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三、解答题
1.已知等式$y=ax^2+bx+c$，且当$x=1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=3$；当$x=-3$时，$y=28$。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)当$x=-2$时，$y$的值又是多少？
1.已知等式$y=ax^2+bx+c$，且当$x=1$时，$y=0$；当$x=2$时，$y=3$；当$x=-3$时，$y=28$。
(1)求$a,b,c$的值；
(2)当$x=-2$时，$y$的值又是多少？
答案
1.(1)由题意得$\begin{cases}a+b+c=0,①\\4a+2b+c=3,②\\9a-3b+c=28,③\end{cases}$
②$-$①，得$3a+b=3$,④
③$-$②，得$5a-5b=25$,即$a-b=5$,⑤
④与⑤组成方程组，得$\begin{cases}3a+b=3,\\a-b=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=-3.\end{cases}$ 把$\begin{cases}a=2,\\b=-3\end{cases}$代入①，得$c=1$.
(2)由(1)知$a,b,c$的值分别是2,$-3$,1,
$\therefore y=2x^2-3x+1$. 当$x=-2$时，$y=15$.
②$-$①，得$3a+b=3$,④
③$-$②，得$5a-5b=25$,即$a-b=5$,⑤
④与⑤组成方程组，得$\begin{cases}3a+b=3,\\a-b=5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=-3.\end{cases}$ 把$\begin{cases}a=2,\\b=-3\end{cases}$代入①，得$c=1$.
(2)由(1)知$a,b,c$的值分别是2,$-3$,1,
$\therefore y=2x^2-3x+1$. 当$x=-2$时，$y=15$.
解析
【分析】
(1) 要确定a、b、c三个未知数的值，题目给出了3组x与y的对应值，我们可以将每组值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，得到三元一次方程组，再通过加减消元法先消去c，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求解得到a、b的值后，再回代求出c的值即可。
(2) 第一问求出a、b、c后，就能确定y关于x的完整代数式，再把$x=-2$代入这个代数式计算，就能得到对应的y值。
【解析】
(1) 根据题意，把$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}a+b+c=0,①\\4a+2b+c=3,②\\9a-3b+c=28,③\end{cases}$
用②$-$①，消去c，得：$3a+b=3$ ④
用③$-$②，消去c，得：$5a-5b=25$，化简为$a-b=5$ ⑤
将④和⑤组成二元一次方程组：$\begin{cases}3a+b=3\\a-b=5\end{cases}$
两式相加得$4a=8$，解得$a=2$，把$a=2$代入⑤得$2-b=5$，解得$b=-3$
把$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$代入①，得$2-3+c=0$，解得$c=1$。
(2) 由(1)得$a=2,b=-3,c=1$，因此原等式为$y=2x^2-3x+1$
把$x=-2$代入上式，得$y=2×(-2)^2 -3×(-2) +1=8+6+1=15$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；
(2) $y=15$
【知识点】
三元一次方程组求解，待定系数法，代数式求值
【点评】
本题属于方程的基础应用题型，解题核心是根据已知等量关系准确列出方程组，要熟练掌握加减消元法解方程组的步骤，代入求值时注意负数运算的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
(1) 要确定a、b、c三个未知数的值，题目给出了3组x与y的对应值，我们可以将每组值分别代入等式$y=ax^2+bx+c$，得到三元一次方程组，再通过加减消元法先消去c，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，求解得到a、b的值后，再回代求出c的值即可。
(2) 第一问求出a、b、c后，就能确定y关于x的完整代数式，再把$x=-2$代入这个代数式计算，就能得到对应的y值。
【解析】
(1) 根据题意，把$x=1,y=0$；$x=2,y=3$；$x=-3,y=28$分别代入$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}a+b+c=0,①\\4a+2b+c=3,②\\9a-3b+c=28,③\end{cases}$
用②$-$①，消去c，得：$3a+b=3$ ④
用③$-$②，消去c，得：$5a-5b=25$，化简为$a-b=5$ ⑤
将④和⑤组成二元一次方程组：$\begin{cases}3a+b=3\\a-b=5\end{cases}$
两式相加得$4a=8$，解得$a=2$，把$a=2$代入⑤得$2-b=5$，解得$b=-3$
把$\begin{cases}a=2\\b=-3\end{cases}$代入①，得$2-3+c=0$，解得$c=1$。
(2) 由(1)得$a=2,b=-3,c=1$，因此原等式为$y=2x^2-3x+1$
把$x=-2$代入上式，得$y=2×(-2)^2 -3×(-2) +1=8+6+1=15$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-3$，$c=1$；
(2) $y=15$
【知识点】
三元一次方程组求解，待定系数法，代数式求值
【点评】
本题属于方程的基础应用题型，解题核心是根据已知等量关系准确列出方程组，要熟练掌握加减消元法解方程组的步骤，代入求值时注意负数运算的符号规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
2.某单位职工在植树节去植树，甲、乙、丙三个小组共植树50棵，乙组植树的棵数是甲、丙两组的和的$\frac{1}{4}$，甲组植树的棵数恰是乙组和丙组的和，问：甲、乙、丙三个小组分别植树多少棵？
答案
2.甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵.
解析
【分析】
本题需求三个小组的植树棵数，属于典型的列方程组解应用题类题目。解题思路如下：首先设甲、乙、丙三组的植树棵数分别为三个未知数，再逐句从题干中提取等量关系列出方程组：①三组共植树50棵；②乙组植树棵数=（甲组+丙组）×$\frac{1}{4}$；③甲组植树棵数=乙组+丙组。解方程组时可先利用第三个等量关系代入第一个式子，快速求出甲组的植树棵数，再逐步计算剩余两个未知量即可。
【解析】
解：设甲组植树$x$棵，乙组植树$y$棵，丙组植树$z$棵，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x + y + z = 50 \quad \mathrm{(1)} \\y = \frac{1}{4}(x + z) \quad \mathrm{(2)} \\x = y + z \quad \mathrm{(3)}\end{cases}$
把式(3)代入式(1)，可得：$x + x = 50$，解得$x = 25$。
将$x=25$代入式(1)，可得$y + z = 25$，即$z = 25 - y$ (4)
将$x=25$和式(4)代入式(2)，得：
$y = \frac{1}{4}(25 + 25 - y)$
两边同乘4得：$4y = 50 - y$
移项合并同类项得：$5y = 50$，解得$y = 10$
把$y=10$代入式(4)，得$z = 25 - 10 = 15$
经检验，$x=25,y=10,z=15$符合题意。
【答案】
甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵。
【知识点】
列方程组解应用题，三元一次方程组求解，消元法
【点评】
本题重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时可优先观察方程组的特征，选择最简便的消元顺序，可大幅降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
本题需求三个小组的植树棵数，属于典型的列方程组解应用题类题目。解题思路如下：首先设甲、乙、丙三组的植树棵数分别为三个未知数，再逐句从题干中提取等量关系列出方程组：①三组共植树50棵；②乙组植树棵数=（甲组+丙组）×$\frac{1}{4}$；③甲组植树棵数=乙组+丙组。解方程组时可先利用第三个等量关系代入第一个式子，快速求出甲组的植树棵数，再逐步计算剩余两个未知量即可。
【解析】
解：设甲组植树$x$棵，乙组植树$y$棵，丙组植树$z$棵，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}x + y + z = 50 \quad \mathrm{(1)} \\y = \frac{1}{4}(x + z) \quad \mathrm{(2)} \\x = y + z \quad \mathrm{(3)}\end{cases}$
把式(3)代入式(1)，可得：$x + x = 50$，解得$x = 25$。
将$x=25$代入式(1)，可得$y + z = 25$，即$z = 25 - y$ (4)
将$x=25$和式(4)代入式(2)，得：
$y = \frac{1}{4}(25 + 25 - y)$
两边同乘4得：$4y = 50 - y$
移项合并同类项得：$5y = 50$，解得$y = 10$
把$y=10$代入式(4)，得$z = 25 - 10 = 15$
经检验，$x=25,y=10,z=15$符合题意。
【答案】
甲、乙、丙三个小组分别植树25棵、10棵和15棵。
【知识点】
列方程组解应用题，三元一次方程组求解，消元法
【点评】
本题重点考查从实际问题中提取等量关系的能力，解题时可优先观察方程组的特征，选择最简便的消元顺序，可大幅降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.7
