8. [2026六安期末]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（）


A.2
B.3
C.4
D.5

8 B 在△ACD中,AD = CD = 2,根据三角形三边关系(三角形中任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边)可知,0 ＜ AC ＜ 4,
∴当△ABC为等腰三角形时,AC的长为3.

【分析】
解题分两步思考：①先根据△ACD的已知边长，利用三角形三边关系确定对角线AC的取值范围；②再梳理△ABC为等腰三角形的所有可能情况，结合AC的取值范围排除不符合条件的结果，最终得到AC的长度。
【解析】
首先在△ACD中，已知AD=CD=2，根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得：
$2-2 ＜ AC ＜ 2+2$，即$0 ＜ AC ＜ 4$。
再分析△ABC为等腰三角形的情况：△ABC中AB=3，BC=4，若△ABC为等腰三角形，共有三种可能：
1. $AC=AB=3$，符合$0＜AC＜4$的范围，成立；
2. $AC=BC=4$，不符合$AC＜4$的要求，排除；
3. $AB=BC$，显然$3≠4$，该情况不成立。
综上，AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系；等腰三角形的定义
【点评】
本题是基础综合题，解题的关键是先通过已知的△ACD限定AC的取值范围，再结合等腰三角形的特征筛选符合要求的边长，避免忽略边长限制直接选择等腰可能的边长导致错选。
【难度系数】
0.7

9. [2026 宣城宣州区期中] 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 2a ＜ 0①, \\ 2x - 1 ≥ 7②\end{cases}$，至少有三个整数解，且存在以3，$a$，5为边的三角形，则$a$的整数解有（ ）

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

9 B 解题思路:根据不等式组至少有三个整数解,可得a ＞ 3,再根据存在以3,a,5为边的三角形,可得2 ＜ a ＜ 8,进而得出a的取值范围是3 ＜ a ＜ 8,即可得到a的整数解有4个.
解不等式①,可得x ＜ 2a,解不等式②,可得x ≥ 4,因为不等式组至少有三个整数解,所以2a ＞ 6,所以a ＞ 3.又因为存在以3,a,5为边的三角形,所以根据三角形的三边关系可知,5 - 3 ＜ a ＜ 5 + 3,即2 ＜ a ＜ 8,所以a的取值范围是3 ＜ a ＜ 8,所以a的整数解有4,5,6,7,共4个.

【分析】
本题需结合两个约束条件求解a的取值范围，解题思路如下：首先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据“至少有三个整数解”的要求确定a的第一个取值范围；其次利用三角形三边关系得到a的第二个取值范围；最后取两个范围的公共部分，从中找出整数解即可得到结果。
【解析】
解：先解不等式组：
解不等式①$x-2a＜0$，移项得$x＜2a$；
解不等式②$2x-1≥7$，移项得$2x≥8$，系数化为1得$x≥4$；
因此不等式组的解集为$4≤ x＜2a$。
已知不等式组至少有三个整数解，整数解至少包含4、5、6，因此$2a＞6$（若$2a=6$，则$x＜6$，整数解只有4、5，不满足要求），解得$a＞3$。
又因为存在以3，$a$，5为边的三角形，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得$5-3＜a＜5+3$，即$2＜a＜8$。
综合两个条件，$a$需同时满足$a＞3$和$2＜a＜8$，因此$a$的取值范围是$3＜a＜8$，其中整数解为4、5、6、7，共4个。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，三角形三边关系，不等式组的整数解应用
【点评】
本题是不等式与三角形知识的综合应用题，解题的关键是准确判断不等式的边界是否可取，避免因边界判断错误导致取值范围出错。
【难度系数】
0.7

10. 易错题 已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则另外两边长分别为。

10 5,3或4,4 ①若腰长为5,则底边长为13 - 5 - 5 = 3,因为以5,5,3为边长能够成三角形,所以另外两边长分别为5,3;②若底边长为5,则腰长为$\frac{1}{2}×(13 - 5) = 4$,因为以4,4,5为边长能构成三角形,所以另外两边长分别为4,4.综上所述,另外两边长分别为5,3或4,4.

【分析】
解题时首先明确等腰三角形两条腰长度相等，且三角形三边需满足“任意两边之和大于第三边”的关系。题目仅给出一边长为5，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算，最后对每种情况的结果进行三边关系验证，排除不能构成三角形的情况，就能得到正确答案。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 若长为5的边是腰长，则底边长为：$13 - 5 - 5 = 3$
此时三边长为5、5、3，满足$5+5＞3$，$5+3＞5$，能够构成三角形，因此另外两边长为5、3；
② 若长为5的边是底边长，则腰长为：$\frac{1}{2}×(13 - 5) = 4$
此时三边长为4、4、5，满足$4+4＞5$，$4+5＞4$，能够构成三角形，因此另外两边长为4、4。
综上所述，另外两边长分别为5,3或4,4。
【答案】
5,3或4,4
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是典型易错题，常见错误有两类：一是忽略已知边未明确是腰还是底，未分情况讨论导致漏解；二是计算后未验证三边是否符合三角形构成条件，得到错误结果。解题时需牢记分类讨论原则，且所有边长组合必须满足三角形三边关系。
【难度系数】
0.7

11. [2026合肥四十五中期末]已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长.
(1)若$a=2,b=5,c$为奇数,判断$△ ABC$的形状；
(2)化简:$|a+b-c|-|a-b-c|-|a-b+c|$.

11 解:(1)根据三角形的三边关系可知,5 - 2 ＜ c ＜ 5 + 2,即3 ＜ c ＜ 7,
因为c为奇数,所以c的取值为5,
所以b = c,所以△ABC是等腰三角形.
(2)根据三角形的三边关系可知,a + b ＞ c,b + c ＞ a,a + c ＞ b,
所以a + b - c ＞ 0,a - b - c ＜ 0,a - b + c ＞ 0,
所以|a + b - c| - |a - b - c| - |a - b + c|
= a + b - c + (a - b - c) - (a - b + c)
= a + b - c + a - b - c - a + b - c
= a + b - 3c.

【分析】
(1) 要判断△ABC的形状，首先需要确定第三边c的取值：先利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）求出c的取值范围，再结合c是奇数的限定条件确定c的具体值，最后对比三边长度即可判断三角形形状。
(2) 化简含绝对值的式子，核心是判断绝对值内代数式的正负：先通过三角形三边关系得到三个不等关系，分别判断三个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系可得：
$5-2 ＜ c ＜ 5+2$，即$3 ＜ c ＜ 7$，
∵c为奇数，
∴c的取值为5，
此时$b=c=5$，因此△ABC是等腰三角形。
(2) 根据三角形三边关系可知：$a+b＞c$，$b+c＞a$，$a+c＞b$，
由此可得：
$a+b-c＞0$，$a-b-c=a-(b+c)＜0$，$a-b+c=(a+c)-b＞0$，
根据绝对值的性质去绝对值：
$|a+b-c|-|a-b-c|-|a-b+c|$
$=a+b-c + (a-b-c) - (a-b+c)$
$=a+b-c+a-b-c-a+b-c$
合并同类项得：$a+b-3c$。
【答案】
(1) △ABC是等腰三角形；
(2) 化简结果为$a+b-3c$
【知识点】
三角形三边关系；绝对值化简；等腰三角形判定
【点评】
本题围绕三角形边的关系设计考点，第一问结合整数限定条件确定边长，考查范围筛选和图形形状判断能力；第二问将三边关系和绝对值运算结合，考查符号判断和整式化简能力，属于三角形边的关系的基础应用题目。
【难度系数】
0.8

12. [2026南宁期中]【教材呈现】下面是八年级上册某版数学课本关于三边关系的一道题目.
填空:如图1,由三角形中任意两边的和大于第三边,得$AB + AD ＞$,$PD + CD ＞$.
将不等式左边、右边分别相加,得$AB + AD + PD + CD ＞$,即$AB + AC ＞$.
(1)补全上面步骤;
【类比猜想】
(2)如图2,请你仿照上述解题过程,探究当点D与点P重合时,$AD + BD + CD$与$\frac{1}{2}(AB + AC + BC)$的数量关系,并说明理由.

12 解:(1)BD PC BD + PC PB + PC
(2)$AD + BD + CD ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$.理由如下:
由三角形的三边关系可得,AD + BD ＞ AB,BD + CD ＞ BC,AD + CD ＞ AC,
所以2(AD + BD + CD) ＞ AB + BC + AC,
所以$AD + BD + CD ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$.

【分析】
（1）第一问直接应用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”解题：先找对应三角形，△ABD中可推导AB+AD与第三边的大小，△PDC中可推导PD+CD与第三边的大小；再将两个不等式左右分别相加，合并同类项、消去公共项即可得到后续结论。
（2）第二问类比第一问的推导思路，观察图2存在△ABD、△BCD、△ACD三个三角形，分别对三个三角形应用三边关系列出不等式，再将不等式左右分别相加，整理后即可得到所求的数量关系。
【解析】
(1) 在△ABD中，由三角形三边关系得$AB + AD ＞ BD$；
在△PDC中，由三角形三边关系得$PD + CD ＞ PC$；
将两个不等式左右两边分别相加，得$AB + AD + PD + CD ＞ BD + PC$，
其中$AD+CD=AC$，$BD=PB+PD$，代入上式消去两边的PD，可得$AB + AC ＞ PB + PC$。
(2) $AD + BD + CD ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$，理由如下：
根据三角形三边关系：
在△ABD中，$AD + BD ＞ AB$，
在△BCD中，$BD + CD ＞ BC$，
在△ACD中，$AD + CD ＞ AC$，
将以上三个不等式左右两边分别相加，得$2(AD + BD + CD) ＞ AB + BC + AC$，
不等式两边同时除以2，得$AD + BD + CD ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{BD}$；$\boldsymbol{PC}$；$\boldsymbol{BD + PC}$；$\boldsymbol{PB + PC}$
(2) $\boldsymbol{AD + BD + CD ＞ \frac{1}{2}(AB + AC + BC)}$
【知识点】
三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题侧重考查三角形三边关系的灵活应用，解题核心是准确找到对应三角形列出三边不等关系，再通过合并不等式推导最终结论，掌握三边关系是解题的关键。
【难度系数】
0.7

13. 推理能力 [2026郑州金水区段考] 将长方形区域分割成三角形区域的过程是:在长方形内取一定数量的点,连同长方形的4个顶点,逐步连接这些点,保证所有连线不交叉产生新的点,直到长方形内所有区域都变成三角形.如图,当长方形内有1个点时,可分得4个三角形;当长方形内有2个点时,可分得6个三角形;当长方形内有3个点时,可分得8个三角形(不计被分割的三角形)……当长方形内有2026个点时,可分得三角形的个数为()


A.$2^{2026}$
B.$2026^2$
C.4054
D.4052

13 C 当长方形内有1个点时,可分得(1 + 1)×2 = 4(个)三角形;当长方形内有2个点时,可分得(2 + 1)×2 = 6(个)三角形,当长方形内有3个点时,可分得(3 + 1)×2 = 8(个)三角形……以此类推,可知当长方形内有n个点时,可分得2(n + 1)个三角形,所以当n = 2 026时,可知分得三角形的个数为2(n + 1) = 2×(2 026 + 1) = 4 054.

【分析】
这是一道图形规律探究题，解题思路如下：首先整理已知的对应关系：长方形内有1个点时，三角形个数为4；有2个点时为6；有3个点时为8。观察数据可知，长方形内每增加1个点，三角形的个数就增加2，我们可以根据这一变化特征推导点的个数与三角形个数的通用关系式，最后将n=2026代入关系式计算即可得到答案。
【解析】
解：观察已知条件可得：
当长方形内有1个点时，三角形个数为：$(1+1)× 2=4$（个）；
当长方形内有2个点时，三角形个数为：$(2+1)× 2=6$（个）；
当长方形内有3个点时，三角形个数为：$(3+1)× 2=8$（个）；
由此可归纳规律：当长方形内有$n$个点时，可分得三角形的个数为$2(n+1)$个。
当$n=2026$时，代入得：$2× (2026+1)=2× 2027=4054$。
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律探究类常见题型，解题的关键是通过给出的几组示例准确归纳出通用规律，注意归纳出规律后要验证是否符合所有已知示例，避免出现规律推导错误的问题。
【难度系数】
0.75