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8. [2026·合肥蜀山区一模]在$△ ABC$中，$∠ B=2∠ C$，$AB=4$，$AC=6$，则$BC$的长是（
A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{20}{9}$
D.$8$
B
）A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{20}{9}$
D.$8$
答案
8.B
9. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=4$,$BC=3$,$P$,$Q$分别为$AB$,$BC$上的动点,将$△ PQB$沿$PQ$折叠,点$B$的对应点$D$恰好落在边$AC$上.当$△ APD$与$△ ABC$相似时,$AP$的长为
$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$
.答案
9.$\frac{25}{8}$或$\frac{20}{7}$
10. [2024·合肥瑶海区期末]如图，△DAB和△EBC都是等腰三角形，A，B，C三点在一条直线上，DA=DB，EB=EC，∠ABD=∠CBE.
(1)求证:△DAB∽△EBC；
(2)连接AE交DB于点M，连接CD交EB于点N，连接MN，求证:△EMN∽△EAB.
(1)求证:△DAB∽△EBC；
(2)连接AE交DB于点M，连接CD交EB于点N，连接MN，求证:△EMN∽△EAB.
答案
10.证明:(1)略.
(2)由(1)知∠EBC=∠DAB,
∴BE//AD,
∴△BEM∽△DAM,
∴EM:AM=EB:DA.
同理得EN:NB=EC:DB.
∵EB=EC,DA=DB,
∴EM:AM=EN:NB,
∴EM:EA=EN:EB.
∵∠MEN=∠AEB,
∴△EMN∽△EAB.
(2)由(1)知∠EBC=∠DAB,
∴BE//AD,
∴△BEM∽△DAM,
∴EM:AM=EB:DA.
同理得EN:NB=EC:DB.
∵EB=EC,DA=DB,
∴EM:AM=EN:NB,
∴EM:EA=EN:EB.
∵∠MEN=∠AEB,
∴△EMN∽△EAB.
11.小聪和小兰想测量学校实验楼的高度.如图,小聪站在距离实验楼AB为97米的点C处,小兰从C点沿AC方向走3米到达点D处,发现教学楼的顶端B,小聪的头顶F和自己的眼睛点E在同一条直线上.已知小聪的身高CF为1.8米,小兰眼睛到地面AD的距离DE为1.5米,AB⊥AD,CF⊥AD,ED⊥AD,且A,C,D在同一条直线上.求实验楼AB的高度.
答案
11.解:过点E作EG⊥AB于点G,交FC于点Q,过点F作FH⊥AB于点H.
易知四边形CDEQ,CFHA都是矩形,∠EQF=∠BHF=90°,∠B=∠EFC,
∴EQ=CD=3,FH=AC=97,AH=CF=1.8.
易得△EFQ∽△FBH,
∴$\frac{EQ}{FH}=\frac{FQ}{BH}$,即$\frac{3}{97}=\frac{1.8-1.5}{BH}$,解得BH=9.7,
∴AB=BH+AH=9.7+1.8=11.5(米).
答:实验楼AB的高度为11.5米.
易知四边形CDEQ,CFHA都是矩形,∠EQF=∠BHF=90°,∠B=∠EFC,
∴EQ=CD=3,FH=AC=97,AH=CF=1.8.
易得△EFQ∽△FBH,
∴$\frac{EQ}{FH}=\frac{FQ}{BH}$,即$\frac{3}{97}=\frac{1.8-1.5}{BH}$,解得BH=9.7,
∴AB=BH+AH=9.7+1.8=11.5(米).
答:实验楼AB的高度为11.5米.
12. 如图，已知$△ A'B'C'$与$△ ABC$是以点O为位似中心的位似图形，相似比为$3:5$.下列说法错误的是 （
A.$BC// B'C'$
B.$OB':BB'=3:5$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比是$3:5$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的面积比是$9:25$
B
）A.$BC// B'C'$
B.$OB':BB'=3:5$
C.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的周长比是$3:5$
D.$△ A'B'C'$与$△ ABC$的面积比是$9:25$
答案
12.B
13. 根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题.（保留作图痕迹，不写作法）
(1) 如图1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，在网格中求作$△ A_{1}B_{1}C$，使得$△ A_{1}B_{1}C$与$△ ABC$是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形；
(2) 由(1)可知$\frac{S_{△ A_{1}B_{1}C}}{S_{△ ABC}}=$；
(3) 如图2，点D，E都在格点上.在DE上求作一点P，使得$EP:PD=1:3$.
(1) 如图1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，在网格中求作$△ A_{1}B_{1}C$，使得$△ A_{1}B_{1}C$与$△ ABC$是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形；
(2) 由(1)可知$\frac{S_{△ A_{1}B_{1}C}}{S_{△ ABC}}=$；
(3) 如图2，点D，E都在格点上.在DE上求作一点P，使得$EP:PD=1:3$.
答案
解：
(1) 分别延长CA、CB至格点$A_1$、$B_1$，使$CA_1=2CA$，$CB_1=2CB$，连接$A_1B_1$，$△ A_1B_1C$即为所求，保留对应作图痕迹。
(2) $\because △ A_1B_1C$与$△ ABC$的相似比为2，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore \frac{S_{△ A_1B_1C}}{S_{△ ABC}}=4$。
(3) 利用网格格点构造平行线分线段成比例，在DE上作出满足$EP:PD=1:3$的点P，点P即为所求，保留对应作图痕迹。
$\boxed{4}$
(1) 分别延长CA、CB至格点$A_1$、$B_1$，使$CA_1=2CA$，$CB_1=2CB$，连接$A_1B_1$，$△ A_1B_1C$即为所求，保留对应作图痕迹。
(2) $\because △ A_1B_1C$与$△ ABC$的相似比为2，相似三角形的面积比等于相似比的平方，
$\therefore \frac{S_{△ A_1B_1C}}{S_{△ ABC}}=4$。
(3) 利用网格格点构造平行线分线段成比例，在DE上作出满足$EP:PD=1:3$的点P，点P即为所求，保留对应作图痕迹。
$\boxed{4}$
