1.用两种方法证明“三角形的内角和等于180°”的过程如下，请将过程补充完整.
已知:△ABC如图所示.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证法一:如图①,过点A作AD//BC,
∴∠DAC=(两直线平行,内错角相等),
∠BAD+∠B=180°(),
即∠BAC+∠DAC+∠B=180°.
∴∠BAC+∠C+∠B=180°(等量代换).


证法二:如图②,延长BC到点M,过点C作CN//AB,
∴∠A=(两直线平行,内错角相等),
∠B=∠MCN().
∵∠ACN+∠MCN+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).

1.∠C 两直线平行,同旁内角互补 ∠ACN 两直线平行,同位角相等

【分析】
本题考查三角形内角和定理的证明，核心思路是通过作平行线，利用平行线的性质将三角形分散的三个内角转化为和为180°的角（同旁内角或平角），通过等量代换完成证明。证法一通过过顶点作对边的平行线，将∠C转移为与∠BAC、∠B共线的内错角，结合平行线同旁内角互补的性质凑出180°；证法二通过延长边并作平行线，将∠A、∠B分别转移为与∠ACB组成平角的角，结合平角定义凑出180°。
【解析】
证法一：
过点A作AD//BC，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠DAC=∠C；
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠BAD+∠B=180°，
即∠BAC+∠DAC+∠B=180°，将∠DAC替换为∠C，通过等量代换即可得∠BAC+∠B+∠C=180°。
证法二：
延长BC到点M，过点C作CN//AB，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠A=∠ACN；
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠B=∠MCN；
根据平角的定义，∠ACN+∠MCN+∠ACB=180°，将∠ACN替换为∠A、∠MCN替换为∠B，通过等量代换即可得∠A+∠B+∠ACB=180°。
【答案】
∠C 两直线平行,同旁内角互补 ∠ACN 两直线平行,同位角相等
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础证明类题目，体现了几何证明中的转化思想，通过作辅助线构造平行线实现角的等量转移是解题的关键，这类辅助线作法是几何证明中的常用技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

2. 在直角三角形中，一个锐角的度数是$30°$，则另一个锐角的度数是（）

A.$30°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$75°$

2.B

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理以及直角三角形的特征，直角三角形中有一个内角为90°，结合三角形三个内角和为180°，可推出直角三角形的两个锐角之和为90°（即互余），已知其中一个锐角的度数，用90°减去已知锐角的度数即可求出另一个锐角的度数。
【解析】
解：
∵直角三角形中有一个角为直角，度数是90°，且三角形的内角和为180°，
∴直角三角形的两个锐角的和为$180°-90°=90°$，
已知一个锐角为$30°$，
∴另一个锐角的度数为$90°-30°=60°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形内角的性质，熟练掌握三角形内角和以及直角三角形的特征即可快速求解，是三角形角度计算的常规基础题。
【难度系数】
0.9

3. 如图，$l// AB$，$CD⊥ l$于点$D$。若$∠ C=40°$，则$∠ 1$的度数是 （）

A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$

3.C

【分析】
解题时先观察图形特征，首先根据CD垂直于直线l得到直角三角形，利用三角形内角和定理求出直线l与斜交直线的锐角度数，再结合l平行于AB的条件，根据平行线同位角相等的性质，就能求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵CD⊥l，
∴CD与l的夹角为90°，在包含∠C的直角三角形中，根据三角形内角和为180°，可得斜交直线与l的夹角度数为：
$180°-90°-∠ C=180°-90°-40°=50°$
又
∵$l// AB$，两直线平行，同位角相等，
∴$∠1=50°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察了垂直的定义、三角形内角和计算和平行线的性质，解题的关键是找准平行线对应的同位角，结合直角三角形的角度关系推导即可。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=60°,∠ B=50°,D$为$BC$上一点,$DE⊥ AB$于点$E$,$DF⊥ AC$于点$F$,则$∠ EDF$的度数为（）

A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$

4.C

【分析】
解题思路如下：首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC中∠A的度数；再根据DE⊥AB、DF⊥AC得到两个直角，最后利用四边形内角和为360°，即可计算出∠EDF的度数。也可以通过平角的性质，先求出△BDE和△CDF中另外两个锐角的度数，再用平角180°减去这两个角的度数得到结果，两种方法均可。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 50° - 60° = 70°
∵ DE⊥AB，DF⊥AC
∴ ∠AED = 90°，∠AFD = 90°
∵ 四边形AEDF的内角和为360°
∴ ∠EDF = 360° - ∠AED - ∠AFD - ∠A = 360° - 90° - 90° - 70° = 110°
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；垂直的定义
【点评】
本题是基础应用题，核心是对内角和公式的灵活运用，解题的突破口是先求出∠A的度数，结合垂直得到的直角即可快速求解，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

5. 如图，E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1=∠2，则△ABC是三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”）

5. 直角

【分析】
要判断△ABC的形状，可先推导其内角是否存在直角。首先根据ED⊥AB可得△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到∠A与∠1的和为90°，再结合已知∠1=∠2，通过等量代换得到∠A与∠2的和为90°，最后根据三角形内角和定理计算∠C的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
解：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，
在Rt△ADE中，∠A+∠1=90°（直角三角形的两个锐角互余），
又
∵∠1=∠2，
∴∠A+∠2=90°（等量代换），
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：
∠C=180°-(∠A+∠2)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形性质；等量代换
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是结合垂直的性质和已知角的等量关系，利用三角形内角和定理求出直角，进而判断三角形的形状。
【难度系数】
0.8

6.如图，$AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，垂足分别是B，D，点C在BD上，且$∠ ACB=∠ CED$。求证：$△ ACE$是直角三角形。

6. 证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°. \therefore ∠ CED + ∠ DCE = 90°.$$\because ∠ ACB=∠ CED,\therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°. \therefore ∠ ACE=180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°. \therefore △ ACE$ 是直角三角形.

【分析】
要证明$△ ACE$是直角三角形，核心是证明该三角形有一个内角为$90°$，即推导$∠ ACE=90°$。首先根据垂直的性质得到$△ CDE$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余得到$∠ CED+∠ DCE=90°$，再结合已知$∠ ACB=∠ CED$进行等量代换，最后根据平角为$180°$的性质即可求出$∠ ACE$的度数，完成证明。
【解析】
证明: $\because ED ⊥ BD, \therefore ∠ CDE = 90°. \therefore ∠ CED + ∠ DCE = 90°.$
$\because ∠ ACB=∠ CED,\therefore ∠ ACB+∠ DCE=90°.$
$\therefore ∠ ACE=180°-(∠ ACB+∠ DCE)=90°.$
$\therefore △ ACE$是直角三角形.
【答案】
$△ ACE$是直角三角形
【知识点】
直角三角形的性质、平角的定义、直角三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是灵活运用直角三角形两锐角互余的性质，结合等量代换和平角的性质推导角度关系，思路清晰直接，难度较低。
【难度系数】
0.8

7. 如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动点.在点C的运动过程中,△AOC恰好是直角三角形,则此时∠A所有可能的度数为。
思维拓展 强化素养

7.$60°$或 $90°$

【分析】
要解决这个问题，首先明确直角三角形有一个内角为90°，题目未指明哪个角是直角，因此需要分类讨论。已知∠O=∠AOD=30°，不可能是直角，所以只需分两种情况：直角为∠A，或直角为∠ACO，再结合三角形内角和定理计算∠A的度数即可。
【解析】
已知△AOC为直角三角形，∠O=30°，∠O不可能为直角，分两种情况讨论：
1. 若直角为∠A，则此时∠A=90°，符合要求；
2. 若直角为∠ACO，即∠ACO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠O-∠ACO=180°-30°-90°=60°。
综上，∠A所有可能的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
三角形内角和定理，分类讨论思想，直角三角形定义
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，漏算其中一种情况，解题时遇到未明确直角位置的直角三角形问题，要先分析所有可能的直角情况，排除不符合题意的情况后再计算。
【难度系数】
0.7