1.(1)【探究发现】如图①，P是等边△ABC内一点，PA=4，PB=3，PC=5，求∠APB的度数.
解:将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP'A的位置，连接PP'，则△BPP'是三角形，∴PP'=PB=3.∵AP=4，AP'=CP=5，∴PP'²+AP²=AP'²，∴△PAP'为直角三角形，∴∠APB的度数为.
(2)【类比延伸】如图②，在正方形ABCD内部有一点P，连接PA，PB，PC，若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.
(3)【拓展迁移】如图③，在正六边形ABCDEF内部有一点P，若PA=4，PB=2，PF=2√13，请求出∠APB的度数及正六边形的边长.

1.(1) 等边，150°
(2) 解:如答图①,把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP',连接PP'.

∴P'B=PB=4,P'C=PA=2,∠PBP'=90°,
∴△BPP'是等腰直角三角形,
∴∠PP'B=45°.
在等腰直角△BPP'中,由勾股定理,得
PP'=√(BP²+BP'²)=√(4²+4²)=4√2.
∵∠APB=135°,
∴∠CP'B=∠APB=135°,
∴∠PP'C=135°-45°=90°.
在Rt△PP'C中,由勾股定理,得PC=√(P'P²+P'C²)=6.
(3)解:
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=180°×(6-2)/6=120°,AF=AB.
如答图②,将△FAP绕点A顺时针旋转120°得到△BAG,连接PG,

∴AG=AP=4,BG=PF=2√13,∠PAG=120°,
∴∠AGP=∠APG=30°.
过点A作AM⊥PG于点M,则PG=2PM=2×(√3/2)AP=4√3,
∴PG²=48.
又
∵PB²=4,BG²=(2√13)²=52,
∴PG²+PB²=BG²,
∴△BPG是直角三角形,即∠BPG=90°,
∴∠APB=120°.
过点B作BH⊥AP,交AP的延长线于点H,则∠BPH=60°,
∴∠PBH=30°,
∴PH=1/2 PB=1,
∴AH=5,BH=√3.
在Rt△ABH中,由勾股定理得AB=√(AH²+BH²)=2√7,
∴正六边形的边长为2√7.

2.(2025·兰州)【提出问题】数学讨论课上,小明绘制图①所示的图形,正方形ABCD与正方形BEFG(AB＞BE),点E,G分别在AB,BC上.根据图形提出问题:如图②,正方形BEFG绕点B顺时针旋转,旋转角为α(0°＜α＜180°),直线AE与CG相交于点H,连接BH,探究线段AH,BH,CH之间的数量关系.
【解决问题】(1)小明将上述问题特殊化,如图③,当点G,H重合时,请你写出AH,BH,CH之间的数量关系,并说明理由;
(2)小明借鉴(1)中特殊化的解题策略后,再解决图②所示的一般化问题,当点G,H不重合时,请你写出AH,BH,CH之间的数量关系,并说明理由;
【拓展问题】(3)小明将图②所示问题中的旋转角α的范围再扩大,正方形BEFG绕点B顺时针旋转,旋转角为α(180°＜α＜360°),直线AE与CG相交于点H,连接BH,请直接写出AH,BH,CH之间的数量关系.

2.解:(1)AH=CH+√2 BH,理由如下：
∵四边形ABCD与四边形BEFG都是正方形，
∴AB=BC,BE=BH,∠ABC=90°,∠EBH=90°,
∴EH=√2 BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG,
∴△ABE≌△CBG(SAS),
∴AE=CG,
∴AH=AE+EH=CH+√2 BH.
(2)AH=CH+√2 BH,理由如下：
由(1)得△ABE≌△CBG(SAS),
∴∠BCH=∠EAB,
如答图①,在AE上截取AM=CH,连接BM.
∵∠BCH=∠BAM,AB=CB,
∴△MAB≌△HCB(SAS),
∴∠MBA=∠CBH,BM=BH.
∵∠HBG=90°-∠CBH-∠EBC,∠EBM=90°-∠MBA-∠EBC,
∴∠HBG=∠EBM,
∴∠MBH=∠EBM+∠EBC+∠CBH=∠HBG+∠EBC+∠CBH=∠EBG=90°,
∴△MBH是等腰直角三角形,
∴MH=√2 BH.
∵AH=AM+MH,
∴AH=CH+√2 BH.
(3)CH=AH+√2 BH.
理由:由(1)得△ABE≌△CBG(SAS),
∴AE=CG,∠BCH=∠HAB,
如答图②,在CG上截取CM=AH,连接BM.
∵∠BCH=∠HAB,BC=AB,
∴△ABH≌△CBM(SAS),
∴BH=BM,∠MBC=∠ABH,
同理,△MBH是等腰直角三角形,
∴MH=√2 BH.
∵CH=CM+MH,
∴CH=AH+√2 BH.