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10.若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}x - \dfrac{1}{4}(4a - 2) ≤ \dfrac{1}{2}, \\\dfrac{3x - 1}{2} ＜ x + 3\end{cases}$的解集是$x ≤ a$，
且关于$y$的方程$2y - a - 3 = 0$有非负整数解，则符合条件的所有整数$a$的个数为
且关于$y$的方程$2y - a - 3 = 0$有非负整数解，则符合条件的所有整数$a$的个数为
5
。答案
10.5
解析
【分析】
解题时先分两步走：第一步先解不等式组中的两个不等式，根据“同小取小”的解集规则，结合已知的解集$x≤a$，得出$a$的第一个取值范围；第二步解关于$y$的一元一次方程，根据方程有非负整数解的要求，得到$y≥0$且$y$为整数，进而推导$a$的第二个取值范围和奇偶性要求；最后结合两个条件筛选出所有符合要求的整数$a$，统计个数即可。
【解析】
1. 解不等式组：
先解第一个不等式$x - \dfrac{1}{4}(4a - 2) ≤ \dfrac{1}{2}$：
去括号得：$x - a + \dfrac{1}{2} ≤ \dfrac{1}{2}$
移项化简得：$x ≤ a$
再解第二个不等式$\dfrac{3x - 1}{2} ＜ x + 3$：
两边同乘2去分母得：$3x - 1 ＜ 2x + 6$
移项化简得：$x ＜ 7$
已知不等式组的解集为$x ≤ a$，根据“同小取小”的解集规则，可得$a ＜ 7$。
2. 解关于$y$的方程$2y - a - 3 = 0$：
移项得：$2y = a + 3$，即$y = \dfrac{a+3}{2}$
因为方程有非负整数解，所以$y ≥ 0$且$y$为整数：
① 由$y ≥ 0$得：$\dfrac{a+3}{2} ≥ 0$，解得$a ≥ -3$；
② 由$y$为整数得：$a+3$是2的倍数，即$a$为奇数。
3. 结合上述条件，$a$的取值范围为$-3 ≤ a ＜ 7$，且$a$为奇数，符合条件的整数$a$有：$-3、-1、1、3、5$，共5个。
【答案】
5
【知识点】
一元一次不等式组的解法，一元一次方程的解法，不等式组解集判定
【点评】
本题属于不等式与方程的综合基础题，解题核心是准确掌握不等式组解集的取法，同时注意“非负整数”包含0，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
解题时先分两步走：第一步先解不等式组中的两个不等式，根据“同小取小”的解集规则，结合已知的解集$x≤a$，得出$a$的第一个取值范围；第二步解关于$y$的一元一次方程，根据方程有非负整数解的要求，得到$y≥0$且$y$为整数，进而推导$a$的第二个取值范围和奇偶性要求；最后结合两个条件筛选出所有符合要求的整数$a$，统计个数即可。
【解析】
1. 解不等式组：
先解第一个不等式$x - \dfrac{1}{4}(4a - 2) ≤ \dfrac{1}{2}$：
去括号得：$x - a + \dfrac{1}{2} ≤ \dfrac{1}{2}$
移项化简得：$x ≤ a$
再解第二个不等式$\dfrac{3x - 1}{2} ＜ x + 3$：
两边同乘2去分母得：$3x - 1 ＜ 2x + 6$
移项化简得：$x ＜ 7$
已知不等式组的解集为$x ≤ a$，根据“同小取小”的解集规则，可得$a ＜ 7$。
2. 解关于$y$的方程$2y - a - 3 = 0$：
移项得：$2y = a + 3$，即$y = \dfrac{a+3}{2}$
因为方程有非负整数解，所以$y ≥ 0$且$y$为整数：
① 由$y ≥ 0$得：$\dfrac{a+3}{2} ≥ 0$，解得$a ≥ -3$；
② 由$y$为整数得：$a+3$是2的倍数，即$a$为奇数。
3. 结合上述条件，$a$的取值范围为$-3 ≤ a ＜ 7$，且$a$为奇数，符合条件的整数$a$有：$-3、-1、1、3、5$，共5个。
【答案】
5
【知识点】
一元一次不等式组的解法，一元一次方程的解法，不等式组解集判定
【点评】
本题属于不等式与方程的综合基础题，解题核心是准确掌握不等式组解集的取法，同时注意“非负整数”包含0，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 已知$6a - 3$的立方根是3，$3a + b - 1$的算术平方根是4，$c$是$\sqrt{21} - 1$的整数部分.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$3a - b + c$的平方根.
11. 已知$6a - 3$的立方根是3，$3a + b - 1$的算术平方根是4，$c$是$\sqrt{21} - 1$的整数部分.
(1)求$a,b,c$的值；
(2)求$3a - b + c$的平方根.
答案
11.解:(1)
∵6a−3的立方根是3.
∴6a−3=3³=27.
∴a=5,
∵3a+b−1的算术平方根是4,
∴3a+b−1=16,
代入a=5得,15+b−1=16,
解得b=2.
∵16＜21＜25,
∴4＜√21＜5.
∴3＜√21−1＜4.
∴√21−1的整数部分是3,
∴c=3.
综上:a=5,b=2,c=3;
(2)
∵a=5,b=2,c=3.
∴3a−b+c=16,
∵16的平方根是±4,
∴3a−b+c的平方根是±4.
∵6a−3的立方根是3.
∴6a−3=3³=27.
∴a=5,
∵3a+b−1的算术平方根是4,
∴3a+b−1=16,
代入a=5得,15+b−1=16,
解得b=2.
∵16＜21＜25,
∴4＜√21＜5.
∴3＜√21−1＜4.
∴√21−1的整数部分是3,
∴c=3.
综上:a=5,b=2,c=3;
(2)
∵a=5,b=2,c=3.
∴3a−b+c=16,
∵16的平方根是±4,
∴3a−b+c的平方根是±4.
解析
【分析】
解题思路分两部分梳理：(1)求a、b、c的值：①根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出a的值；②根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，代入已求出的a的值即可算出b的值；③要得到√21-1的整数部分，先找和21相邻的两个完全平方数，确定√21的取值范围，再给不等式各部分减1，得到√21-1的范围，其整数部分就是c的值。(2)求3a-b+c的平方根：先把a、b、c的值代入代数式算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出最终结果。
【解析】
(1)
∵6a−3的立方根是3，
∴6a−3=3³=27，
解得a=5，
∵3a+b−1的算术平方根是4，
∴3a+b−1=4²=16，
将a=5代入得：15+b−1=16，
解得b=2，
∵16＜21＜25，
∴√16＜√21＜√25，即4＜√21＜5，
不等式两边同时减1得：3＜√21−1＜4，
∴√21−1的整数部分是3，即c=3。
综上，a=5，b=2，c=3。
(2)
将a=5，b=2，c=3代入3a−b+c得：
3×5 - 2 + 3 = 16，
∵(±4)²=16，
∴16的平方根是±4，即3a−b+c的平方根是±4。
【答案】
(1)a=5，b=2，c=3；(2)±4
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于根式基础综合题，解题核心是区分立方根、算术平方根、平方根的概念，估算无理数时要先锁定和被开方数相邻的两个完全平方数，求平方根时注意正数有两个互为相反数的结果，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
解题思路分两部分梳理：(1)求a、b、c的值：①根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，据此列方程可求出a的值；②根据算术平方根的定义，若一个数的算术平方根是4，则这个数等于4的平方，代入已求出的a的值即可算出b的值；③要得到√21-1的整数部分，先找和21相邻的两个完全平方数，确定√21的取值范围，再给不等式各部分减1，得到√21-1的范围，其整数部分就是c的值。(2)求3a-b+c的平方根：先把a、b、c的值代入代数式算出结果，再根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可求出最终结果。
【解析】
(1)
∵6a−3的立方根是3，
∴6a−3=3³=27，
解得a=5，
∵3a+b−1的算术平方根是4，
∴3a+b−1=4²=16，
将a=5代入得：15+b−1=16，
解得b=2，
∵16＜21＜25，
∴√16＜√21＜√25，即4＜√21＜5，
不等式两边同时减1得：3＜√21−1＜4，
∴√21−1的整数部分是3，即c=3。
综上，a=5，b=2，c=3。
(2)
将a=5，b=2，c=3代入3a−b+c得：
3×5 - 2 + 3 = 16，
∵(±4)²=16，
∴16的平方根是±4，即3a−b+c的平方根是±4。
【答案】
(1)a=5，b=2，c=3；(2)±4
【知识点】
立方根的定义，算术平方根的定义，无理数的估算
【点评】
本题属于根式基础综合题，解题核心是区分立方根、算术平方根、平方根的概念，估算无理数时要先锁定和被开方数相邻的两个完全平方数，求平方根时注意正数有两个互为相反数的结果，不要漏写负根。
【难度系数】
0.8
12.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系,已知三角形ABC的顶点A的坐标为A(-1,4),顶点B的坐标为(-4,3),顶点C的坐标为(-3,1).
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形A'B'C',请你画出三角形A'B'C';
(2)请直接写出点A',B',C'的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形A'B'C',请你画出三角形A'B'C';
(2)请直接写出点A',B',C'的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.
答案
12.解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求：
(2)A'(4,0),B'(1,−1),C'(2,−3);
(3)S△ABC=3×3−1/2×2×1−1/2×3×1−1/2×3×2=3.5.
解析
【分析】
(1) 平移图形时，只需先对三角形的三个顶点按照平移规则进行平移，再顺次连接平移后的顶点即可得到平移后的图形。平移规则为：向右平移横坐标加平移单位，向下平移纵坐标减平移单位。
(2) 直接利用平移的坐标变化规律：横坐标右移加，纵坐标下移减，分别代入A、B、C三点的原始坐标计算即可得到对应点的坐标。
(3) 网格中求三边均不与坐标轴平行的三角形面积，可采用割补法：先用一个矩形将三角形完全包裹，再用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积，计算更简便。
【解析】
(1) 首先对三个顶点进行平移：将点A(-1,4)向右平移5个单位、向下平移4个单位得到A'，同理平移B、C得到B'、C'，最后顺次连接A'、B'、C'，即可得到△A'B'C'。
(2) 计算各点坐标：
A点平移后：横坐标$-1+5=4$，纵坐标$4-4=0$，即$A'(4,0)$；
B点平移后：横坐标$-4+5=1$，纵坐标$3-4=-1$，即$B'(1,-1)$；
C点平移后：横坐标$-3+5=2$，纵坐标$1-4=-3$，即$C'(2,-3)$。
(3) 用割补法计算△ABC的面积：
先作边长为3的矩形将△ABC包裹，矩形面积$=3×3=9$；
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此$S_{△ ABC}=9 - 1 - 1.5 - 3=3.5$。
【答案】
(1) 如图所示,△A'B'C'即为所求：
(2) A'(4,0),B'(1,−1),C'(2,−3);
(3) 三角形ABC的面积为3.5。
【知识点】
坐标平移规律，格点图形面积计算，平面直角坐标系描点
【点评】
本题围绕平面直角坐标系考查图形平移、坐标变换、面积计算三个基础考点，解题核心是熟练掌握平移的坐标变化规则，以及运用割补法简化网格中不规则图形的面积计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 平移图形时，只需先对三角形的三个顶点按照平移规则进行平移，再顺次连接平移后的顶点即可得到平移后的图形。平移规则为：向右平移横坐标加平移单位，向下平移纵坐标减平移单位。
(2) 直接利用平移的坐标变化规律：横坐标右移加，纵坐标下移减，分别代入A、B、C三点的原始坐标计算即可得到对应点的坐标。
(3) 网格中求三边均不与坐标轴平行的三角形面积，可采用割补法：先用一个矩形将三角形完全包裹，再用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积，计算更简便。
【解析】
(1) 首先对三个顶点进行平移：将点A(-1,4)向右平移5个单位、向下平移4个单位得到A'，同理平移B、C得到B'、C'，最后顺次连接A'、B'、C'，即可得到△A'B'C'。
(2) 计算各点坐标：
A点平移后：横坐标$-1+5=4$，纵坐标$4-4=0$，即$A'(4,0)$；
B点平移后：横坐标$-4+5=1$，纵坐标$3-4=-1$，即$B'(1,-1)$；
C点平移后：横坐标$-3+5=2$，纵坐标$1-4=-3$，即$C'(2,-3)$。
(3) 用割补法计算△ABC的面积：
先作边长为3的矩形将△ABC包裹，矩形面积$=3×3=9$；
周围三个直角三角形的面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此$S_{△ ABC}=9 - 1 - 1.5 - 3=3.5$。
【答案】
(1) 如图所示,△A'B'C'即为所求：
(2) A'(4,0),B'(1,−1),C'(2,−3);
(3) 三角形ABC的面积为3.5。
【知识点】
坐标平移规律，格点图形面积计算，平面直角坐标系描点
【点评】
本题围绕平面直角坐标系考查图形平移、坐标变换、面积计算三个基础考点，解题核心是熟练掌握平移的坐标变化规则，以及运用割补法简化网格中不规则图形的面积计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
13.为改善城市人民居住环境,某区域每天需要处理生活垃圾920吨,刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数;
(2)由于垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾,同时由于市民环保意识增强,该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个,则至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾?
(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数;
(2)由于垃圾分类要求提高,现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾,同时由于市民环保意识增强,该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个,则至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾?
答案
13.解:(1)设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨.
每个A型点位每天处理生活垃圾y吨.
依题意得:$\begin{cases} x+7=y, \\ 10x+12y=920, \end{cases}$
解得:$\begin{cases} x=38, \\ y=45. \end{cases}$
答:每个B型点位每天处理生活垃圾38吨.
(2)设需要增设m个A型点位,则增设(5−m)个B型点位,
依题意得:$(45−8)(12+m)+(38−8)[10+(5−m)]≥920−10$,
解得:$m≥\dfrac{16}{7}$.
又
∵m为正整数,
∴m的最小值为3.
答:至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.
每个A型点位每天处理生活垃圾y吨.
依题意得:$\begin{cases} x+7=y, \\ 10x+12y=920, \end{cases}$
解得:$\begin{cases} x=38, \\ y=45. \end{cases}$
答:每个B型点位每天处理生活垃圾38吨.
(2)设需要增设m个A型点位,则增设(5−m)个B型点位,
依题意得:$(45−8)(12+m)+(38−8)[10+(5−m)]≥920−10$,
解得:$m≥\dfrac{16}{7}$.
又
∵m为正整数,
∴m的最小值为3.
答:至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾.
解析
【分析】
(1) 第一问需要找到两个等量关系：①1个A型点位日处理量 = 1个B型点位日处理量 + 7吨；②12个A型点位日处理总量 + 10个B型点位日处理总量 = 920吨。我们可以分别设A、B型点位的日处理量为未知数，列二元一次方程组求解即可。
(2) 第二问首先要明确调整后的各项参数：调整后A型点位日处理量为原处理量减8吨，B型点位同理，总需处理的垃圾量为原总量减10吨。设增设A型点位m个，则增设B型点位为(5-m)个，根据“所有点位日处理总量≥总垃圾量”列不等式，再结合m为正整数的实际要求，取最小的符合条件的m值即可。
【解析】
(1) 设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，每个A型点位每天处理生活垃圾y吨。
依题意得：
$\begin{cases} x+7=y \\ 10x+12y=920 \end{cases}$
将$y=x+7$代入$10x+12y=920$，得$10x+12(x+7)=920$，
展开计算得$22x+84=920$，解得$x=38$，则$y=38+7=45$。
(2) 设需要增设m个A型点位，则增设$(5-m)$个B型点位。
调整后A型点位日处理量为$45-8=37$吨，B型点位日处理量为$38-8=30$吨，总需处理垃圾量为$920-10=910$吨。
依题意得：
$(45-8)(12+m)+(38-8)[10+(5-m)]≥920-10$
整理得$7m+894≥910$，解得$m≥\dfrac{16}{7}$。
∵m为正整数，
∴m的最小值为3。
【答案】
(1) 每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
(2) 至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的综合应用，要求学生具备从题干提取数量关系的建模能力，解题时要注意未知数的实际意义，需取符合要求的正整数解，整体难度适中，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需要找到两个等量关系：①1个A型点位日处理量 = 1个B型点位日处理量 + 7吨；②12个A型点位日处理总量 + 10个B型点位日处理总量 = 920吨。我们可以分别设A、B型点位的日处理量为未知数，列二元一次方程组求解即可。
(2) 第二问首先要明确调整后的各项参数：调整后A型点位日处理量为原处理量减8吨，B型点位同理，总需处理的垃圾量为原总量减10吨。设增设A型点位m个，则增设B型点位为(5-m)个，根据“所有点位日处理总量≥总垃圾量”列不等式，再结合m为正整数的实际要求，取最小的符合条件的m值即可。
【解析】
(1) 设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，每个A型点位每天处理生活垃圾y吨。
依题意得：
$\begin{cases} x+7=y \\ 10x+12y=920 \end{cases}$
将$y=x+7$代入$10x+12y=920$，得$10x+12(x+7)=920$，
展开计算得$22x+84=920$，解得$x=38$，则$y=38+7=45$。
(2) 设需要增设m个A型点位，则增设$(5-m)$个B型点位。
调整后A型点位日处理量为$45-8=37$吨，B型点位日处理量为$38-8=30$吨，总需处理垃圾量为$920-10=910$吨。
依题意得：
$(45-8)(12+m)+(38-8)[10+(5-m)]≥920-10$
整理得$7m+894≥910$，解得$m≥\dfrac{16}{7}$。
∵m为正整数，
∴m的最小值为3。
【答案】
(1) 每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；
(2) 至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解
【点评】
本题结合生活实际考查方程与不等式的综合应用，要求学生具备从题干提取数量关系的建模能力，解题时要注意未知数的实际意义，需取符合要求的正整数解，整体难度适中，注重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
