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11.「2025河南信阳罗山期末，★☆」下列计算错误的是（
A.$0.25°=900''$
B.$125.45°=12\ 545'$
C.$1000''=(\dfrac{5}{18})°$
D.$1.5°=90'$
B
）A.$0.25°=900''$
B.$125.45°=12\ 545'$
C.$1000''=(\dfrac{5}{18})°$
D.$1.5°=90'$
答案
A.$0.25°=(0.25×3\ 600)''=900''$,原计算正确;
B.$125.45°=(125.45×60)'=7\ 527'$,原计算错误;
C.$1\ 000''=(\dfrac{1\ 000}{3\ 600})°=(\dfrac{5}{18})°$,原计算正确;
D.$1.5°=(1.5×60)'=90'$,原计算正确.
故选B.
B.$125.45°=(125.45×60)'=7\ 527'$,原计算错误;
C.$1\ 000''=(\dfrac{1\ 000}{3\ 600})°=(\dfrac{5}{18})°$,原计算正确;
D.$1.5°=(1.5×60)'=90'$,原计算正确.
故选B.
解析
【分析】
本题考查度分秒的单位换算，解题需先明确度、分、秒的换算进率：$1°=60'$，$1'=60''$，即$1°=3600''$。换算规则为：大单位转化为小单位时乘以进率，小单位转化为大单位时除以进率。解题时只需逐一计算每个选项的换算结果，与选项给出的结果对比，即可找出计算错误的选项。
【解析】
对每个选项逐一验证：
A. 将度换算为秒是大单位转小单位，乘进率3600：$0.25°=(0.25×3600)''=900''$，原计算正确；
B. 将度换算为分是大单位转小单位，乘进率60：$125.45°=(125.45×60)'=7527'$，不等于$12545'$，原计算错误；
C. 将秒换算为度是小单位转大单位，除以进率3600：$1000''=(\dfrac{1000}{3600})°=(\dfrac{5}{18})°$，原计算正确；
D. 将度换算为分是大单位转小单位，乘进率60：$1.5°=(1.5×60)'=90'$，原计算正确。
综上，计算错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.度分秒换算 2.角度单位转换
【点评】
本题属于基础题，重点考查角度单位的换算能力，做题的关键是牢记度、分、秒之间是60进制，而非十进制，换算时注意区分乘进率还是除以进率，避免因混淆进率导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查度分秒的单位换算，解题需先明确度、分、秒的换算进率：$1°=60'$，$1'=60''$，即$1°=3600''$。换算规则为：大单位转化为小单位时乘以进率，小单位转化为大单位时除以进率。解题时只需逐一计算每个选项的换算结果，与选项给出的结果对比，即可找出计算错误的选项。
【解析】
对每个选项逐一验证：
A. 将度换算为秒是大单位转小单位，乘进率3600：$0.25°=(0.25×3600)''=900''$，原计算正确；
B. 将度换算为分是大单位转小单位，乘进率60：$125.45°=(125.45×60)'=7527'$，不等于$12545'$，原计算错误；
C. 将秒换算为度是小单位转大单位，除以进率3600：$1000''=(\dfrac{1000}{3600})°=(\dfrac{5}{18})°$，原计算正确；
D. 将度换算为分是大单位转小单位，乘进率60：$1.5°=(1.5×60)'=90'$，原计算正确。
综上，计算错误的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
1.度分秒换算 2.角度单位转换
【点评】
本题属于基础题，重点考查角度单位的换算能力，做题的关键是牢记度、分、秒之间是60进制，而非十进制，换算时注意区分乘进率还是除以进率，避免因混淆进率导致计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 学科特色
多解法「★☆」利用一副三角尺，可以画出的小于平角的角有 （
A.9个
B.10个
C.11个
D.12个
多解法「★☆」利用一副三角尺，可以画出的小于平角的角有 （
C
）A.9个
B.10个
C.11个
D.12个
答案
【解法一】分类计算法：
第一类能画出的角:$30°,45°,60°,90°$;
第二类能画出的角:$30°+45°=75°,30°+90°=120°$,$45°+60°=105°,45°+90°=135°,60°+90°=150°,30°+45°+90°=165°$;
第三类能画出的角:$45°-30°=15°$.
故能画出的小于平角的角共有11个.故选C.
【解法二】最小角求倍法:用一副三角尺可以画出的最小角是$45°-30°=15°$,则$15°$的整数倍的角都可以画出来.因为$180÷15=12$,所以能画出的小于平角的角共有11个.故选C.
第一类能画出的角:$30°,45°,60°,90°$;
第二类能画出的角:$30°+45°=75°,30°+90°=120°$,$45°+60°=105°,45°+90°=135°,60°+90°=150°,30°+45°+90°=165°$;
第三类能画出的角:$45°-30°=15°$.
故能画出的小于平角的角共有11个.故选C.
【解法二】最小角求倍法:用一副三角尺可以画出的最小角是$45°-30°=15°$,则$15°$的整数倍的角都可以画出来.因为$180÷15=12$,所以能画出的小于平角的角共有11个.故选C.
解析
【分析】
解题首先要明确一副三角尺的固有角度为30°、45°、60°、90°，我们要画出的小于平角（180°）的角，本质上是这几个角度通过和、差运算得到的不重复的角度。思考时可以用两种思路：一是分类枚举，分别统计单个直接用的角、多个角相加得到的角、两个角相减得到的角，剔除重复和大于等于180°的角后计数；二是先找到能画出的最小角度，所有符合要求的角都是最小角的整数倍，再统计小于180°的倍数的个数即可。
【解析】
解法一：分类计算法
一副三角尺的基础角为30°、45°、60°、90°。
第一类：直接用单个角画出的角：30°、45°、60°、90°，共4个；
第二类：用角度和画出的角：$30°+45°=75°$，$30°+90°=120°$，$45°+60°=105°$，$45°+90°=135°$，$60°+90°=150°$，$30°+45°+90°=165°$，共6个；
第三类：用角度差画出的角：$45°-30°=15°$，共1个；
以上所有角均小于180°且无重复，总共有$4+6+1=11$个。
解法二：最小角求倍法
首先计算能画出的最小角：$45°-30°=15°$，可知所有能用三角尺画出的角都是15°的整数倍；
平角为180°，$180°÷15°=12$，即15°的1倍到11倍都小于180°，共11个符合要求的角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题是角的运算的典型应用题，解题时要注意分类有序枚举，避免遗漏或重复计数，两种解法中最小角求倍法更为便捷，能有效降低漏数、错数的概率。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确一副三角尺的固有角度为30°、45°、60°、90°，我们要画出的小于平角（180°）的角，本质上是这几个角度通过和、差运算得到的不重复的角度。思考时可以用两种思路：一是分类枚举，分别统计单个直接用的角、多个角相加得到的角、两个角相减得到的角，剔除重复和大于等于180°的角后计数；二是先找到能画出的最小角度，所有符合要求的角都是最小角的整数倍，再统计小于180°的倍数的个数即可。
【解析】
解法一：分类计算法
一副三角尺的基础角为30°、45°、60°、90°。
第一类：直接用单个角画出的角：30°、45°、60°、90°，共4个；
第二类：用角度和画出的角：$30°+45°=75°$，$30°+90°=120°$，$45°+60°=105°$，$45°+90°=135°$，$60°+90°=150°$，$30°+45°+90°=165°$，共6个；
第三类：用角度差画出的角：$45°-30°=15°$，共1个；
以上所有角均小于180°且无重复，总共有$4+6+1=11$个。
解法二：最小角求倍法
首先计算能画出的最小角：$45°-30°=15°$，可知所有能用三角尺画出的角都是15°的整数倍；
平角为180°，$180°÷15°=12$，即15°的1倍到11倍都小于180°，共11个符合要求的角。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题是角的运算的典型应用题，解题时要注意分类有序枚举，避免遗漏或重复计数，两种解法中最小角求倍法更为便捷，能有效降低漏数、错数的概率。
【难度系数】
0.7
13.「2025山东淄博临淄期末，★☆」如图所示的是小明家和学校所在地的简单地图，已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，$OP=4\ \mathrm{cm}$，$C$为$OP$的中点。
(1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？
(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方向上？
(3)若学校距离小明家$400\ \mathrm{m}$，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
(1)图中到小明家距离相同的是哪些地方？
(2)商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么方向上？
(3)若学校距离小明家$400\ \mathrm{m}$，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
答案
(1)因为C为OP的中点,$OP=4\ \mathrm{cm}$,
所以$OC=PC=\dfrac{1}{2}OP=2\ \mathrm{cm}$,
所以$OA=OC＜OB＜OP$,
所以到小明家距离相同的是学校和公园.
(2)由题图得,商场在小明家北偏西$90°-60°=30°$方向上,学校在小明家北偏东$90°-45°=45°$方向上,公园和停车场都在小明家南偏东$90°-30°=60°$方向上.
(3)学校距离小明家400 m,所以商场距离小明家$400×\dfrac{2.5}{2}=500(\ \mathrm{m})$,停车场距离小明家$400×\dfrac{4}{2}=800(\ \mathrm{m})$.
所以$OC=PC=\dfrac{1}{2}OP=2\ \mathrm{cm}$,
所以$OA=OC＜OB＜OP$,
所以到小明家距离相同的是学校和公园.
(2)由题图得,商场在小明家北偏西$90°-60°=30°$方向上,学校在小明家北偏东$90°-45°=45°$方向上,公园和停车场都在小明家南偏东$90°-30°=60°$方向上.
(3)学校距离小明家400 m,所以商场距离小明家$400×\dfrac{2.5}{2}=500(\ \mathrm{m})$,停车场距离小明家$400×\dfrac{4}{2}=800(\ \mathrm{m})$.
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：小明家位置为点O，到小明家距离相同即到点O的线段长度相等。先利用线段中点的性质求出OC的长度，再将OC与OA、OB、OP的长度对比，即可找到距离相同的地点。
2. 第(2)问解题思路：遵循“上北下南，左西右东”的方位规则，结合图中标注的各点与东西方向的夹角，换算为以南北方向为基准的偏角，就能确定各地点的方位。
3. 第(3)问解题思路：先根据学校到小明家的实际距离和对应图上距离，算出图上1cm代表的实际距离，再分别乘商场、停车场对应的图上距离，即可求得实际距离。
【解析】
(1) 已知C为OP的中点，$OP=4\ \mathrm{cm}$，
所以 $OC=PC=\dfrac{1}{2}OP=2\ \mathrm{cm}$，
又已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，
可得$OA=OC＜OB＜OP$，
因此到小明家距离相同的是学校和公园。
(2) 根据方位规则计算：
商场所在线段OB与正西方向夹角为$60°$，与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即商场在小明家北偏西$30°$方向上；
学校所在线段OA与正东方向夹角为$45°$，与正北方向夹角为$90°-45°=45°$，即学校在小明家北偏东$45°$方向上；
公园、停车场所在线段OC、OP与正东方向夹角为$30°$，与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，即公园和停车场都在小明家南偏东$60°$方向上。
(3) 已知学校距离小明家400m，对应图上距离$OA=2\ \mathrm{cm}$，因此图上$1\ \mathrm{cm}$代表的实际距离为$400÷2=200\ \mathrm{m}$。
商场对应图上距离$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，实际距离为$2.5×200=500\ \mathrm{m}$；
停车场对应图上距离$OP=4\ \mathrm{cm}$，实际距离为$4×200=800\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 学校和公园；
(2) 商场在小明家北偏西$30°$方向上，学校在小明家北偏东$45°$方向上，公园和停车场都在小明家南偏东$60°$方向上；
(3) 商场距离小明家500m，停车场距离小明家800m。
【知识点】
方向角识别，线段中点的定义，比例尺计算
【点评】
本题结合生活中的方位场景，将几何知识与实际应用结合，解题关键是掌握方位判定规则、线段中点的性质以及图上距离和实际距离的换算方法，侧重考察基础应用能力。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问解题思路：小明家位置为点O，到小明家距离相同即到点O的线段长度相等。先利用线段中点的性质求出OC的长度，再将OC与OA、OB、OP的长度对比，即可找到距离相同的地点。
2. 第(2)问解题思路：遵循“上北下南，左西右东”的方位规则，结合图中标注的各点与东西方向的夹角，换算为以南北方向为基准的偏角，就能确定各地点的方位。
3. 第(3)问解题思路：先根据学校到小明家的实际距离和对应图上距离，算出图上1cm代表的实际距离，再分别乘商场、停车场对应的图上距离，即可求得实际距离。
【解析】
(1) 已知C为OP的中点，$OP=4\ \mathrm{cm}$，
所以 $OC=PC=\dfrac{1}{2}OP=2\ \mathrm{cm}$，
又已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，
可得$OA=OC＜OB＜OP$，
因此到小明家距离相同的是学校和公园。
(2) 根据方位规则计算：
商场所在线段OB与正西方向夹角为$60°$，与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即商场在小明家北偏西$30°$方向上；
学校所在线段OA与正东方向夹角为$45°$，与正北方向夹角为$90°-45°=45°$，即学校在小明家北偏东$45°$方向上；
公园、停车场所在线段OC、OP与正东方向夹角为$30°$，与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，即公园和停车场都在小明家南偏东$60°$方向上。
(3) 已知学校距离小明家400m，对应图上距离$OA=2\ \mathrm{cm}$，因此图上$1\ \mathrm{cm}$代表的实际距离为$400÷2=200\ \mathrm{m}$。
商场对应图上距离$OB=2.5\ \mathrm{cm}$，实际距离为$2.5×200=500\ \mathrm{m}$；
停车场对应图上距离$OP=4\ \mathrm{cm}$，实际距离为$4×200=800\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 学校和公园；
(2) 商场在小明家北偏西$30°$方向上，学校在小明家北偏东$45°$方向上，公园和停车场都在小明家南偏东$60°$方向上；
(3) 商场距离小明家500m，停车场距离小明家800m。
【知识点】
方向角识别，线段中点的定义，比例尺计算
【点评】
本题结合生活中的方位场景，将几何知识与实际应用结合，解题关键是掌握方位判定规则、线段中点的性质以及图上距离和实际距离的换算方法，侧重考察基础应用能力。
【难度系数】
0.8
14. 核心素养 几何直观 解答下列各题.
(1)如图,在∠AOB中,以O为顶点引射线,填表:
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数
(2)若∠AOB内射线的条数是n,请用含n的式子表示角的总个数.
(3)若∠AOB内射线的条数是2024,则角的总个数为多少?
(1)如图,在∠AOB中,以O为顶点引射线,填表:
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数
3
6
10
15
(2)若∠AOB内射线的条数是n,请用含n的式子表示角的总个数.
(3)若∠AOB内射线的条数是2024,则角的总个数为多少?
答案
(1)填表如下：
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 3 6 10 15
(2)若∠AOB内射线的条数是n,则角的总个数=$\dfrac{1}{2}(n+1)(n+2)$.
(3)当n = 2 024时,$\dfrac{1}{2}(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{2}×2\ 025×2\ 026=2\ 051\ 325$,所以当∠AOB内射线条数是2 024时,角的总个数为2 051 325.
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 3 6 10 15
(2)若∠AOB内射线的条数是n,则角的总个数=$\dfrac{1}{2}(n+1)(n+2)$.
(3)当n = 2 024时,$\dfrac{1}{2}(n+1)(n+2)=\dfrac{1}{2}×2\ 025×2\ 026=2\ 051\ 325$,所以当∠AOB内射线条数是2 024时,角的总个数为2 051 325.
解析
【分析】
解题时先掌握角的有序计数方法，避免重复遗漏：(1)问可通过固定起始边顺次数角，或根据总射线数与角的个数的关系计算；(2)问属于规律探究，从(1)的特殊值出发，归纳出内部有n条射线时，总共有(n+2)条以O为端点的射线，角的总个数是从1到(n+1)的连续正整数和，再用求和公式化简即可；(3)问直接将n=2024代入(2)的代数式计算即可。
【解析】
(1) 当∠AOB内有1条射线时，共3条以O为端点的射线，角的总个数为$2+1=3$；
当∠AOB内有2条射线时，共4条以O为端点的射线，角的总个数为$3+2+1=6$；
当∠AOB内有3条射线时，共5条以O为端点的射线，角的总个数为$4+3+2+1=10$；
当∠AOB内有4条射线时，共6条以O为端点的射线，角的总个数为$5+4+3+2+1=15$。
(2) 若∠AOB内射线的条数是n，则以O为端点的射线总共有$(n+2)$条，每两条射线可组成1个角，角的总个数为连续正整数的和：
$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
(3) 当$n=2024$时，代入式子得：
$\frac{1}{2}(2024+1)(2024+2)=\frac{1}{2}×2025×2026=2051325$。
【答案】
(1) 3，6，10，15；
(2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$；
(3) 2051325
【知识点】
角的计数、规律探究、代数式求值
【点评】
本题从具体的角的计数入手，引导学生从特殊到一般归纳角的个数与内部射线条数的规律，再应用规律解决实际计算问题，考查了几何直观、归纳推理能力和运算能力，计数时按顺序统计避免重复遗漏是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先掌握角的有序计数方法，避免重复遗漏：(1)问可通过固定起始边顺次数角，或根据总射线数与角的个数的关系计算；(2)问属于规律探究，从(1)的特殊值出发，归纳出内部有n条射线时，总共有(n+2)条以O为端点的射线，角的总个数是从1到(n+1)的连续正整数和，再用求和公式化简即可；(3)问直接将n=2024代入(2)的代数式计算即可。
【解析】
(1) 当∠AOB内有1条射线时，共3条以O为端点的射线，角的总个数为$2+1=3$；
当∠AOB内有2条射线时，共4条以O为端点的射线，角的总个数为$3+2+1=6$；
当∠AOB内有3条射线时，共5条以O为端点的射线，角的总个数为$4+3+2+1=10$；
当∠AOB内有4条射线时，共6条以O为端点的射线，角的总个数为$5+4+3+2+1=15$。
(2) 若∠AOB内射线的条数是n，则以O为端点的射线总共有$(n+2)$条，每两条射线可组成1个角，角的总个数为连续正整数的和：
$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(1+n+1)(n+1)}{2}=\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$。
(3) 当$n=2024$时，代入式子得：
$\frac{1}{2}(2024+1)(2024+2)=\frac{1}{2}×2025×2026=2051325$。
【答案】
(1) 3，6，10，15；
(2) $\frac{1}{2}(n+1)(n+2)$；
(3) 2051325
【知识点】
角的计数、规律探究、代数式求值
【点评】
本题从具体的角的计数入手，引导学生从特殊到一般归纳角的个数与内部射线条数的规律，再应用规律解决实际计算问题，考查了几何直观、归纳推理能力和运算能力，计数时按顺序统计避免重复遗漏是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1.「2026江苏泰州月考」钟面上4点整时,时针与分针的夹角为（
A.$120°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$90°$
A
）A.$120°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$90°$
答案
因为每个大格的度数为$360°÷12=30°$,
所以4点整时,时针与分针的夹角为$4×30°=120°$.
故选A.
所以4点整时,时针与分针的夹角为$4×30°=120°$.
故选A.
解析
【分析】
要计算钟面上某一时刻时针与分针的夹角，首先明确钟面是一周角，总度数为360°，且被平均分为12个对应小时的大格，第一步先算出单个大格对应的角度；再判断4点整时分针和时针的位置，数出两者间隔的大格数，用单个大格的角度乘间隔大格数，即可得到夹角的度数。
【解析】
钟面为周角，总度数是360°，被平均分成12个大格，因此每个大格的度数为：
$360°÷12=30°$
4点整时，分针指向12，时针指向4，时针和分针之间共间隔4个大格，因此夹角为：
$4×30°=120°$
故选A。
【答案】A
【知识点】
钟面角计算，角的度量
【点评】
本题是钟面角的基础计算题，解题核心是掌握钟面的结构特征，记住每个大格对应30°的规律，就能快速求解对应时刻的时针分针夹角。
【难度系数】
0.9
要计算钟面上某一时刻时针与分针的夹角，首先明确钟面是一周角，总度数为360°，且被平均分为12个对应小时的大格，第一步先算出单个大格对应的角度；再判断4点整时分针和时针的位置，数出两者间隔的大格数，用单个大格的角度乘间隔大格数，即可得到夹角的度数。
【解析】
钟面为周角，总度数是360°，被平均分成12个大格，因此每个大格的度数为：
$360°÷12=30°$
4点整时，分针指向12，时针指向4，时针和分针之间共间隔4个大格，因此夹角为：
$4×30°=120°$
故选A。
【答案】A
【知识点】
钟面角计算，角的度量
【点评】
本题是钟面角的基础计算题，解题核心是掌握钟面的结构特征，记住每个大格对应30°的规律，就能快速求解对应时刻的时针分针夹角。
【难度系数】
0.9
2.「2026广东东莞期末」从9:00到9:30,分针旋转了
180
度,时针旋转了15
度.答案
180;15
解析 因为分针每分钟走6°,
所以30分钟分针走$30×6°=180°$.
因为时针每分钟走0.5°,
所以30分钟时针走$30×0.5°=15°$.
解析 因为分针每分钟走6°,
所以30分钟分针走$30×6°=180°$.
因为时针每分钟走0.5°,
所以30分钟时针走$30×0.5°=15°$.
解析
【分析】
解题时先回忆钟面的角度特征：整个钟面为周角360°，共分为12个大格、60个小格。首先分别推导分针、时针的旋转速度：分针转一圈为60分钟，可算出每分钟旋转的角度；时针转一圈为12小时（即720分钟，也可按每小时走1个大格推导），算出每分钟旋转的角度。再确定从9:00到9:30经过的时长为30分钟，用时长乘对应指针的旋转速度，就能得到旋转的总角度。
【解析】
1. 计算分针旋转的角度：
分针60分钟旋转一圈（360°），因此每分钟旋转角度为：$360° ÷ 60 = 6°$
30分钟分针旋转的总角度：$30 × 6° = 180°$
2. 计算时针旋转的角度：
时针12小时旋转一圈（360°），因此每小时旋转角度为：$360° ÷ 12 = 30°$，即每分钟旋转角度为$30° ÷ 60 = 0.5°$
30分钟时针旋转的总角度：$30 × 0.5° = 15°$
【答案】
$180$；$15$
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题是角的度量相关的基础常考题，解题核心是牢记分针、时针的旋转速度，结合经过的时间即可快速求出对应旋转角度。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆钟面的角度特征：整个钟面为周角360°，共分为12个大格、60个小格。首先分别推导分针、时针的旋转速度：分针转一圈为60分钟，可算出每分钟旋转的角度；时针转一圈为12小时（即720分钟，也可按每小时走1个大格推导），算出每分钟旋转的角度。再确定从9:00到9:30经过的时长为30分钟，用时长乘对应指针的旋转速度，就能得到旋转的总角度。
【解析】
1. 计算分针旋转的角度：
分针60分钟旋转一圈（360°），因此每分钟旋转角度为：$360° ÷ 60 = 6°$
30分钟分针旋转的总角度：$30 × 6° = 180°$
2. 计算时针旋转的角度：
时针12小时旋转一圈（360°），因此每小时旋转角度为：$360° ÷ 12 = 30°$，即每分钟旋转角度为$30° ÷ 60 = 0.5°$
30分钟时针旋转的总角度：$30 × 0.5° = 15°$
【答案】
$180$；$15$
【知识点】
钟面角计算；角的度量
【点评】
本题是角的度量相关的基础常考题，解题核心是牢记分针、时针的旋转速度，结合经过的时间即可快速求出对应旋转角度。
【难度系数】
0.8
3.「2026陕西宝鸡月考改编」钟表上12时15分时，时针与分针的夹角为
82.5°
.答案
82.5°
解析 因为分针每分钟走6°,
所以15分钟分针走$15×6°=90°$.
因为时针每分钟走0.5°,
所以15分钟时针走$15×0.5°=7.5°$.
所以12时15分时,时针与分针的夹角为$90°-7.5°=82.5°$.
解析 因为分针每分钟走6°,
所以15分钟分针走$15×6°=90°$.
因为时针每分钟走0.5°,
所以15分钟时针走$15×0.5°=7.5°$.
所以12时15分时,时针与分针的夹角为$90°-7.5°=82.5°$.
解析
【分析】
要计算12时15分时针与分针的夹角，首先需要明确钟表上时针和分针的转动速度：钟表一圈为360°，分针60分钟转完一圈，时针12小时（即720分钟）转完一圈，可先分别算出二者每分钟转动的角度；再计算15分钟时分针、时针各自从12时整的位置转过的角度，二者的差值就是此时的夹角。
【解析】
首先计算分针的转动角度：
分针每分钟转动的角度：$360° ÷ 60 = 6°$
15分钟分针转过的角度：$15 × 6° = 90°$
再计算时针的转动角度：
时针每分钟转动的角度：$360° ÷ (12 × 60) = 0.5°$
15分钟时针转过的角度：$15 × 0.5° = 7.5°$
12时整时针与分针重合，因此12时15分的夹角为分针转过角度减去时针转过角度：
$90° - 7.5° = 82.5°$
【答案】
$82.5°$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，易错点是忽略15分钟内时针也会从12的位置发生偏移，误将夹角直接算作90°。
【难度系数】
0.7
要计算12时15分时针与分针的夹角，首先需要明确钟表上时针和分针的转动速度：钟表一圈为360°，分针60分钟转完一圈，时针12小时（即720分钟）转完一圈，可先分别算出二者每分钟转动的角度；再计算15分钟时分针、时针各自从12时整的位置转过的角度，二者的差值就是此时的夹角。
【解析】
首先计算分针的转动角度：
分针每分钟转动的角度：$360° ÷ 60 = 6°$
15分钟分针转过的角度：$15 × 6° = 90°$
再计算时针的转动角度：
时针每分钟转动的角度：$360° ÷ (12 × 60) = 0.5°$
15分钟时针转过的角度：$15 × 0.5° = 7.5°$
12时整时针与分针重合，因此12时15分的夹角为分针转过角度减去时针转过角度：
$90° - 7.5° = 82.5°$
【答案】
$82.5°$
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，易错点是忽略15分钟内时针也会从12的位置发生偏移，误将夹角直接算作90°。
【难度系数】
0.7
4.「2026陕西西安灞桥月考」学校下午活动课的上课时间是17:50，此时钟表
上时针与分针的夹角是
上时针与分针的夹角是125
度。答案
125
解析 钟表里,每个大格的度数为$360°÷12=30°$,
所以17:50时,时针与分针的夹角为$5×30°-\dfrac{50}{60}×30°=150°-25°=125°$.
解析 钟表里,每个大格的度数为$360°÷12=30°$,
所以17:50时,时针与分针的夹角为$5×30°-\dfrac{50}{60}×30°=150°-25°=125°$.
解析
【分析】
要计算17:50钟表上时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，先算出每个大格对应的度数。再确定17:50时分针和时针的位置：分针指向10，时针在5和6之间，不是刚好指向5，需要算出50分钟时针偏移的度数，最后用整格对应的度数减去时针偏移的度数就能得到夹角。
【解析】
首先计算钟面上每个大格的度数：
$360° ÷ 12 = 30°$
17:50时，分针指向数字10，若时针刚好指向数字5，二者间隔$10-5=5$个大格，对应度数为：
$5 × 30° = 150°$
由于分针走50分钟的同时，时针也会向数字6的方向偏移，时针60分钟走1个大格（30°），所以50分钟时针偏移的度数为：
$\frac{50}{60} × 30° = 25°$
因此实际时针与分针的夹角为：
$150° - 25° = 125°$
【答案】
125
【知识点】
1.钟面角计算
2.角的运算
【点评】
本题是钟面角的典型题型，解题的核心是注意时针会随分针的转动发生偏移，不能直接按整点时刻的指针位置计算夹角，掌握时针、分针的转动规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算17:50钟表上时针与分针的夹角，首先明确钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，先算出每个大格对应的度数。再确定17:50时分针和时针的位置：分针指向10，时针在5和6之间，不是刚好指向5，需要算出50分钟时针偏移的度数，最后用整格对应的度数减去时针偏移的度数就能得到夹角。
【解析】
首先计算钟面上每个大格的度数：
$360° ÷ 12 = 30°$
17:50时，分针指向数字10，若时针刚好指向数字5，二者间隔$10-5=5$个大格，对应度数为：
$5 × 30° = 150°$
由于分针走50分钟的同时，时针也会向数字6的方向偏移，时针60分钟走1个大格（30°），所以50分钟时针偏移的度数为：
$\frac{50}{60} × 30° = 25°$
因此实际时针与分针的夹角为：
$150° - 25° = 125°$
【答案】
125
【知识点】
1.钟面角计算
2.角的运算
【点评】
本题是钟面角的典型题型，解题的核心是注意时针会随分针的转动发生偏移，不能直接按整点时刻的指针位置计算夹角，掌握时针、分针的转动规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
