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28. (答案含评分细则)「2026山东青岛期末，★★」(8分)如图所示，轻质杠杆$OA=60\ \mathrm{cm}$，$OC=40\ \mathrm{cm}$，A端通过细绳挂有一边长为10 cm、密度为$5×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$的正方体B，O为支点，在力$F_1$的作用下，处于静止状态，此时B对地面的压力为30 N。($g$取10 N/kg)
(1)画出$F_1$的力臂$l_1$；
(2)求拉力$F_1$的大小；
(3)若保持$F_1$的大小不变，只改变$F_1$的方向，求正方体B对地面的最小压强。
(1)画出$F_1$的力臂$l_1$；
(2)求拉力$F_1$的大小；
(3)若保持$F_1$的大小不变，只改变$F_1$的方向，求正方体B对地面的最小压强。
答案
28.解析 （1）已知O为支点,过O点向力$F_1$作用线作垂线,垂线段的长即力臂$l_1$,如图所示。 .................. (2分)
(2)已知B对地面的压力为$F_压=30\ \mathrm{N}$,则地面对B的支持力$F_N=F_压=30\ \mathrm{N}$,对B进行受力分析,B受到绳子的拉力$F_2$、地面的支持力$F_N$和自身的重力$G_B$,B处于静止状态,则$F_2+F_N=G_B$①,已知正方体B的边长$L_B=10\ \mathrm{cm}=0.1\ \mathrm{m}$,则正方体B的体积$V_B=(L_B)^3=(0.1\ \mathrm{m})^3=0.001\ \mathrm{m^3}$,则B的重力为$G_B=\rho_B g V_B=5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m^3}=50\ \mathrm{N}$,则$F_2=20\ \mathrm{N}$,绳子对A端的拉力$F=F_2=20\ \mathrm{N}$,力臂$l_2=OA=60\ \mathrm{cm}$,拉力$F_1$的力臂$l_1=\frac{1}{2}×OC=\frac{1}{2}×40\ \mathrm{cm}=20\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件知,
$F_1=\frac{l_2}{l_1}×F=\frac{60\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{cm}}×20\ \mathrm{N}=60\ \mathrm{N}$。 .................. (2分)
(3)当$F_1$的方向为竖直向上,与杠杆垂直时,$F_1$的力臂最大,杠杆A端通过细绳对B的拉力最大,B对地面的压强最小,此时$F_1$的力臂$l_1'=OC=40\ \mathrm{cm}$,设杠杆A端受到绳子的拉力为$F_2'$,根据杠杆平衡条件知,$F_2'=\frac{l_1'}{l_2}×F_1=\frac{40\ \mathrm{cm}}{60\ \mathrm{cm}}×60\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$,.................. (2分)
此时地面对B的支持力$F_N'=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$,B对地面的压力$F_压'=F_N'=10\ \mathrm{N}$,B的底面积$S_B=(L_B)^2=(0.1\ \mathrm{m})^2=0.01\ \mathrm{m^2}$,B对地面的最小压强$p_小=\frac{F_压'}{S_B}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m^2}}=1×10^3\ \mathrm{Pa}$。 .................. (2分)
解析
【分析】
本题为力学综合题，需结合杠杆平衡条件、受力分析、压强公式解题。
(1) 画力臂：力臂是支点到力的作用线的垂线段，因此过支点O作F₁作用线的垂线，垂线段即为F₁的力臂l₁。
(2) 求F₁：先计算正方体B的重力，对B受力分析得到A端的拉力，再利用杠杆平衡条件，结合F₁的力臂（因F₁与杠杆成30°，力臂为OC的一半）计算F₁。
(3) 求最小压强：当F₁的力臂最大（即F₁垂直于杠杆时），A端拉力最大，B对地面的压力最小，再结合压强公式计算最小压强。
【解析】
(1) 力臂的画法：过支点O向力F₁的作用线作垂线，垂线段的长度即为F₁的力臂l₁，如图所示。
(2) 计算B的重力：正方体B的体积$V_B=(0.1\ \mathrm{m})^3=0.001\ \mathrm{m^3}$，$G_B=\rho_B g V_B=5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m^3}=50\ \mathrm{N}$。对B受力分析：B受重力$G_B$、地面支持力$F_N$、绳子拉力$F_2$，平衡时$F_2 + F_N = G_B$，已知$F_N=F_压=30\ \mathrm{N}$，故$F_2=50\ \mathrm{N}-30\ \mathrm{N}=20\ \mathrm{N}$，即A端拉力$F=F_2=20\ \mathrm{N}$。F₁的力臂$l_1=OC×\sin30°=40\ \mathrm{cm}×0.5=20\ \mathrm{cm}$，A端拉力的力臂$l_2=OA=60\ \mathrm{cm}$。根据杠杆平衡条件$F_1 l_1 = F l_2$，得$F_1=\frac{l_2}{l_1}×F=\frac{60\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{cm}}×20\ \mathrm{N}=60\ \mathrm{N}$。
(3) 当F₁垂直于杠杆时，力臂最大（$l_1'=OC=40\ \mathrm{cm}$），此时A端拉力最大。根据杠杆平衡条件，$F_2'=\frac{l_1'}{l_2}×F_1=\frac{40\ \mathrm{cm}}{60\ \mathrm{cm}}×60\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$。此时地面对B的支持力$F_N'=G_B - F_2'=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$，B对地面的压力$F_压'=F_N'=10\ \mathrm{N}$。B的底面积$S_B=(0.1\ \mathrm{m})^2=0.01\ \mathrm{m^2}$，最小压强$p_小=\frac{F_压'}{S_B}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m^2}}=1×10^3\ \mathrm{Pa}$。
【答案】
(1) 力臂$l_1$如图所示：；(2) $F_1=60\ \mathrm{N}$；(3) 最小压强为$1×10^3\ \mathrm{Pa}$。
【知识点】
杠杆平衡条件、压强计算、重力计算
【点评】
本题将杠杆知识与压强、重力计算结合，考查受力分析和公式应用，需注意倾斜力的力臂计算，综合性较强，是力学综合的典型题型。
【难度系数】
0.5
本题为力学综合题，需结合杠杆平衡条件、受力分析、压强公式解题。
(1) 画力臂：力臂是支点到力的作用线的垂线段，因此过支点O作F₁作用线的垂线，垂线段即为F₁的力臂l₁。
(2) 求F₁：先计算正方体B的重力，对B受力分析得到A端的拉力，再利用杠杆平衡条件，结合F₁的力臂（因F₁与杠杆成30°，力臂为OC的一半）计算F₁。
(3) 求最小压强：当F₁的力臂最大（即F₁垂直于杠杆时），A端拉力最大，B对地面的压力最小，再结合压强公式计算最小压强。
【解析】
(1) 力臂的画法：过支点O向力F₁的作用线作垂线，垂线段的长度即为F₁的力臂l₁，如图所示。
(2) 计算B的重力：正方体B的体积$V_B=(0.1\ \mathrm{m})^3=0.001\ \mathrm{m^3}$，$G_B=\rho_B g V_B=5×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×0.001\ \mathrm{m^3}=50\ \mathrm{N}$。对B受力分析：B受重力$G_B$、地面支持力$F_N$、绳子拉力$F_2$，平衡时$F_2 + F_N = G_B$，已知$F_N=F_压=30\ \mathrm{N}$，故$F_2=50\ \mathrm{N}-30\ \mathrm{N}=20\ \mathrm{N}$，即A端拉力$F=F_2=20\ \mathrm{N}$。F₁的力臂$l_1=OC×\sin30°=40\ \mathrm{cm}×0.5=20\ \mathrm{cm}$，A端拉力的力臂$l_2=OA=60\ \mathrm{cm}$。根据杠杆平衡条件$F_1 l_1 = F l_2$，得$F_1=\frac{l_2}{l_1}×F=\frac{60\ \mathrm{cm}}{20\ \mathrm{cm}}×20\ \mathrm{N}=60\ \mathrm{N}$。
(3) 当F₁垂直于杠杆时，力臂最大（$l_1'=OC=40\ \mathrm{cm}$），此时A端拉力最大。根据杠杆平衡条件，$F_2'=\frac{l_1'}{l_2}×F_1=\frac{40\ \mathrm{cm}}{60\ \mathrm{cm}}×60\ \mathrm{N}=40\ \mathrm{N}$。此时地面对B的支持力$F_N'=G_B - F_2'=50\ \mathrm{N}-40\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$，B对地面的压力$F_压'=F_N'=10\ \mathrm{N}$。B的底面积$S_B=(0.1\ \mathrm{m})^2=0.01\ \mathrm{m^2}$，最小压强$p_小=\frac{F_压'}{S_B}=\frac{10\ \mathrm{N}}{0.01\ \mathrm{m^2}}=1×10^3\ \mathrm{Pa}$。
【答案】
(1) 力臂$l_1$如图所示：
；(2) $F_1=60\ \mathrm{N}$；(3) 最小压强为$1×10^3\ \mathrm{Pa}$。【知识点】
杠杆平衡条件、压强计算、重力计算
【点评】
本题将杠杆知识与压强、重力计算结合，考查受力分析和公式应用，需注意倾斜力的力臂计算，综合性较强，是力学综合的典型题型。
【难度系数】
0.5
