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8 新情境 传统文化 象棋是中国传统棋种，在如图所示的象棋棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则可知，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，则“马”下一步应落在 (
A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
(第8题)
B
)A.①处
B.②处
C.③处
D.④处
(第8题)答案
8. B
解析
【分析】
要判断马下一步的落点使两个三角形相似，我们可以先设每个小正方形的边长为1，先计算“帅”“相”“兵”构成三角形的三边长，得到三边的比值；再分别计算马落在四个选项位置时，“马”“车”“炮”构成三角形的三边长，根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，找到三边比值和前者相同的位置即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算“帅”“相”“兵”组成三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
因此该三角形三边的比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
已知“车”“炮”的距离为1，对应上述比值中的最小边1，只需马落点与车、炮的距离分别为$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$即可满足相似条件。
第二步：分别验证各选项：
A. 落在①处：与炮距离为3，与车距离为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边为$1,3,\sqrt{10}$，比例不符，不相似；
B. 落在②处：与炮距离为$\sqrt{(2-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$，与车距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$，与“帅”“相”“兵”三角形三边成比例，两三角形相似；
C. 落在③处：与炮距离为$\sqrt{(4-1)^2+2^2}=\sqrt{13}$，与车距离为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，比例不符，不相似；
D. 落在④处：与炮距离为5，与车距离为$\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，比例不符，不相似。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三边判定三角形相似
【点评】
本题结合象棋传统文化背景考查相似三角形的判定，解题关键是利用勾股定理准确计算网格中各线段的长度，再通过三边比例关系判断相似，兼顾了知识的应用性和趣味性。
【难度系数】
0.7
要判断马下一步的落点使两个三角形相似，我们可以先设每个小正方形的边长为1，先计算“帅”“相”“兵”构成三角形的三边长，得到三边的比值；再分别计算马落在四个选项位置时，“马”“车”“炮”构成三角形的三边长，根据“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，找到三边比值和前者相同的位置即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算“帅”“相”“兵”组成三角形的三边长：
相到兵的距离为2；
帅到相的距离：$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；
帅到兵的距离：$\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$；
因此该三角形三边的比为$2:2\sqrt{5}:4\sqrt{2}=1:\sqrt{5}:2\sqrt{2}$。
已知“车”“炮”的距离为1，对应上述比值中的最小边1，只需马落点与车、炮的距离分别为$\sqrt{5}$、$2\sqrt{2}$即可满足相似条件。
第二步：分别验证各选项：
A. 落在①处：与炮距离为3，与车距离为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，三边为$1,3,\sqrt{10}$，比例不符，不相似；
B. 落在②处：与炮距离为$\sqrt{(2-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$，与车距离为$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，三边为$1,\sqrt{5},2\sqrt{2}$，与“帅”“相”“兵”三角形三边成比例，两三角形相似；
C. 落在③处：与炮距离为$\sqrt{(4-1)^2+2^2}=\sqrt{13}$，与车距离为$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，比例不符，不相似；
D. 落在④处：与炮距离为5，与车距离为$\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$，比例不符，不相似。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，三边判定三角形相似
【点评】
本题结合象棋传统文化背景考查相似三角形的判定，解题关键是利用勾股定理准确计算网格中各线段的长度，再通过三边比例关系判断相似，兼顾了知识的应用性和趣味性。
【难度系数】
0.7
9 如图，在网格中画出四边形ABCD，连接BD，则∠BDC的度数为
135°
.答案
9. 135°
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，可先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理求出△ABD和△BDC各边的长度，通过计算三边比值证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应角相等，结合∠BAD的度数即可求出∠BDC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，令点B的坐标为(0,0)，结合网格可得A(1,1)，D(2,1)，C(5,0)。
根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=2-1=1$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$DC=\sqrt{(5-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}$，$BC=5$。
计算三边比值：
$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
即$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ BAD ∽ △ BDC$。
由网格可知$∠ BAD=180°-45°=135°$，根据相似三角形对应角相等，得$∠ BDC=∠ BAD=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的判定及性质应用，解题的核心是通过勾股定理准确计算各边长度，找到相似三角形的对应边比例关系，进而转化角度求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDC的度数，可先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理求出△ABD和△BDC各边的长度，通过计算三边比值证明两个三角形相似，再利用相似三角形对应角相等，结合∠BAD的度数即可求出∠BDC的度数。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，令点B的坐标为(0,0)，结合网格可得A(1,1)，D(2,1)，C(5,0)。
根据勾股定理计算各边长度：
$AB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AD=2-1=1$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$DC=\sqrt{(5-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}$，$BC=5$。
计算三边比值：
$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{AB}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\frac{BD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
即$\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}=\frac{BD}{BC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ BAD ∽ △ BDC$。
由网格可知$∠ BAD=180°-45°=135°$，根据相似三角形对应角相等，得$∠ BDC=∠ BAD=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合网格考查相似三角形的判定及性质应用，解题的核心是通过勾股定理准确计算各边长度，找到相似三角形的对应边比例关系，进而转化角度求解。
【难度系数】
0.7
10 如图，$AB=25$，$BC=40$，$AC=20$，$AE=12$，$AD=15$，$DE=24$.
（1）判断$△ ABC$与$△ ADE$是否相似；
（2）若$∠ BAC = 125°$，$∠ EAC = 70°$，求$∠ CAD$的度数.
（1）判断$△ ABC$与$△ ADE$是否相似；
（2）若$∠ BAC = 125°$，$∠ EAC = 70°$，求$∠ CAD$的度数.
答案
10. (1) $\because \frac{AB}{AD}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3},\frac{BC}{DE}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3},\frac{AC}{AE}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$, $\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}. \therefore △ABC∽△ADE$
(2) $\because △ABC∽△ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE. \because ∠BAC=125°, \therefore ∠DAE=125°.$ 又$\because ∠EAC=70°, \therefore ∠CAD=∠DAE-∠EAC=55°$
(2) $\because △ABC∽△ADE,\therefore ∠BAC=∠DAE. \because ∠BAC=125°, \therefore ∠DAE=125°.$ 又$\because ∠EAC=70°, \therefore ∠CAD=∠DAE-∠EAC=55°$
解析
【分析】
（1）要判断两个三角形是否相似，题目给出了两个三角形所有边的长度，优先考虑三边对应成比例的相似判定定理，只需分别计算两组三角形对应边的比值，验证比值是否相等，若相等即可判定相似。
（2）借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，可得$∠ DAE=∠ BAC$，再结合已知$∠ EAC$的度数，用$∠ DAE$减去$∠ EAC$即可求出$∠ CAD$的度数。
【解析】
(1) 计算两个三角形对应边的比值：
$\frac{AB}{AD}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$，
因此$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2) 由$△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形对应角相等，得$∠ BAC = ∠ DAE$。
已知$∠ BAC=125°$，所以$∠ DAE=125°$，
又$∠ EAC=70°$，因此$∠ CAD = ∠ DAE - ∠ EAC = 125° - 70° = 55°$。
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ ADE$相似；(2) $∠ CAD=55°$
【知识点】
三边成比例判定三角形相似，相似三角形对应角相等，角的和差计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，通过计算边的比值判断相似关系，再结合角的数量关系求解角度，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
（1）要判断两个三角形是否相似，题目给出了两个三角形所有边的长度，优先考虑三边对应成比例的相似判定定理，只需分别计算两组三角形对应边的比值，验证比值是否相等，若相等即可判定相似。
（2）借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应角相等的性质，可得$∠ DAE=∠ BAC$，再结合已知$∠ EAC$的度数，用$∠ DAE$减去$∠ EAC$即可求出$∠ CAD$的度数。
【解析】
(1) 计算两个三角形对应边的比值：
$\frac{AB}{AD}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$，$\frac{BC}{DE}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$，
因此$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2) 由$△ ABC ∽ △ ADE$，根据相似三角形对应角相等，得$∠ BAC = ∠ DAE$。
已知$∠ BAC=125°$，所以$∠ DAE=125°$，
又$∠ EAC=70°$，因此$∠ CAD = ∠ DAE - ∠ EAC = 125° - 70° = 55°$。
【答案】
(1) $△ ABC$与$△ ADE$相似；(2) $∠ CAD=55°$
【知识点】
三边成比例判定三角形相似，相似三角形对应角相等，角的和差计算
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用类题目，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，通过计算边的比值判断相似关系，再结合角的数量关系求解角度，整体逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.8
1 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,连接$DE$.
(1) 若$∠ AED=∠ B$,求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(2) 若$AD · AB=AE · AC$,求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(3) 若$AB=8,AC=6,AD=3$,则当$AE=$
(1) 若$∠ AED=∠ B$,求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(2) 若$AD · AB=AE · AC$,求证:$△ ADE ∽ △ ACB$;
(3) 若$AB=8,AC=6,AD=3$,则当$AE=$
$\frac{9}{4}$或4
时,$△ ADE$与$△ ACB$相似.答案
1. (1) $\because ∠AED=∠B,∠A=∠A, \therefore △ADE ∽ △ACB$
(2) $\because AD · AB=AE · AC, \therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}.$ 又$\because ∠A=∠A, \therefore △ADE∽△ACB$
(3) $\frac{9}{4}$或4
(2) $\because AD · AB=AE · AC, \therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}.$ 又$\because ∠A=∠A, \therefore △ADE∽△ACB$
(3) $\frac{9}{4}$或4
解析
【分析】
(1) 要证明△ADE∽△ACB，已知∠AED=∠B，且两个三角形有公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可直接得证；
(2) 先将给出的乘积式转化为比例式，得到两组对应边成比例，再结合公共角∠A相等，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可完成证明；
(3) 题目仅说明△ADE与△ACB相似，未明确对应顶点，因此需要结合公共角∠A分两种情况讨论对应边的比例关系，分别列式计算即可得到AE的两个取值。
【解析】
(1) 证明：在△ADE和△ACB中，
$\begin{cases}∠AED=∠B \\∠A=∠A\end{cases}$
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵$AD · AB=AE · AC$，
∴等式两边同时除以$AC·AB$，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
在△ADE和△ACB中，
$\begin{cases}\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB} \\∠A=∠A\end{cases}$
∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(3) 解：△ADE与△ACB相似，分两种情况讨论：
①当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
将$AB=8,AC=6,AD=3$代入得：$\frac{3}{6}=\frac{AE}{8}$，解得$AE=4$；
②当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
将数值代入得：$\frac{3}{8}=\frac{AE}{6}$，解得$AE=\frac{9}{4}$。
综上，AE的取值为$\frac{9}{4}$或4。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\frac{9}{4}$或4
【知识点】
相似三角形判定，比例的性质，分类讨论思想
【点评】
本题前两问是相似三角形判定的基础应用，第三问需要注意，当未明确相似三角形的对应顶点时，要结合公共角分类讨论对应边的关系，避免漏解，是相似章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ADE∽△ACB，已知∠AED=∠B，且两个三角形有公共角∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”即可直接得证；
(2) 先将给出的乘积式转化为比例式，得到两组对应边成比例，再结合公共角∠A相等，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可完成证明；
(3) 题目仅说明△ADE与△ACB相似，未明确对应顶点，因此需要结合公共角∠A分两种情况讨论对应边的比例关系，分别列式计算即可得到AE的两个取值。
【解析】
(1) 证明：在△ADE和△ACB中，
$\begin{cases}∠AED=∠B \\∠A=∠A\end{cases}$
∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 证明：
∵$AD · AB=AE · AC$，
∴等式两边同时除以$AC·AB$，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
在△ADE和△ACB中，
$\begin{cases}\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB} \\∠A=∠A\end{cases}$
∴△ADE∽△ACB（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(3) 解：△ADE与△ACB相似，分两种情况讨论：
①当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
将$AB=8,AC=6,AD=3$代入得：$\frac{3}{6}=\frac{AE}{8}$，解得$AE=4$；
②当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
将数值代入得：$\frac{3}{8}=\frac{AE}{6}$，解得$AE=\frac{9}{4}$。
综上，AE的取值为$\frac{9}{4}$或4。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 证明见解析；
(3) $\frac{9}{4}$或4
【知识点】
相似三角形判定，比例的性质，分类讨论思想
【点评】
本题前两问是相似三角形判定的基础应用，第三问需要注意，当未明确相似三角形的对应顶点时，要结合公共角分类讨论对应边的关系，避免漏解，是相似章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2 如图,点 D,E 分别在线段 AB 和 AC 上,BE 与 CD 相交于点 O,AD·AB＝AE·AC,DF//BE,交 AC 于点 F.求证:△ADF∽△ACD.
答案
2. $\because AD · AB=AE · AC, \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}.$ 又$\because ∠A=∠A, \therefore △ACD∽△ABE. \therefore ∠B=∠C. \because DF// BE, \therefore ∠ADF=∠B. \therefore ∠ADF=∠C.$ 又$\because ∠A=∠A,\therefore △ADF∽△ACD$
解析
【分析】
要证明△ADF∽△ACD，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。第一步先把已知的等积式AD·AB＝AE·AC转化为比例式，结合公共角∠A先证△ACD∽△ABE，得到∠B=∠C；再利用DF//BE的平行线性质得到∠ADF=∠B，等量代换后得到∠ADF=∠C，即可满足两角对应相等的相似判定条件，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AD · AB=AE · AC$，
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
又
∵ $∠A=∠A$，
∴ $△ACD∽△ABE$，
∴ $∠B=∠C$。
∵ $DF// BE$，
∴ $∠ADF=∠B$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ADF=∠C$。
又
∵ $∠A=∠A$，
∴ $△ADF∽△ACD$。
【答案】
$\because AD · AB=AE · AC, \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}.$ 又$\because ∠A=∠A, \therefore △ACD∽△ABE. \therefore ∠B=∠C. \because DF// BE, \therefore ∠ADF=∠B. \therefore ∠ADF=∠C.$ 又$\because ∠A=∠A,\therefore △ADF∽△ACD$
【知识点】
1.相似三角形判定 2.平行线的性质 3.比例的基本性质
【点评】
本题属于基础的相似证明类题目，解题关键是将等积式转化为比例式，结合平行线性质推导对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解决。
【难度系数】
0.7
要证明△ADF∽△ACD，首先观察到两个三角形有公共角∠A，根据相似三角形的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可。第一步先把已知的等积式AD·AB＝AE·AC转化为比例式，结合公共角∠A先证△ACD∽△ABE，得到∠B=∠C；再利用DF//BE的平行线性质得到∠ADF=∠B，等量代换后得到∠ADF=∠C，即可满足两角对应相等的相似判定条件，完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AD · AB=AE · AC$，
∴ $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
又
∵ $∠A=∠A$，
∴ $△ACD∽△ABE$，
∴ $∠B=∠C$。
∵ $DF// BE$，
∴ $∠ADF=∠B$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ADF=∠C$。
又
∵ $∠A=∠A$，
∴ $△ADF∽△ACD$。
【答案】
$\because AD · AB=AE · AC, \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}.$ 又$\because ∠A=∠A, \therefore △ACD∽△ABE. \therefore ∠B=∠C. \because DF// BE, \therefore ∠ADF=∠B. \therefore ∠ADF=∠C.$ 又$\because ∠A=∠A,\therefore △ADF∽△ACD$
【知识点】
1.相似三角形判定 2.平行线的性质 3.比例的基本性质
【点评】
本题属于基础的相似证明类题目，解题关键是将等积式转化为比例式，结合平行线性质推导对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定定理即可快速解决。
【难度系数】
0.7
