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1.[2023·安徽第8题]如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G。若AF=2，FB=1，则MG=（
A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$
B
）A.$2\sqrt{3}$
B.$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{10}$
答案
1.B
真题再变式
如图,在正方形ABCD中,E为边AD上的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°.若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,则CG的长为（
A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
如图,在正方形ABCD中,E为边AD上的中点,点F在边CD上,且∠BEF=90°.若AB=4,延长EF交BC的延长线于点G,则CG的长为（
D
）A.4.5
B.5
C.5.5
D.6
答案
D
2.[2024·安徽第14题]如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B′，C′处，然后还原.
(1)若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝
(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原.若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为
(1)若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C′NM＝
$90°-α$
.(用含α的式子表示)(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D′处，然后还原.若点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为
$3\sqrt{5}$
.答案
(1)$90°-α$ (2)$3\sqrt{5}$
3. [2024·安徽第22题节选]如图1，$□ ABCD$的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM=CN. 点E，F分别是BD与AN，CM的交点.
(1)求证:OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF.
(ⅰ)如图2，若HE//AB，求证:HF//AD.
(1)求证:OE=OF；
(2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF.
(ⅰ)如图2，若HE//AB，求证:HF//AD.
答案
解:(1)由题意知 $AD// BC,AM// CN,OA=OC.$
由于 $AM=CN$,则四边形 AMCN 是平行四边形,
从而 $AN// CM$,所以$∠ OAE=∠ OCF.$
在$△ AOE$ 与$△ COF$ 中, 因为 $OA=OC,∠ OAE=$$∠ OCF,∠ AOE=∠ COF,$
所以$△ AOE≌△ COF$,故 $OE=OF.$
(2)(ⅰ) 因为 $HE// AB$,所以$\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OE}{OB}.$
又 $OB=OD,OE=OF$,则$\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OF}{OD}.$
由于$∠ HOF=∠ AOD$,故$△ HOF∽△ AOD.$
于是$∠ OHF=∠ OAD$,所以 $HF// AD.$
由于 $AM=CN$,则四边形 AMCN 是平行四边形,
从而 $AN// CM$,所以$∠ OAE=∠ OCF.$
在$△ AOE$ 与$△ COF$ 中, 因为 $OA=OC,∠ OAE=$$∠ OCF,∠ AOE=∠ COF,$
所以$△ AOE≌△ COF$,故 $OE=OF.$
(2)(ⅰ) 因为 $HE// AB$,所以$\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OE}{OB}.$
又 $OB=OD,OE=OF$,则$\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OF}{OD}.$
由于$∠ HOF=∠ AOD$,故$△ HOF∽△ AOD.$
于是$∠ OHF=∠ OAD$,所以 $HF// AD.$
