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8. ［天津市］如图，在$\triangle ABC$中，$AB = \sqrt{6}$，$AC = \sqrt{3}$，$\angle BAC = 30^{\circ}$，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle AB_1C_1$，连接$BC_1$，则$BC_1$的长为 (
A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$
A
)A.$3$
B.$2\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$4$
答案
8.A
解析
解：
∵将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$\triangle AB_1C_1$，
∴$AC_1 = AC = \sqrt{3}$，$\angle CAC_1 = 60°$。
∵$\angle BAC = 30°$，
∴$\angle BAC_1 = \angle BAC + \angle CAC_1 = 30° + 60° = 90°$。
在$Rt\triangle BAC_1$中，$AB = \sqrt{6}$，$AC_1 = \sqrt{3}$，
∴$BC_1 = \sqrt{AB^2 + AC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$。
A
∵将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$\triangle AB_1C_1$，
∴$AC_1 = AC = \sqrt{3}$，$\angle CAC_1 = 60°$。
∵$\angle BAC = 30°$，
∴$\angle BAC_1 = \angle BAC + \angle CAC_1 = 30° + 60° = 90°$。
在$Rt\triangle BAC_1$中，$AB = \sqrt{6}$，$AC_1 = \sqrt{3}$，
∴$BC_1 = \sqrt{AB^2 + AC_1^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$。
A
9. ［济南市］如图，菱形$ABCD$中，$EF\bot AC$，垂足为点$H$，分别与$AD$，$AB$及$CB$的延长线交于点$E$，$M$，$F$，且$AE:FB = 1:2$，则$\frac{AH}{AC}$的值为 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
B
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
9.B [解析]如图，连接BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD = BC，AD//BC.
∵EF⊥AC，
∴EF//BD.
∵DE//FB，
∴四边形BDEF为平行四边形.
∴DE = FB.设AE = x.
∵AE:FB = 1:2，
∴FB = DE = 2x.
∴BC = AD = 3x.
∴CF = FB + BC = 5x.
∴AE:CF = 1:5.
∵AE//CF，
∴△AEH∽△CFH.
∴$\frac{AH}{HC}$ = $\frac{AE}{CF}$ = $\frac{1}{5}$.
∴$\frac{AH}{AC}$的值为$\frac{1}{6}$.故选B.
10. 如图，正方形$ABCD$的边长为$4$，$P$，$Q$分别是$CD$，$AD$的中点，动点$E$从点$A$向点$B$运动，到点$B$时停止运动，同时，动点$F$从点$P$出发，沿$P→D→Q$运动，到点$Q$停止运动，点$E$，$F$的运动速度相同.设点$E$的运动路程为$x$，$\triangle AEF$的面积为$y$，能大致刻画$y$与$x$的函数关系的图象是 (
A
)答案
10.A [解析]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = CD = 4.
∵P，Q分别是CD，AD的中点，
∴PD = $\frac{1}{2}$CD = 2，DQ = $\frac{1}{2}$AD = 2.
∴PD + DQ = 4 = AB.
∴E，F同时停止运动.
∴0＜x≤4.
分两种情况：①当点F在PD上运动时，$y=\frac{1}{2}AE· AD = 2x(0＜x\leq2)$.②当点F在DQ上运动时，$y=\frac{1}{2}AE· AF=\frac{1}{2}x(4 + 2 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+3x(2＜x\leq4)$.
综上所述，A选项符合题意.故选A.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = CD = 4.
∵P，Q分别是CD，AD的中点，
∴PD = $\frac{1}{2}$CD = 2，DQ = $\frac{1}{2}$AD = 2.
∴PD + DQ = 4 = AB.
∴E，F同时停止运动.
∴0＜x≤4.
分两种情况：①当点F在PD上运动时，$y=\frac{1}{2}AE· AD = 2x(0＜x\leq2)$.②当点F在DQ上运动时，$y=\frac{1}{2}AE· AF=\frac{1}{2}x(4 + 2 - x)=-\frac{1}{2}x^{2}+3x(2＜x\leq4)$.
综上所述，A选项符合题意.故选A.
11. 如图，$D$是$\triangle ABC$边$AB$延长线上的一点，请添加一个条件：
小球落在不规则图案内的频率
∠ACD = ∠ABC(答案不唯一)
，使$\triangle ACD \backsim \triangle ABC$.小球落在不规则图案内的频率
答案
11.∠ACD = ∠ABC(答案不唯一)
12. 已知抛物线$y = ax^2 + bx + 2$经过点$(-2,3)$，则$3b - 6a =$
$-\frac{3}{2}$
.答案
12.$-\frac{3}{2}$
解析
解：因为抛物线$y = ax^2 + bx + 2$经过点$(-2,3)$，所以将$x=-2$，$y=3$代入抛物线方程得：$3 = a(-2)^2 + b(-2) + 2$，即$3 = 4a - 2b + 2$，化简得$4a - 2b = 1$，两边同时乘以$-\frac{3}{2}$得：$-6a + 3b = -\frac{3}{2}$，所以$3b - 6a = -\frac{3}{2}$。
$-\frac{3}{2}$
$-\frac{3}{2}$
13. 如图$1$所示，平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分)，小宣想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为$5\ {m}$、宽为$4\ {m}$的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数(以小球首次接触地面的点为准，且小球落在边界线上或矩形区域外为无效试验).他根据若干次有效试验的结果绘制了图$2$，由此他估计不规则图案的面积 为
$7m^{2}$
.答案
13.$7m^{2}$
解析
矩形面积为$5×4 = 20\, m^2$。由图2可知，频率稳定在$0.35$左右，故小球落在不规则图案内的概率约为$0.35$。设不规则图案面积为$S$，则$\frac{S}{20}=0.35$，解得$S = 20×0.35=7\, m^2$。
$7\, m^2$
$7\, m^2$
