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7. [2025襄阳期末]已知正比例函数$y=-3mx$，若y随x的增大而增大，则点$P(m,5)$在 (
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
因为 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,所以 $-3m＞0$,所以 $m＜0$,所以点 $P(m,5)$ 在第二象限.
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx(k≠0)$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。第一步结合题目中“$y$随$x$的增大而增大”的条件，列出关于$m$的不等式，求解得到$m$的正负；第二步根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点$P$所在的象限即可。
【解析】
解：$\because$正比例函数$y=-3mx$中，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$比例系数$-3m＞0$，
解得$m＜0$，
$\therefore$点$P(m,5)$的横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$点$P$在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质与象限点坐标特征的综合基础题，解题的核心是利用正比例函数的增减性求出参数$m$的取值范围，再结合坐标符号判断象限，易错点是解不等式时除以负数容易忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx(k≠0)$，当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。第一步结合题目中“$y$随$x$的增大而增大”的条件，列出关于$m$的不等式，求解得到$m$的正负；第二步根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点$P$所在的象限即可。
【解析】
解：$\because$正比例函数$y=-3mx$中，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore$比例系数$-3m＞0$，
解得$m＜0$，
$\therefore$点$P(m,5)$的横坐标为负，纵坐标为正，
$\therefore$点$P$在第二象限。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数性质与象限点坐标特征的综合基础题，解题的核心是利用正比例函数的增减性求出参数$m$的取值范围，再结合坐标符号判断象限，易错点是解不等式时除以负数容易忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
8. [2025咸阳一模]如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点$A(2,m)$,$B(n,3)$,那么一定有（
A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$
D
）A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$
答案
当 $m＞0,n＞0$ 时,$A,B$ 两点均在第一象限,故选项 A 错误;当 $m＞0,n＜0$ 或 $m＜0,n＞0$ 时,$A,B$ 两点无法在同一个正比例函数图象上,故选项 B,C 错误;当 $m＜0,n＜0$ 时,$A,B$ 两点分别在第四、二象限,结合题目知选项 D 正确.
解析
【分析】
解题思路：首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，当$k＞0$时图象过一、三象限，图象上所有点的横、纵坐标同号；当$k＜0$时图象过二、四象限，图象上所有点的横、纵坐标异号。题目已知两点在不同象限，可结合点A、B的已知坐标特征，分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论，也可通过逐个排除不符合象限要求的选项得出结论。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx$（$k\ne 0$），可通过分类讨论或排除法求解：
方法1：分类讨论
1. 若$k＞0$：函数图象过第一、三象限，图象上点的横、纵坐标同号。
点A横坐标$2＞0$，可得$m＞0$，点A在第一象限；点B纵坐标$3＞0$，可得$n＞0$，点B也在第一象限，两点同象限，不符合题意，故$k＞0$不成立。
2. 若$k＜0$：函数图象过第二、四象限，图象上点的横、纵坐标异号。
点A横坐标$2＞0$，可得$m＜0$，点A在第四象限；点B纵坐标$3＞0$，可得$n＜0$，点B在第二象限，两点在不同象限，符合题意。
因此得$m＜0,n＜0$。
方法2：排除法
选项A：$m＞0,n＞0$时，A、B两点均在第一象限，属于同一象限，不符合要求，排除；
选项B：$m＞0$时点A在第一象限，$n＜0$时点B在第二象限，正比例函数图象不可能同时经过第一、二象限，排除；
选项C：$m＜0$时点A在第四象限，$n＞0$时点B在第一象限，正比例函数图象不可能同时经过第一、四象限，排除；
只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象性质；点的坐标与象限
【点评】
本题是正比例函数性质的典型应用题，解题核心是掌握正比例函数图象所在象限、k的符号、图象上点的坐标符号三者的对应关系，既可以通过分类讨论推导结论，也可以用排除法快速解题，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆正比例函数的图象性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图象是过原点的直线，当$k＞0$时图象过一、三象限，图象上所有点的横、纵坐标同号；当$k＜0$时图象过二、四象限，图象上所有点的横、纵坐标异号。题目已知两点在不同象限，可结合点A、B的已知坐标特征，分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论，也可通过逐个排除不符合象限要求的选项得出结论。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx$（$k\ne 0$），可通过分类讨论或排除法求解：
方法1：分类讨论
1. 若$k＞0$：函数图象过第一、三象限，图象上点的横、纵坐标同号。
点A横坐标$2＞0$，可得$m＞0$，点A在第一象限；点B纵坐标$3＞0$，可得$n＞0$，点B也在第一象限，两点同象限，不符合题意，故$k＞0$不成立。
2. 若$k＜0$：函数图象过第二、四象限，图象上点的横、纵坐标异号。
点A横坐标$2＞0$，可得$m＜0$，点A在第四象限；点B纵坐标$3＞0$，可得$n＜0$，点B在第二象限，两点在不同象限，符合题意。
因此得$m＜0,n＜0$。
方法2：排除法
选项A：$m＞0,n＞0$时，A、B两点均在第一象限，属于同一象限，不符合要求，排除；
选项B：$m＞0$时点A在第一象限，$n＜0$时点B在第二象限，正比例函数图象不可能同时经过第一、二象限，排除；
选项C：$m＜0$时点A在第四象限，$n＞0$时点B在第一象限，正比例函数图象不可能同时经过第一、四象限，排除；
只有选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象性质；点的坐标与象限
【点评】
本题是正比例函数性质的典型应用题，解题核心是掌握正比例函数图象所在象限、k的符号、图象上点的坐标符号三者的对应关系，既可以通过分类讨论推导结论，也可以用排除法快速解题，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
9. 教材P37T3变式 [2026合肥瑶海区期中] 已知4个正比例函数$y=k_1x,y=k_2x,y=k_3x,y=k_4x$的图象如图所示，则下列结论成立的是（
A.$k_1 ＞ k_2 ＞ k_3 ＞ k_4$
B.$k_1 ＞ k_2 ＞ k_4 ＞ k_3$
C.$k_2 ＞ k_1 ＞ k_3 ＞ k_4$
D.$k_4 ＞ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1$
A
）A.$k_1 ＞ k_2 ＞ k_3 ＞ k_4$
B.$k_1 ＞ k_2 ＞ k_4 ＞ k_3$
C.$k_2 ＞ k_1 ＞ k_3 ＞ k_4$
D.$k_4 ＞ k_3 ＞ k_2 ＞ k_1$
答案
通解 根据直线经过的象限,知 $k_1＞0,k_2＞0,k_3＜0,k_4＜0$,再根据直线越“陡”,$|k|$ 越大,知 $|k_1|＞|k_2|,|k_4|＞|k_3|$,故 $k_1＞k_2＞k_3＞k_4$.
另解 过点 $(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线,与函数 $y=k_1x,y=k_2x,y=k_3x,y=k_4x$ 的图象分别交于点 $(1,k_1),(1,k_2),(1,k_3),(1,k_4)$,由交点的位置可得 $k_1＞k_2＞k_3＞k_4$.
另解 过点 $(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线,与函数 $y=k_1x,y=k_2x,y=k_3x,y=k_4x$ 的图象分别交于点 $(1,k_1),(1,k_2),(1,k_3),(1,k_4)$,由交点的位置可得 $k_1＞k_2＞k_3＞k_4$.
解析
【分析】
解题时先回忆正比例函数的性质：①k＞0时，函数图象经过第一、三象限；k＜0时，函数图象经过第二、四象限。②k的绝对值越大，函数图象越陡。解题可分两步：第一步先判断四个k的正负，区分开正数和负数；第二步分别比较正数的大小、负数的大小，最后整合得到四个k的大小关系，也可以通过取特殊值x=1，直接比较对应y值（也就是k值）的大小。
【解析】
方法1：根据正比例函数图象性质判断：
1. 判断k的符号：$y=k_1x$、$y=k_2x$的图象经过第一、三象限，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$；$y=k_3x$、$y=k_4x$的图象经过第二、四象限，因此$k_3＜0$，$k_4＜0$。
2. 比较正k的大小：正比例函数中$|k|$越大，图象越陡，观察图象可得$y=k_1x$比$y=k_2x$更陡，因此$|k_1|＞|k_2|$，即$k_1＞k_2$。
3. 比较负k的大小：观察图象可得$y=k_4x$比$y=k_3x$更陡，因此$|k_4|＞|k_3|$，两个负数比较大小，绝对值大的数更小，因此$k_3＞k_4$。
综上可得$k_1＞k_2＞k_3＞k_4$。
方法2：特殊值法：
过x轴上点$(1,0)$作x轴的垂线，分别与四条直线相交，交点坐标为$(1,k_1)$、$(1,k_2)$、$(1,k_3)$、$(1,k_4)$，交点的纵坐标就是对应的k值，观察交点上下位置可得纵坐标大小为$k_1＞k_2＞k_3＞k_4$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质，有理数大小比较
【点评】
本题考查正比例函数中k值与图象的对应关系，既可以通过“象限定正负、陡缓定绝对值大小”的规律判断，也可以用特殊值法快速得到结果，是正比例函数的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正比例函数的性质：①k＞0时，函数图象经过第一、三象限；k＜0时，函数图象经过第二、四象限。②k的绝对值越大，函数图象越陡。解题可分两步：第一步先判断四个k的正负，区分开正数和负数；第二步分别比较正数的大小、负数的大小，最后整合得到四个k的大小关系，也可以通过取特殊值x=1，直接比较对应y值（也就是k值）的大小。
【解析】
方法1：根据正比例函数图象性质判断：
1. 判断k的符号：$y=k_1x$、$y=k_2x$的图象经过第一、三象限，因此$k_1＞0$，$k_2＞0$；$y=k_3x$、$y=k_4x$的图象经过第二、四象限，因此$k_3＜0$，$k_4＜0$。
2. 比较正k的大小：正比例函数中$|k|$越大，图象越陡，观察图象可得$y=k_1x$比$y=k_2x$更陡，因此$|k_1|＞|k_2|$，即$k_1＞k_2$。
3. 比较负k的大小：观察图象可得$y=k_4x$比$y=k_3x$更陡，因此$|k_4|＞|k_3|$，两个负数比较大小，绝对值大的数更小，因此$k_3＞k_4$。
综上可得$k_1＞k_2＞k_3＞k_4$。
方法2：特殊值法：
过x轴上点$(1,0)$作x轴的垂线，分别与四条直线相交，交点坐标为$(1,k_1)$、$(1,k_2)$、$(1,k_3)$、$(1,k_4)$，交点的纵坐标就是对应的k值，观察交点上下位置可得纵坐标大小为$k_1＞k_2＞k_3＞k_4$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数图象性质，有理数大小比较
【点评】
本题考查正比例函数中k值与图象的对应关系，既可以通过“象限定正负、陡缓定绝对值大小”的规律判断，也可以用特殊值法快速得到结果，是正比例函数的基础典型题。
【难度系数】
0.7
10. ▶一题多解 [2026 盐城高新实验中学月考] 对于正比例函数 $ y = kx (k ≠ 0) $，当自变量 $ x $ 的值减小2时，函数 $ y $ 的值增加6，则 $ k $ 的值为
-3
。答案
通解 根据题意,得 $y+6=k(x-2)$,即 $y+6=kx-2k$,而 $y=kx$,所以 $-2k=6$,解得 $k=-3$.
另解 因为正比例函数 $y=kx$ 的图象是一条经过原点的直线,且当自变量 $x$ 的值减小2时,函数 $y$ 的值增加6,所以直线 $y=kx$ 经过第二、四象限,且当 $x=-2$ 时,$y=6$,如图,则 $6=-2k$,解得 $k=-3$.
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：1.代数思路：先把“x减小2，y增加6”的文字描述转化为等式，即变化后的自变量为$x-2$，对应的函数值为$y+6$，二者满足正比例函数解析式，再结合原式$y=kx$消去同类项即可求解；2.图象思路：根据题意可知点$(-2,6)$在函数图象上，将点坐标代入解析式即可求出k值。
【解析】
方法一（代数法）：
根据题意，自变量x减小2时，函数y的值增加6，因此变化后的x、y满足解析式：
$y+6 = k(x-2)$
展开得：$y+6 = kx - 2k$
∵ 原函数为$y=kx$，将其代入上式可得：
$kx + 6 = kx - 2k$
两边消去$kx$后得：$-2k=6$
解得$k=-3$
方法二（图象法）：
由题意得，当$x=-2$时，对应的函数值$y=6$，即点$(-2,6)$在正比例函数$y=kx$的图象上，将$x=-2,y=6$代入解析式：
$6 = -2k$
解得$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数自变量与函数值的对应关系，设置了代数、几何两种解题思路，灵活度较高，有助于学生理解函数解析式与图象的对应关系，巩固正比例函数的相关性质。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：1.代数思路：先把“x减小2，y增加6”的文字描述转化为等式，即变化后的自变量为$x-2$，对应的函数值为$y+6$，二者满足正比例函数解析式，再结合原式$y=kx$消去同类项即可求解；2.图象思路：根据题意可知点$(-2,6)$在函数图象上，将点坐标代入解析式即可求出k值。
【解析】
方法一（代数法）：
根据题意，自变量x减小2时，函数y的值增加6，因此变化后的x、y满足解析式：
$y+6 = k(x-2)$
展开得：$y+6 = kx - 2k$
∵ 原函数为$y=kx$，将其代入上式可得：
$kx + 6 = kx - 2k$
两边消去$kx$后得：$-2k=6$
解得$k=-3$
方法二（图象法）：
由题意得，当$x=-2$时，对应的函数值$y=6$，即点$(-2,6)$在正比例函数$y=kx$的图象上，将$x=-2,y=6$代入解析式：
$6 = -2k$
解得$k=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查正比例函数自变量与函数值的对应关系，设置了代数、几何两种解题思路，灵活度较高，有助于学生理解函数解析式与图象的对应关系，巩固正比例函数的相关性质。
【难度系数】
0.8
11. 易错题 [2026合肥蜀山区期中]已知正比例函数$y = kx$,当$-4 ≤ x ≤ 4$时,函数有最大值3,求$k$的值.
答案
当 $k＞0$ 时,函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大,
所以当 $x=4$ 时,$y=4k=3$,解得 $k=\frac{3}{4}$.
当 $k＜0$ 时,函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
所以当 $x=-4$ 时,$y=-4k=3$,解得 $k=-\frac{3}{4}$.
综上所述,$k$ 的值为 $\frac{3}{4}$ 或 $-\frac{3}{4}$.
所以当 $x=4$ 时,$y=4k=3$,解得 $k=\frac{3}{4}$.
当 $k＜0$ 时,函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小,
所以当 $x=-4$ 时,$y=-4k=3$,解得 $k=-\frac{3}{4}$.
综上所述,$k$ 的值为 $\frac{3}{4}$ 或 $-\frac{3}{4}$.
解析
【分析】
本题考查正比例函数的性质，由于正比例函数的增减性由k的符号决定，题目未给出k的正负，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论：首先根据k的符号判断函数的增减性，再结合x的取值范围确定函数取最大值时对应的x的值，最后代入函数解析式列方程求解k即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的函数值$y$随$x$的增大而增大，
∵ $-4 ≤ x ≤ 4$，
∴ 当$x=4$时，$y$取得最大值3，
代入解析式得：$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$；
② 当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的函数值$y$随$x$的增大而减小，
∵ $-4 ≤ x ≤ 4$，
∴ 当$x=-4$时，$y$取得最大值3，
代入解析式得：$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$。
综上所述，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略k的符号不确定，默认k为正数导致漏解。解题关键是根据k的正负分类讨论，结合函数增减性确定取最大值时对应的自变量取值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.6
本题考查正比例函数的性质，由于正比例函数的增减性由k的符号决定，题目未给出k的正负，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论：首先根据k的符号判断函数的增减性，再结合x的取值范围确定函数取最大值时对应的x的值，最后代入函数解析式列方程求解k即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，正比例函数$y=kx$的函数值$y$随$x$的增大而增大，
∵ $-4 ≤ x ≤ 4$，
∴ 当$x=4$时，$y$取得最大值3，
代入解析式得：$4k=3$，解得$k=\frac{3}{4}$；
② 当$k＜0$时，正比例函数$y=kx$的函数值$y$随$x$的增大而减小，
∵ $-4 ≤ x ≤ 4$，
∴ 当$x=-4$时，$y$取得最大值3，
代入解析式得：$-4k=3$，解得$k=-\frac{3}{4}$。
综上所述，$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$。
【答案】
$k$的值为$\frac{3}{4}$或$-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略k的符号不确定，默认k为正数导致漏解。解题关键是根据k的正负分类讨论，结合函数增减性确定取最大值时对应的自变量取值，再代入计算即可。
【难度系数】
0.6
12. 推理能力 如图,过原点的两条直线分别为 $l_1:y=2x,l_2:y=-x$. 过点$A(1,0)$作$x$轴的垂线,与$l_1$交于点$A_1$,过点$A_1$作$y$轴的垂线,与$l_2$交于点$A_2$,过点$A_2$作$x$轴的垂线,与$l_1$交于点$A_3$,过点$A_3$作$y$轴的垂线,与$l_2$交于点$A_4$,过点$A_4$作$x$轴的垂线,与$l_1$交于点$A_5$……依次进行下去,则点$A_{20}$的坐标为
(1 024, -1 024)
.答案
对于 $y=2x$,当 $x=1$ 时,$y=2$,所以点 $A_1$ 的坐标为 $(1,2)$;对于 $y=-x$,当 $y=2$ 时,$x=-2$,所以点 $A_2$ 的坐标为 $(-2,2)$;同理,可得 $A_3(-2,-4)$,$A_4(4,-4)$,$A_5(4,8)$,$A_6(-8,8)$,$A_7(-8,-16)$,$A_8(16,-16)$,$A_9(16,32)$,…,所以 $A_{4n+1}(2^{2n},2^{2n+1})$,$A_{4n+2}(-2^{2n+1},2^{2n+1})$,$A_{4n+3}(-2^{2n+1},-2^{2n+2})$,$A_{4n+4}(2^{2n+2},-2^{2n+2})$($n$ 为自然数),所以点 $A_{20}$ 的坐标为 $(2^{2×4+2},-2^{2×4+2})$,即 $(2^{10},-2^{10})$,即 $(1\ 024,-1\ 024)$.
解析
【分析】
首先按照题目给出的作图步骤，依次求出前若干个点A₁、A₂、A₃……的坐标，观察坐标的数值变化和符号规律，再判断下标20对应的规律类型，代入对应规律即可求出点A₂₀的坐标。
【解析】
1. 求A₁坐标：过A(1,0)作x轴垂线，此时x=1，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×1=2$，故$A_1(1,2)$；
2. 求A₂坐标：过A₁作y轴垂线，此时y=2，代入$l_2:y=-x$，得$2=-x$即$x=-2$，故$A_2(-2,2)$；
3. 求A₃坐标：过A₂作x轴垂线，此时x=-2，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×(-2)=-4$，故$A_3(-2,-4)$；
4. 求A₄坐标：过A₃作y轴垂线，此时y=-4，代入$l_2:y=-x$，得$-4=-x$即$x=4$，故$A_4(4,-4)$；
5. 同理依次计算得：$A_5(4,8)$、$A_6(-8,8)$、$A_7(-8,-16)$、$A_8(16,-16)$……
6. 总结规律（n为自然数）：
$A_{4n+1}(2^{2n},2^{2n+1})$，$A_{4n+2}(-2^{2n+1},2^{2n+1})$，
$A_{4n+3}(-2^{2n+1},-2^{2n+2})$，$A_{4n+4}(2^{2n+2},-2^{2n+2})$；
7. 代入20判断：$20=4×4+4$，对应$A_{4n+4}$的形式，其中n=4，
代入得横坐标：$2^{2×4+2}=2^{10}=1024$，纵坐标：$-2^{2×4+2}=-2^{10}=-1024$。
【答案】
$(1024,-1024)$
【知识点】
1.正比例函数的性质
2.坐标规律探究
【点评】
本题需要结合正比例函数上点的坐标特征，通过计算前几个点的坐标总结通用规律，再利用规律求解目标点坐标，重点考查逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
首先按照题目给出的作图步骤，依次求出前若干个点A₁、A₂、A₃……的坐标，观察坐标的数值变化和符号规律，再判断下标20对应的规律类型，代入对应规律即可求出点A₂₀的坐标。
【解析】
1. 求A₁坐标：过A(1,0)作x轴垂线，此时x=1，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×1=2$，故$A_1(1,2)$；
2. 求A₂坐标：过A₁作y轴垂线，此时y=2，代入$l_2:y=-x$，得$2=-x$即$x=-2$，故$A_2(-2,2)$；
3. 求A₃坐标：过A₂作x轴垂线，此时x=-2，代入$l_1:y=2x$，得$y=2×(-2)=-4$，故$A_3(-2,-4)$；
4. 求A₄坐标：过A₃作y轴垂线，此时y=-4，代入$l_2:y=-x$，得$-4=-x$即$x=4$，故$A_4(4,-4)$；
5. 同理依次计算得：$A_5(4,8)$、$A_6(-8,8)$、$A_7(-8,-16)$、$A_8(16,-16)$……
6. 总结规律（n为自然数）：
$A_{4n+1}(2^{2n},2^{2n+1})$，$A_{4n+2}(-2^{2n+1},2^{2n+1})$，
$A_{4n+3}(-2^{2n+1},-2^{2n+2})$，$A_{4n+4}(2^{2n+2},-2^{2n+2})$；
7. 代入20判断：$20=4×4+4$，对应$A_{4n+4}$的形式，其中n=4，
代入得横坐标：$2^{2×4+2}=2^{10}=1024$，纵坐标：$-2^{2×4+2}=-2^{10}=-1024$。
【答案】
$(1024,-1024)$
【知识点】
1.正比例函数的性质
2.坐标规律探究
【点评】
本题需要结合正比例函数上点的坐标特征，通过计算前几个点的坐标总结通用规律，再利用规律求解目标点坐标，重点考查逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.6
13. 推理能力 如图,已知四边形ABCD是正方形,点B,C分别在正比例函数$y=2x$和$y=kx$的图象上,点A,D是x轴上的两点.
(1)若此正方形的边长为2,则$k=$
(2)若此正方形的边长为a,则k的值是否会发生变化?若会发生变化,请说明理由;若不会发生变化,试求出k的值.
(1)若此正方形的边长为2,则$k=$
$\frac{2}{3}$
.(2)若此正方形的边长为a,则k的值是否会发生变化?若会发生变化,请说明理由;若不会发生变化,试求出k的值.
答案
(1)$\frac{2}{3}$
因为正方形的边长为2,所以 $AB=CD=AD=2$. 在 $y=2x$ 中,令 $y=2$,得 $x=1$,所以 $OA=1$,所以 $OD=1+2=3$,所以点 $C$ 的坐标为 $(3,2)$. 将点 $C$ 的坐标 $(3,2)$ 代入 $y=kx$,得 $2=3k$,解得 $k=\frac{2}{3}$.
(2)$k$ 的值不会发生变化.
因为正方形的边长为 $a$,所以 $AB=CD=AD=a$.
在 $y=2x$ 中,令 $y=a$,得 $x=\frac{a}{2}$,所以 $OA=\frac{a}{2}$,所以 $OD=\frac{3}{2}a$,
所以点 $C$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}a,a)$.
将点 $C$ 的坐标 $(\frac{3}{2}a,a)$ 代入 $y=kx$,得 $a=k·\frac{3}{2}a$,
解得 $k=\frac{2}{3}$.
因为正方形的边长为2,所以 $AB=CD=AD=2$. 在 $y=2x$ 中,令 $y=2$,得 $x=1$,所以 $OA=1$,所以 $OD=1+2=3$,所以点 $C$ 的坐标为 $(3,2)$. 将点 $C$ 的坐标 $(3,2)$ 代入 $y=kx$,得 $2=3k$,解得 $k=\frac{2}{3}$.
(2)$k$ 的值不会发生变化.
因为正方形的边长为 $a$,所以 $AB=CD=AD=a$.
在 $y=2x$ 中,令 $y=a$,得 $x=\frac{a}{2}$,所以 $OA=\frac{a}{2}$,所以 $OD=\frac{3}{2}a$,
所以点 $C$ 的坐标为 $(\frac{3}{2}a,a)$.
将点 $C$ 的坐标 $(\frac{3}{2}a,a)$ 代入 $y=kx$,得 $a=k·\frac{3}{2}a$,
解得 $k=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题是正比例函数与正方形性质结合的综合基础题，解题思路如下：
1. 求解(1)问时，先利用正方形边长等于点B的纵坐标，代入y=2x求出点B的横坐标，得到OA的长度；再结合正方形边长算出OD的长度，得到点C的坐标，最后将点C坐标代入y=kx即可求出k值。
2. 求解(2)问时，把边长替换为字母a，沿用(1)的思路用a表示出点C的坐标，代入y=kx后化简，观察a是否可消去，即可判断k是否会随边长变化。
【解析】
(1) 已知正方形边长为2，因此$AB=AD=CD=2$。
点B在$y=2x$的图象上，且点B的纵坐标等于AB的长度2，将$y=2$代入$y=2x$，得$2=2x$，解得$x=1$，即$OA=1$。
因此$OD=OA+AD=1+2=3$，即点C的坐标为$(3,2)$。
将$C(3,2)$代入$y=kx$，得$2=3k$，解得$k=\frac{2}{3}$。
(2) k的值不会发生变化，推导如下：
若正方形边长为$a$，则$AB=AD=CD=a$。
点B在$y=2x$的图象上，将$y=a$代入$y=2x$，得$a=2x$，解得$x=\frac{a}{2}$，即$OA=\frac{a}{2}$。
因此$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}$，即点C的坐标为$(\frac{3a}{2},a)$。
将$C(\frac{3a}{2},a)$代入$y=kx$，得$a=k·\frac{3a}{2}$，由于$a≠0$，两边同时除以$a$可得$1=\frac{3k}{2}$，解得$k=\frac{2}{3}$，因此k的值不随正方形边长变化。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$
(2) k的值不会发生变化，$k=\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，正方形的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合了几何图形性质和函数知识，解题核心是通过正方形的边长推导对应点的坐标特征，结合函数表达式求出未知点坐标后用待定系数法求解参数，重在考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题是正比例函数与正方形性质结合的综合基础题，解题思路如下：
1. 求解(1)问时，先利用正方形边长等于点B的纵坐标，代入y=2x求出点B的横坐标，得到OA的长度；再结合正方形边长算出OD的长度，得到点C的坐标，最后将点C坐标代入y=kx即可求出k值。
2. 求解(2)问时，把边长替换为字母a，沿用(1)的思路用a表示出点C的坐标，代入y=kx后化简，观察a是否可消去，即可判断k是否会随边长变化。
【解析】
(1) 已知正方形边长为2，因此$AB=AD=CD=2$。
点B在$y=2x$的图象上，且点B的纵坐标等于AB的长度2，将$y=2$代入$y=2x$，得$2=2x$，解得$x=1$，即$OA=1$。
因此$OD=OA+AD=1+2=3$，即点C的坐标为$(3,2)$。
将$C(3,2)$代入$y=kx$，得$2=3k$，解得$k=\frac{2}{3}$。
(2) k的值不会发生变化，推导如下：
若正方形边长为$a$，则$AB=AD=CD=a$。
点B在$y=2x$的图象上，将$y=a$代入$y=2x$，得$a=2x$，解得$x=\frac{a}{2}$，即$OA=\frac{a}{2}$。
因此$OD=OA+AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}$，即点C的坐标为$(\frac{3a}{2},a)$。
将$C(\frac{3a}{2},a)$代入$y=kx$，得$a=k·\frac{3a}{2}$，由于$a≠0$，两边同时除以$a$可得$1=\frac{3k}{2}$，解得$k=\frac{2}{3}$，因此k的值不随正方形边长变化。
【答案】
(1) $\frac{2}{3}$
(2) k的值不会发生变化，$k=\frac{2}{3}$
【知识点】
正比例函数的图象与性质，正方形的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合了几何图形性质和函数知识，解题核心是通过正方形的边长推导对应点的坐标特征，结合函数表达式求出未知点坐标后用待定系数法求解参数，重在考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
