1. [2026 北京海定区段考] 如图，CE，CB 分别是$△ ABC$，$△ ADC$的中线，$AB = AC$. 求证：$CD = 2CE$.

证明:如图,延长 CE 到点 F,使 EF = CE,连接 FB.
∵ CE 是△ABC 的中线,
∴ AE = BE.
在△AEC 和△BEF 中,$\begin{cases} AE = BE, \\ ∠AEC = ∠BEF, \\ EC = EF, \end{cases}$
∴ △AEC≌△BEF(SAS),
∴ ∠A = ∠EBF,AC = BF.
∵ AB = AC,
∴ ∠ABC = ∠ACB,
∴ ∠CBD = ∠A + ∠ACB = ∠EBF + ∠ABC = ∠CBF.
∵ CB 是△ADC 的中线,
∴ AB = BD.
又
∵ AB = AC,AC = BF,
∴ BF = BD.
在△CBF 和△CBD 中,$\begin{cases} CB = CB, \\ ∠CBF = ∠CBD, \\ BF = BD, \end{cases}$
∴ △CBF≌△CBD(SAS),
∴ CD = CF = CE + EF = 2CE.

【分析】
要证明$CD=2CE$属于线段倍分关系的证明，常规思路是将较短线段扩大为原来的2倍，再证明扩大后的线段与较长线段相等。本题中CE是$△ ABC$的中线，因此可采用倍长中线法构造全等三角形：延长CE到点F使$EF=CE$，此时$CF=2CE$，只需证明$CF=CD$即可。接下来先通过SAS证明$△ AEC≌△ BEF$，得到边和角的等量关系，再结合已知的$AB=AC$、CB是$△ ADC$的中线，推导得到$△ CBF$和$△ CBD$全等的条件，最终推出$CF=CD$即可得证。
【解析】
证明:如图,延长 CE 到点 F,使 EF = CE,连接 FB.
∵ CE 是$△ ABC$的中线,
∴ $AE = BE$.
在$△ AEC$和$△ BEF$中,$\begin{cases} AE = BE, \\ ∠AEC = ∠BEF, \\ EC = EF, \end{cases}$
∴ $△ AEC≌△ BEF(\mathrm{SAS})$,
∴ $∠A = ∠EBF$,$AC = BF$.
∵ $AB = AC$,
∴ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠CBD = ∠A + ∠ACB = ∠EBF + ∠ABC = ∠CBF$.
∵ CB 是$△ ADC$的中线,
∴ $AB = BD$.
又
∵ $AB = AC$,$AC = BF$,
∴ $BF = BD$.
在$△ CBF$和$△ CBD$中,$\begin{cases} CB = CB, \\ ∠CBF = ∠CBD, \\ BF = BD, \end{cases}$
∴ $△ CBF≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
∴ $CD = CF = CE + EF = 2CE$.
【答案】
证明:如图,延长 CE 到点 F,使 EF = CE,连接 FB.
∵ CE 是$△ ABC$的中线,
∴ $AE = BE$.
在$△ AEC$和$△ BEF$中,$\begin{cases} AE = BE, \\ ∠AEC = ∠BEF, \\ EC = EF, \end{cases}$
∴ $△ AEC≌△ BEF(\mathrm{SAS})$,
∴ $∠A = ∠EBF$,$AC = BF$.
∵ $AB = AC$,
∴ $∠ABC = ∠ACB$,
∴ $∠CBD = ∠A + ∠ACB = ∠EBF + ∠ABC = ∠CBF$.
∵ CB 是$△ ADC$的中线,
∴ $AB = BD$.
又
∵ $AB = AC$,$AC = BF$,
∴ $BF = BD$.
在$△ CBF$和$△ CBD$中,$\begin{cases} CB = CB, \\ ∠CBF = ∠CBD, \\ BF = BD, \end{cases}$
∴ $△ CBF≌△ CBD(\mathrm{SAS})$,
∴ $CD = CF = CE + EF = 2CE$.
【知识点】
倍长中线构造全等；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是构造全等三角形的典型题型，核心考查倍长中线法的应用，当题目中出现中线和线段倍分关系时，采用倍长中线法可以快速构造全等，将零散的边、角条件集中，进而推导得到待证结论。
【难度系数】
0.6

2. 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究活动,请你来加入.
【探究与发现】
(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE.求证:△ACD≌△EBD.

【理解与应用】
(2)如图2,EP是△DEF的中线,若EF=5,DE=3,设EP=x,求x的取值范围.

(3)如图3,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求证:BE+CF＞EF.

(1)证明:
∵ AD 是△ABC 的中线,
∴ CD = BD.
在△ACD 和△EBD 中,$\begin{cases} CD = BD, \\ ∠ADC = ∠EDB, \\ AD = ED, \end{cases}$
∴ △ACD≌△EBD(SAS).
(2)解:如图,延长 EP 至点 M,使 PM = EP,连接 DM,则 EM = 2x.
∵ EP 是△DEF 的中线,
∴ FP = PD.
在△EPF 和△MPD 中,$\begin{cases} EP = MP, \\ ∠EPF = ∠MPD, \\ PF = PD, \end{cases}$
∴ △EPF≌△MPD(SAS),
∴ DM = FE = 5.
在△EMD 中,DM - ED ＜ EM ＜ ED + DM(三角形的三边关系),
即 5 - 3 ＜ 2x ＜ 5 + 3,
∴ x 的取值范围是 1 ＜ x ＜ 4.
(3)证明:如图,延长 FD 至点 G,使 GD = DF,连接 BG,EG.
∵ AD 是△ABC 的中线,
∴ DC = DB.
在△DFC 和△DGB 中,$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠CDF = ∠BDG, \\ DC = DB, \end{cases}$
∴ △DFC≌△DGB(SAS),
∴ CF = BG.
在△EDF 和△EDG 中,$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠FDE = ∠GDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$
∴ △EDF≌△EDG(SAS),
∴ EF = EG.
在△BEG 中,由两边之和大于第三边,得 BE + BG ＞ EG.
∵ EF = EG,BG = CF,
∴ BE + CF ＞ EF.

【分析】
(1)要证明△ACD≌△EBD，首先根据中线的性质得到CD=BD，再结合已知条件ED=AD和对顶角相等，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2)求中线EP的取值范围，采用倍长中线法：延长EP到M使PM=EP，构造全等三角形将EF转化为DM，把DE、DM、EM=2x放在同一个△EMD中，利用三角形三边关系列不等式求解即可。
(3)要证明BE+CF＞EF，同样用倍长类辅助线：延长FD到G使GD=DF，先构造全等将CF转化为BG，再由DE⊥DF证明△EDF≌△EDG得到EF=EG，最后在△BEG中利用三角形两边之和大于第三边，等量代换即可得证。
【解析】
(1)证明：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ CD = BD。
在△ACD和△EBD中，
$\begin{cases} CD = BD, \\ ∠ADC = ∠EDB, \\ AD = ED, \end{cases}$
∴ △ACD≌△EBD(SAS)。
(2)解：如图,延长EP至点M,使PM = EP,连接DM,则EM = 2x。
∵ EP是△DEF的中线，
∴ FP = PD。
在△EPF和△MPD中，
$\begin{cases} EP = MP, \\ ∠EPF = ∠MPD, \\ PF = PD, \end{cases}$
∴ △EPF≌△MPD(SAS)，
∴ DM = FE = 5。
在△EMD中，DM - ED ＜ EM ＜ ED + DM(三角形的三边关系)，
即 5 - 3 ＜ 2x ＜ 5 + 3，
∴ x的取值范围是1 ＜ x ＜ 4。
(3)证明：如图,延长FD至点G,使GD = DF,连接BG,EG。
∵ AD是△ABC的中线，
∴ DC = DB。
在△DFC和△DGB中，
$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠CDF = ∠BDG, \\ DC = DB, \end{cases}$
∴ △DFC≌△DGB(SAS)，
∴ CF = BG。
在△EDF和△EDG中，
$\begin{cases} DF = DG, \\ ∠FDE = ∠GDE = 90°, \\ DE = DE, \end{cases}$
∴ △EDF≌△EDG(SAS)，
∴ EF = EG。
在△BEG中，由两边之和大于第三边，得BE + BG ＞ EG。
∵ EF = EG,BG = CF，
∴ BE + CF ＞ EF。
【答案】
(1)证明见上述解析；
(2)x的取值范围是$1＜x＜4$；
(3)证明见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，倍长中线法
【点评】
本题核心考查构造全等三角形的常用辅助线方法——倍长中线法，通过倍长中线将分散的边转化到同一个三角形中，结合全等的性质和三角形三边关系解决问题，是几何探究题的常见考法，熟练掌握全等判定定理是解题的基础。
【难度系数】
0.65