + 2x^5$的结果不含$x^5$项，那么$m$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-\frac{1}{4}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-\frac{1}{4}$
答案
7.A $(2-nx+3x^2+mx^3)(-4x^2)+2x^5=-8x^2+4nx^3-12x^4-4mx^5+2x^5=-8x^2+4nx^3-12x^4+(2-4m)x^5$,
$\because$ 计算的结果不含$x^5$项,$\therefore 2-4m=0,\therefore m=\frac{1}{2}.$
$\because$ 计算的结果不含$x^5$项,$\therefore 2-4m=0,\therefore m=\frac{1}{2}.$
8.「2025江苏扬州期中，★☆」某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，因抄错符号，算成了加上$-3x^2$，得到的答案是$x^2-\frac{1}{2}x+1$，那么正确的计算结果应该是
$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
。答案
8.答案 $-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2$
解析 这个多项式是$x^2-\frac{1}{2}x+1-(-3x^2)=4x^2-\frac{1}{2}x+1.$
$(4x^2-\frac{1}{2}x+1) · (-3x^2) = -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 -3x^2.$
$\therefore$ 正确的计算结果是$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2.$
解析 这个多项式是$x^2-\frac{1}{2}x+1-(-3x^2)=4x^2-\frac{1}{2}x+1.$
$(4x^2-\frac{1}{2}x+1) · (-3x^2) = -12x^4 + \frac{3}{2}x^3 -3x^2.$
$\therefore$ 正确的计算结果是$-12x^4+\frac{3}{2}x^3-3x^2.$
9.「2026甘肃陇南期末，★☆」如图所示的是李伯伯家的户型尺寸示意图(单位:米),李伯伯要为厨房和卫生间的地面刷防水材料,若每平方米的防水材料为a元,则至少需要购买
$axy-ax^2+2ay^2$
元的防水材料。答案
9.答案 $(axy-ax^2+2ay^2)$
解析 由题图可知,厨房和卫生间的地面面积之和为$x(3y-x-y)+y(3y-x-y)=2xy-x^2+2y^2-xy=(xy-x^2+2y^2)$平方米,
$\because$ 每平方米的防水材料为$a$元,$\therefore$ 至少需要购买$a(xy-x^2+2y^2)=(axy-ax^2+2ay^2)$元的防水材料.
解析 由题图可知,厨房和卫生间的地面面积之和为$x(3y-x-y)+y(3y-x-y)=2xy-x^2+2y^2-xy=(xy-x^2+2y^2)$平方米,
$\because$ 每平方米的防水材料为$a$元,$\therefore$ 至少需要购买$a(xy-x^2+2y^2)=(axy-ax^2+2ay^2)$元的防水材料.
10. 学科特色 整体思想 「★☆」阅读下列文字,并解决问题.
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)$的值.
解:因为$x^2y=3$,所以$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)=2x^6y^3-6x^4y^2-8x^2y$
$=2(x^2y)^3-6(x^2y)^2-8x^2y=2×3^3-6×3^2-8×3=-24.$
请你用上述方法解决问题:已知$ab=3$,求$(2a^3b^2-3a^2b+4a)·(-2b)$的值.
已知$x^2y=3$,求$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)$的值.
解:因为$x^2y=3$,所以$2xy(x^5y^2-3x^3y-4x)=2x^6y^3-6x^4y^2-8x^2y$
$=2(x^2y)^3-6(x^2y)^2-8x^2y=2×3^3-6×3^2-8×3=-24.$
请你用上述方法解决问题:已知$ab=3$,求$(2a^3b^2-3a^2b+4a)·(-2b)$的值.
答案
10.解析 因为$ab=3$,
所以$(2a^3b^2-3a^2b+4a) · (-2b)$
$= -4a^3b^3+6a^2b^2-8ab$
$= -4(ab)^3+6(ab)^2-8ab$
$= -4×3^3+6×3^2-8×3$
$= -78.$
所以$(2a^3b^2-3a^2b+4a) · (-2b)$
$= -4a^3b^3+6a^2b^2-8ab$
$= -4(ab)^3+6(ab)^2-8ab$
$= -4×3^3+6×3^2-8×3$
$= -78.$
