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1 观察下列每组三角形，不能判定相似的是(
D
) 答案
1. D
解析
【分析】
解题时需结合相似三角形的判定定理，逐个分析选项：首先回忆相似三角形的三类判定方法：三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等，均可判定三角形相似。依次验证每个选项是否满足判定条件，找出不满足的选项即可。
【解析】
我们依据相似三角形的判定定理逐一分析：
1. 选项A：两个三角形的三边长分别为4、5、6和2、2.5、3，计算对应边比值：$\frac{4}{2}=2$，$\frac{5}{2.5}=2$，$\frac{6}{3}=2$，三边对应成比例，因此两个三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：两个三角形边长为4、6的边夹角为58°，边长为2、3的边夹角也为58°，对应边比值$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2$，满足两边对应成比例且夹角相等，因此两个三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：两个三角形有一组对顶角相等，同时各有一个40°的内角相等，满足两角分别相等，因此两个三角形相似，不符合题意。
4. 选项D：大三角形的35°角是底角，小三角形的35°角是顶角，无法证明两个三角形有两组对应角相等，也没有边成比例的相关条件，因此不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时要格外注意边和角的对应关系：两边成比例时，相等的角必须是这两组边的夹角；角相等时要确认是对应角相等，避免因对应关系判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
解题时需结合相似三角形的判定定理，逐个分析选项：首先回忆相似三角形的三类判定方法：三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等、两角分别相等，均可判定三角形相似。依次验证每个选项是否满足判定条件，找出不满足的选项即可。
【解析】
我们依据相似三角形的判定定理逐一分析：
1. 选项A：两个三角形的三边长分别为4、5、6和2、2.5、3，计算对应边比值：$\frac{4}{2}=2$，$\frac{5}{2.5}=2$，$\frac{6}{3}=2$，三边对应成比例，因此两个三角形相似，不符合题意。
2. 选项B：两个三角形边长为4、6的边夹角为58°，边长为2、3的边夹角也为58°，对应边比值$\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=2$，满足两边对应成比例且夹角相等，因此两个三角形相似，不符合题意。
3. 选项C：两个三角形有一组对顶角相等，同时各有一个40°的内角相等，满足两角分别相等，因此两个三角形相似，不符合题意。
4. 选项D：大三角形的35°角是底角，小三角形的35°角是顶角，无法证明两个三角形有两组对应角相等，也没有边成比例的相关条件，因此不能判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的实际应用，解题时要格外注意边和角的对应关系：两边成比例时，相等的角必须是这两组边的夹角；角相等时要确认是对应角相等，避免因对应关系判断错误丢分。
【难度系数】
0.7
2 把$△ ABC$经过下列变形后得到新的三角形，其中，与$△ ABC$相似的是（
A.各边长都加2
B.各边长都减2
C.各边长都乘2
D.各边长都平方
C
）A.各边长都加2
B.各边长都减2
C.各边长都乘2
D.各边长都平方
答案
2. C
解析
【分析】
本题核心考查利用三边关系判定三角形相似，解题思路如下：首先回忆判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。我们可以先设原△ABC的三边长分别为a、b、c，再分别计算每个选项变形后新三角形的边长，逐一判断新边长与原边长的比值是否全部相等，若比值全部相等则三边成比例，两三角形相似，反之则不相似。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。设原△ABC的三边长分别为$a$、$b$、$c$：
选项A：各边长加2后，新三边长为$a+2$、$b+2$、$c+2$，可得$\frac{a+2}{a}=1+\frac{2}{a}$，$\frac{b+2}{b}=1+\frac{2}{b}$，$\frac{c+2}{c}=1+\frac{2}{c}$，若$a、b、c$不全相等，三个比值不相等，三边不成比例，故新三角形与△ABC不相似，A错误。
选项B：各边长减2后，新三边长为$a-2$、$b-2$、$c-2$，同理可得$\frac{a-2}{a}=1-\frac{2}{a}$，$\frac{b-2}{b}=1-\frac{2}{b}$，$\frac{c-2}{c}=1-\frac{2}{c}$，若$a、b、c$不全相等，三个比值不相等，三边不成比例，故新三角形与△ABC不相似，B错误。
选项C：各边长乘2后，新三边长为$2a$、$2b$、$2c$，可得$\frac{2a}{a}=\frac{2b}{b}=\frac{2c}{c}=2$，三边对应成比例，故新三角形与△ABC相似，C正确。
选项D：各边长平方后，新三边长为$a^2$、$b^2$、$c^2$，可得$\frac{a^2}{a}=a$，$\frac{b^2}{b}=b$，$\frac{c^2}{c}=c$，若$a、b、c$不全相等，三个比值不相等，三边不成比例，故新三角形与△ABC不相似，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形三边判定定理
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对相似三角形三边判定定理的理解，解题关键是明确只有当三角形各边同时扩大或缩小相同的倍数时，才能保证三边对应成比例，两三角形相似。
【难度系数】
0.8
本题核心考查利用三边关系判定三角形相似，解题思路如下：首先回忆判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。我们可以先设原△ABC的三边长分别为a、b、c，再分别计算每个选项变形后新三角形的边长，逐一判断新边长与原边长的比值是否全部相等，若比值全部相等则三边成比例，两三角形相似，反之则不相似。
【解析】
根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似。设原△ABC的三边长分别为$a$、$b$、$c$：
选项A：各边长加2后，新三边长为$a+2$、$b+2$、$c+2$，可得$\frac{a+2}{a}=1+\frac{2}{a}$，$\frac{b+2}{b}=1+\frac{2}{b}$，$\frac{c+2}{c}=1+\frac{2}{c}$，若$a、b、c$不全相等，三个比值不相等，三边不成比例，故新三角形与△ABC不相似，A错误。
选项B：各边长减2后，新三边长为$a-2$、$b-2$、$c-2$，同理可得$\frac{a-2}{a}=1-\frac{2}{a}$，$\frac{b-2}{b}=1-\frac{2}{b}$，$\frac{c-2}{c}=1-\frac{2}{c}$，若$a、b、c$不全相等，三个比值不相等，三边不成比例，故新三角形与△ABC不相似，B错误。
选项C：各边长乘2后，新三边长为$2a$、$2b$、$2c$，可得$\frac{2a}{a}=\frac{2b}{b}=\frac{2c}{c}=2$，三边对应成比例，故新三角形与△ABC相似，C正确。
选项D：各边长平方后，新三边长为$a^2$、$b^2$、$c^2$，可得$\frac{a^2}{a}=a$，$\frac{b^2}{b}=b$，$\frac{c^2}{c}=c$，若$a、b、c$不全相等，三个比值不相等，三边不成比例，故新三角形与△ABC不相似，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 相似三角形三边判定定理
2. 比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对相似三角形三边判定定理的理解，解题关键是明确只有当三角形各边同时扩大或缩小相同的倍数时，才能保证三边对应成比例，两三角形相似。
【难度系数】
0.8
3（易错题）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是
5或$\sqrt{7}$
.答案
3. 5或$\sqrt{7}$
易错分析：两条边长分别是6和8的直角三角形,没有明确直角边和斜边,应分情况讨论,本题容易漏掉一种情况.
易错分析：两条边长分别是6和8的直角三角形,没有明确直角边和斜边,应分情况讨论,本题容易漏掉一种情况.
解析
【分析】
解题时首先要注意，题干未明确边长为6和8的直角三角形中，两条边是直角边还是有一条为斜边，因此需先分类讨论求出该直角三角形的第三边；再根据两个相似直角三角形的已知对应边6与3、8与4，得出相似比为2:1，最后按相似三角形对应边成比例的性质，即可求出x的两个可能值，注意避免未分类讨论导致漏解。
【解析】
分两种情况讨论第一个直角三角形的边长：
1. 当6和8均为该直角三角形的直角边时：
根据勾股定理，其斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
已知两个三角形相似，对应边成比例，由6对应3、8对应4可得相似比为$6:3=2:1$，因此第二个三角形的未知边x对应第一个三角形的斜边10，即$x=10÷2=5$。
2. 当8为该直角三角形的斜边，6为直角边时：
根据勾股定理，另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
同理相似比为2:1，因此第二个三角形的未知边x对应第一个三角形的直角边$2\sqrt{7}$，即$x=2\sqrt{7}÷2=\sqrt{7}$。
综上，x的值为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确直角三角形未指明边长类型时，要分边长均为直角边、较长边为斜边两种情况讨论，再结合相似三角形对应边成比例的性质计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要注意，题干未明确边长为6和8的直角三角形中，两条边是直角边还是有一条为斜边，因此需先分类讨论求出该直角三角形的第三边；再根据两个相似直角三角形的已知对应边6与3、8与4，得出相似比为2:1，最后按相似三角形对应边成比例的性质，即可求出x的两个可能值，注意避免未分类讨论导致漏解。
【解析】
分两种情况讨论第一个直角三角形的边长：
1. 当6和8均为该直角三角形的直角边时：
根据勾股定理，其斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
已知两个三角形相似，对应边成比例，由6对应3、8对应4可得相似比为$6:3=2:1$，因此第二个三角形的未知边x对应第一个三角形的斜边10，即$x=10÷2=5$。
2. 当8为该直角三角形的斜边，6为直角边时：
根据勾股定理，另一条直角边长为$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
同理相似比为2:1，因此第二个三角形的未知边x对应第一个三角形的直角边$2\sqrt{7}$，即$x=2\sqrt{7}÷2=\sqrt{7}$。
综上，x的值为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
5或$\sqrt{7}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论
【点评】
本题属于易错题，解题的关键是明确直角三角形未指明边长类型时，要分边长均为直角边、较长边为斜边两种情况讨论，再结合相似三角形对应边成比例的性质计算，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4 教材变式题 如图，在网格中，相似的两个三角形是
②⑤
（填序号）。答案
4. ②⑤
解析
【分析】
要判断网格中相似的三角形，可采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先设每个小方格边长为1，借助勾股定理分别计算出5个三角形的三边长，再逐一比对不同三角形三边的比值，找到三边对应成比例的两个三角形即为答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的三边长：
①的三边长分别为$2$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$；
②的三边长分别为$2$、$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$；
③的三边长分别为$3$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$；
④的三边长分别为$2$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{17}$；
⑤的三边长分别为$3$、$3\sqrt{2}$、$3\sqrt{5}$。
观察可得：②和⑤的三边对应比值为$\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$，三边对应成比例，故②和⑤相似。
【答案】
②⑤
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查网格背景下三角形相似的判定，解题核心是准确计算各三角形的边长，再通过三边比例关系判断是否相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要判断网格中相似的三角形，可采用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法求解。首先设每个小方格边长为1，借助勾股定理分别计算出5个三角形的三边长，再逐一比对不同三角形三边的比值，找到三边对应成比例的两个三角形即为答案。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理计算各三角形的三边长：
①的三边长分别为$2$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$；
②的三边长分别为$2$、$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$；
③的三边长分别为$3$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$；
④的三边长分别为$2$、$\sqrt{13}$、$\sqrt{17}$；
⑤的三边长分别为$3$、$3\sqrt{2}$、$3\sqrt{5}$。
观察可得：②和⑤的三边对应比值为$\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3}$，三边对应成比例，故②和⑤相似。
【答案】
②⑤
【知识点】
相似三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查网格背景下三角形相似的判定，解题核心是准确计算各三角形的边长，再通过三边比例关系判断是否相似，掌握相似三角形的判定定理是解题的前提。
【难度系数】
0.7
5 根据下面各组条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1) AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 8 cm, A'B' = 12 cm, B'C' = 18 cm, A'C' = 21 cm;
(2) AB = 10 cm, BC = 8 cm, AC = 16 cm, A'B' = 16 cm, B'C' = 12.8 cm, A'C' = 25.6 cm.
(1) AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 8 cm, A'B' = 12 cm, B'C' = 18 cm, A'C' = 21 cm;
(2) AB = 10 cm, BC = 8 cm, AC = 16 cm, A'B' = 16 cm, B'C' = 12.8 cm, A'C' = 25.6 cm.
答案
5. (1) 不相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21},\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}≠\frac{AC}{A'C'}.\therefore △ABC$与$△A'B'C'$不相似.
(2) 相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},\frac{BC}{B'C'}=\frac{8}{12.8}=\frac{5}{8}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{16}{25.6}=\frac{5}{8}, \therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}. \therefore △ABC ∽ △A'B'C'$.
(2) 相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},\frac{BC}{B'C'}=\frac{8}{12.8}=\frac{5}{8}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{16}{25.6}=\frac{5}{8}, \therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}. \therefore △ABC ∽ △A'B'C'$.
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，本题已知两个三角形的三边长，可使用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。解题时先将两个三角形的边按长短对应（短边对短边、中边对中边、长边对长边），分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等则两个三角形相似，若存在比值不相等则不相似。
【解析】
(1) 计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21}$
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}≠\frac{AC}{A'C'}$，三组对应边比值不全相等，不符合相似判定条件。
(2) 计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{8}{12.8}=\frac{5}{8}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{16}{25.6}=\frac{5}{8}$
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，三组对应边比值全部相等，符合相似判定条件。
【答案】
(1) 不相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21},\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}≠\frac{AC}{A'C'}.\therefore △ABC$与$△A'B'C'$不相似。
(2) 相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},\frac{BC}{B'C'}=\frac{8}{12.8}=\frac{5}{8}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{16}{25.6}=\frac{5}{8}, \therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}. \therefore △ABC ∽ △A'B'C'$。
【知识点】
1. 三边成比例判定三角形相似
2. 比例化简计算
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题型，核心考查三边判定定理的运用，解题时需注意对应边按长度大小匹配，准确计算比值即可得出结论，易错点为对应边匹配错误或比值计算失误。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否相似，本题已知两个三角形的三边长，可使用“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理解题。解题时先将两个三角形的边按长短对应（短边对短边、中边对中边、长边对长边），分别计算三组对应边的比值，若三组比值全部相等则两个三角形相似，若存在比值不相等则不相似。
【解析】
(1) 计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21}$
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}≠\frac{AC}{A'C'}$，三组对应边比值不全相等，不符合相似判定条件。
(2) 计算三组对应边的比值：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{8}{12.8}=\frac{5}{8}$，$\frac{AC}{A'C'}=\frac{16}{25.6}=\frac{5}{8}$
可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，三组对应边比值全部相等，符合相似判定条件。
【答案】
(1) 不相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{21},\therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}≠\frac{AC}{A'C'}.\therefore △ABC$与$△A'B'C'$不相似。
(2) 相似 理由: $\because \frac{AB}{A'B'}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8},\frac{BC}{B'C'}=\frac{8}{12.8}=\frac{5}{8}$, $\frac{AC}{A'C'}=\frac{16}{25.6}=\frac{5}{8}, \therefore \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}. \therefore △ABC ∽ △A'B'C'$。
【知识点】
1. 三边成比例判定三角形相似
2. 比例化简计算
【点评】
本题是三角形相似判定的基础题型，核心考查三边判定定理的运用，解题时需注意对应边按长度大小匹配，准确计算比值即可得出结论，易错点为对应边匹配错误或比值计算失误。
【难度系数】
0.8
6 如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,连接DE,EF,FD.求证:$△ ABC ∼ △ FDE$.
答案
6. $\because D,E,F$分别是$AC,AB,BC$的中点,$\therefore DE,DF,EF$均为$△ABC$的中位线. $\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{DF}{BA}=\frac{EF}{CA}=\frac{1}{2}$,即$\frac{BC}{DE}=\frac{BA}{DF}=\frac{CA}{EF}=2. \therefore △ABC∽△FDE$
解析
【分析】
要证明△ABC∽△FDE，首先观察已知条件：D、E、F均为△ABC各边的中点，首先联想到三角形中位线定理，中位线长度等于对应第三边的一半，由此可得到两个三角形三组对应边的比值相等，再结合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，
∴DE,DF,EF均为△ABC的中位线。
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{BA}=\frac{EF}{CA}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BC}{DE}=\frac{BA}{DF}=\frac{CA}{EF}=2$。
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ABC∽△FDE$。
【答案】
$\because D,E,F$分别是$AC,AB,BC$的中点,$\therefore DE,DF,EF$均为$△ABC$的中位线. $\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{DF}{BA}=\frac{EF}{CA}=\frac{1}{2}$,即$\frac{BC}{DE}=\frac{BA}{DF}=\frac{CA}{EF}=2. \therefore △ABC∽△FDE$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形的三边判定
【点评】
本题属于相似三角形证明的基础题型，解题关键是利用三角形中位线的性质得到两个三角形对应边的比例关系，熟练掌握相关定理可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC∽△FDE，首先观察已知条件：D、E、F均为△ABC各边的中点，首先联想到三角形中位线定理，中位线长度等于对应第三边的一半，由此可得到两个三角形三组对应边的比值相等，再结合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵D,E,F分别是AC,AB,BC的中点，
∴DE,DF,EF均为△ABC的中位线。
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DF}{BA}=\frac{EF}{CA}=\frac{1}{2}$，即$\frac{BC}{DE}=\frac{BA}{DF}=\frac{CA}{EF}=2$。
根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ABC∽△FDE$。
【答案】
$\because D,E,F$分别是$AC,AB,BC$的中点,$\therefore DE,DF,EF$均为$△ABC$的中位线. $\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{DF}{BA}=\frac{EF}{CA}=\frac{1}{2}$,即$\frac{BC}{DE}=\frac{BA}{DF}=\frac{CA}{EF}=2. \therefore △ABC∽△FDE$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形的三边判定
【点评】
本题属于相似三角形证明的基础题型，解题关键是利用三角形中位线的性质得到两个三角形对应边的比例关系，熟练掌握相关定理可快速完成求解。
【难度系数】
0.8
7 教材变式题 如图，E是四边形ABCD内一点，且$\frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB}$。
（1）求证：$∠ DCA=∠ ECB$；
（2）若$∠ ABC+∠ ADC=180°$，求证：B，E，D三点共线。
（1）求证：$∠ DCA=∠ ECB$；
（2）若$∠ ABC+∠ ADC=180°$，求证：B，E，D三点共线。
答案
7. (1) $\because \frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB},\therefore △DEC∽△ABC. \therefore ∠DCE=∠ACB. \therefore ∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE. \therefore ∠DCA=∠ECB$
(2) 连接$BE. \because \frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB},\therefore \frac{DC}{CE}=\frac{AC}{CB}. \because ∠DCA=∠ECB,\therefore △DCA∽△ECB. \therefore ∠ADC=∠BEC. \because △DEC∽△ABC, \therefore ∠DEC=∠ABC. \because ∠ABC+∠ADC=180°,\therefore ∠DEC+∠BEC=180°. \therefore B,E,D$三点共线
(2) 连接$BE. \because \frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB},\therefore \frac{DC}{CE}=\frac{AC}{CB}. \because ∠DCA=∠ECB,\therefore △DCA∽△ECB. \therefore ∠ADC=∠BEC. \because △DEC∽△ABC, \therefore ∠DEC=∠ABC. \because ∠ABC+∠ADC=180°,\therefore ∠DEC+∠BEC=180°. \therefore B,E,D$三点共线
解析
【分析】
（1）要证明∠DCA=∠ECB，可先利用已知的三组边对应成比例，证明△DEC∽△ABC，得到对应角∠DCE=∠ACB，再将两个角同时减去公共角∠ACE，即可推出待证结论。
（2）要证明B、E、D三点共线，只需证明∠DEC+∠BEC=180°即可。首先结合（1）的结论和已知的边的比例关系，证明△DCA∽△ECB，得到∠ADC=∠BEC；再结合△DEC∽△ABC的性质得到∠DEC=∠ABC，结合已知∠ABC+∠ADC=180°，等量代换即可得到两角和为180°，进而证明三点共线。
【解析】
（1）证明：
$\because \frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB}$，
$\therefore △ DEC ∽ △ ABC$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠DCE=∠ACB$，
$\therefore ∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE$，
即$∠DCA=∠ECB$。
（2）证明：
连接$BE$，
$\because \frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB}$，
$\therefore \frac{DC}{CE}=\frac{AC}{CB}$，
又$\because ∠DCA=∠ECB$（已证），
$\therefore △ DCA ∽ △ ECB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ADC=∠BEC$，
$\because △ DEC ∽ △ ABC$（已证），
$\therefore ∠DEC=∠ABC$，
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$，
$\therefore ∠DEC+∠BEC=180°$，
$\therefore B,E,D$三点共线。
【答案】
（1）$∠DCA=∠ECB$得证；
（2）$B,E,D$三点共线得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三点共线的判定
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，解题核心是根据已知的边的比例关系找到对应相似三角形，再通过角的等量代换推导结论，其中证明三点共线的思路（证相邻两角和为180°）是几何中常用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠DCA=∠ECB，可先利用已知的三组边对应成比例，证明△DEC∽△ABC，得到对应角∠DCE=∠ACB，再将两个角同时减去公共角∠ACE，即可推出待证结论。
（2）要证明B、E、D三点共线，只需证明∠DEC+∠BEC=180°即可。首先结合（1）的结论和已知的边的比例关系，证明△DCA∽△ECB，得到∠ADC=∠BEC；再结合△DEC∽△ABC的性质得到∠DEC=∠ABC，结合已知∠ABC+∠ADC=180°，等量代换即可得到两角和为180°，进而证明三点共线。
【解析】
（1）证明：
$\because \frac{DE}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB}$，
$\therefore △ DEC ∽ △ ABC$（三边对应成比例的两个三角形相似），
$\therefore ∠DCE=∠ACB$，
$\therefore ∠DCE - ∠ACE = ∠ACB - ∠ACE$，
即$∠DCA=∠ECB$。
（2）证明：
连接$BE$，
$\because \frac{DC}{AC}=\frac{CE}{CB}$，
$\therefore \frac{DC}{CE}=\frac{AC}{CB}$，
又$\because ∠DCA=∠ECB$（已证），
$\therefore △ DCA ∽ △ ECB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore ∠ADC=∠BEC$，
$\because △ DEC ∽ △ ABC$（已证），
$\therefore ∠DEC=∠ABC$，
$\because ∠ABC+∠ADC=180°$，
$\therefore ∠DEC+∠BEC=180°$，
$\therefore B,E,D$三点共线。
【答案】
（1）$∠DCA=∠ECB$得证；
（2）$B,E,D$三点共线得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，三点共线的判定
【点评】
本题属于相似三角形的基础综合题，解题核心是根据已知的边的比例关系找到对应相似三角形，再通过角的等量代换推导结论，其中证明三点共线的思路（证相邻两角和为180°）是几何中常用的方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
