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1 若m是方程$x^2 -5x -1=0$的实数根，则代数式$m^2 -5m +2026$的值是 （
A.2027
B.2026
C.2025
D.2024
A
）A.2027
B.2026
C.2025
D.2024
答案
A
解析
【分析】
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知m是方程的根，将x=m代入原方程即可得到$m^2-5m$的取值，无需解出m的具体数值，再把$m^2-5m$的值整体代入所求代数式即可算出结果。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 -5x -1=0$的实数根，
∴将x=m代入方程可得：$m^2 -5m -1=0$，
整理得：$m^2 -5m = 1$，
把$m^2 -5m = 1$代入代数式$m^2 -5m +2026$中，
原式$=1 + 2026 = 2027$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，采用整体代入的思路解题，避免了求解方程根的繁琐运算，是此类代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先根据一元二次方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知m是方程的根，将x=m代入原方程即可得到$m^2-5m$的取值，无需解出m的具体数值，再把$m^2-5m$的值整体代入所求代数式即可算出结果。
【解析】
解：
∵m是方程$x^2 -5x -1=0$的实数根，
∴将x=m代入方程可得：$m^2 -5m -1=0$，
整理得：$m^2 -5m = 1$，
把$m^2 -5m = 1$代入代数式$m^2 -5m +2026$中，
原式$=1 + 2026 = 2027$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，采用整体代入的思路解题，避免了求解方程根的繁琐运算，是此类代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.9
2 已知一元二次方程$(m + 2)x^2 + 7mx + m^2 - 4 = 0$有一个根为0，则$m=$
2
。答案
2
解析
【分析】
解题时首先利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=0代入原方程，得到关于m的方程，求出m的可能取值；再结合题目给出的“一元二次方程”的前提，明确一元二次方程要求二次项系数不为0，对求出的m值进行筛选，舍去不符合条件的取值即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$(m + 2)x^2 + 7mx + m^2 - 4 = 0$有一个根为0，
∴ 将x=0代入原方程，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m=2$或$m=-2$
又
∵ 该方程为一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $m+2≠0$，即$m≠-2$
舍去$m=-2$，因此$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的定义
【点评】
本题是易错题，很多同学解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到m=±2的错误结果，做题时要注意结合题目给出的方程类型对所求参数进行验证。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，将已知根x=0代入原方程，得到关于m的方程，求出m的可能取值；再结合题目给出的“一元二次方程”的前提，明确一元二次方程要求二次项系数不为0，对求出的m值进行筛选，舍去不符合条件的取值即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$(m + 2)x^2 + 7mx + m^2 - 4 = 0$有一个根为0，
∴ 将x=0代入原方程，得：
$m^2 - 4 = 0$
解得$m=2$或$m=-2$
又
∵ 该方程为一元二次方程，二次项系数不能为0
∴ $m+2≠0$，即$m≠-2$
舍去$m=-2$，因此$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义，方程的根的定义
【点评】
本题是易错题，很多同学解题时容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，直接得到m=±2的错误结果，做题时要注意结合题目给出的方程类型对所求参数进行验证。
【难度系数】
0.6
3 [2025 淄博期末]根据下列表格的对应值，判断方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)$一个解的范围是（
A.$3＜x＜3.1$
B.$3.1＜x＜3.2$
C.$3.2＜x＜3.3$
D.$3.3＜x＜3.4$
D
）A.$3＜x＜3.1$
B.$3.1＜x＜3.2$
C.$3.2＜x＜3.3$
D.$3.3＜x＜3.4$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解就是使代数式$ax^2+bx+c$的值为0的$x$的取值。因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是连续的曲线，当$x$取两个相邻值时，若对应的$ax^2+bx+c$的值一个大于0、一个小于0，那么在这两个$x$值之间必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，也就是方程的解，接下来只需观察表格中$ax^2+bx+c$的正负变化对应的$x$范围即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是使代数式$ax^2+bx+c=0$的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=3.3$时，$ax^2+bx+c=-0.3 ＜ 0$；
当$x=3.4$时，$ax^2+bx+c=0.5 ＞ 0$。
由于二次函数的图象是连续的，因此在$3.3＜x＜3.4$的范围内，存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$3.3＜x＜3.4$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
估算一元二次方程的解；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题考查利用代数式的正负变化估算一元二次方程解的范围，核心是理解连续函数在函数值符号发生变化的区间内必存在零点，解题时只需找到相邻$x$对应函数值正负改变的区间即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解的范围，首先明确方程的解就是使代数式$ax^2+bx+c$的值为0的$x$的取值。因为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象是连续的曲线，当$x$取两个相邻值时，若对应的$ax^2+bx+c$的值一个大于0、一个小于0，那么在这两个$x$值之间必然存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，也就是方程的解，接下来只需观察表格中$ax^2+bx+c$的正负变化对应的$x$范围即可。
【解析】
解：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解是使代数式$ax^2+bx+c=0$的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=3.3$时，$ax^2+bx+c=-0.3 ＜ 0$；
当$x=3.4$时，$ax^2+bx+c=0.5 ＞ 0$。
由于二次函数的图象是连续的，因此在$3.3＜x＜3.4$的范围内，存在一个$x$使得$ax^2+bx+c=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个解的范围是$3.3＜x＜3.4$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
估算一元二次方程的解；二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题考查利用代数式的正负变化估算一元二次方程解的范围，核心是理解连续函数在函数值符号发生变化的区间内必存在零点，解题时只需找到相邻$x$对应函数值正负改变的区间即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
4 小亮在进行一元二次方程$x^2 +12x -15=3$估算根的过程中，列了如下表格，根据表格信息，该根的十分位上的数字是
3
。答案
3
解析
【分析】
要解决本题，首先明确一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，本题即找使代数式$x^2 +12x -15$的值等于3的x。首先观察表格中不同x对应的代数式值，找到代数式值小于3和大于3对应的相邻x值，确定根的取值范围，再通过比较代数式值与3的差值大小，判断根更靠近哪个端点，即可得到十分位的数字。
【解析】
方程$x^2 +12x -15=3$的根就是使代数式$x^2 +12x -15$的值为3的x值。
观察表格数据：
当$x=1.3$时，$x^2 +12x -15=2.29$，$2.29＜3$；
当$x=1.4$时，$x^2 +12x -15=3.76$，$3.76＞3$；
因此方程的根x满足$1.3＜x＜1.4$。
再计算差值比较接近程度：
$3-2.29=0.71$，$3.76-3=0.76$，因为$0.71＜0.76$，说明根更靠近$x=1.3$，所以根的十分位上的数字是3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的根；方程根的估算
【点评】
本题考查利用表格数据估算一元二次方程根的能力，解题核心是先确定根的取值区间，再通过数值差值判断根的接近程度，属于估算类的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，本题即找使代数式$x^2 +12x -15$的值等于3的x。首先观察表格中不同x对应的代数式值，找到代数式值小于3和大于3对应的相邻x值，确定根的取值范围，再通过比较代数式值与3的差值大小，判断根更靠近哪个端点，即可得到十分位的数字。
【解析】
方程$x^2 +12x -15=3$的根就是使代数式$x^2 +12x -15$的值为3的x值。
观察表格数据：
当$x=1.3$时，$x^2 +12x -15=2.29$，$2.29＜3$；
当$x=1.4$时，$x^2 +12x -15=3.76$，$3.76＞3$；
因此方程的根x满足$1.3＜x＜1.4$。
再计算差值比较接近程度：
$3-2.29=0.71$，$3.76-3=0.76$，因为$0.71＜0.76$，说明根更靠近$x=1.3$，所以根的十分位上的数字是3。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程的根；方程根的估算
【点评】
本题考查利用表格数据估算一元二次方程根的能力，解题核心是先确定根的取值区间，再通过数值差值判断根的接近程度，属于估算类的基础题型。
【难度系数】
0.7
5 填写下表：
（1）根据上表，写出方程$x^2 -5x +6=0$的根；
（2）根据上表，写出方程$x^2 -4x +2=0$的两个根$x_1,x_2(x_1＜x_2)$分别在哪两个整数之间。
（1）根据上表，写出方程$x^2 -5x +6=0$的根；
（2）根据上表，写出方程$x^2 -4x +2=0$的两个根$x_1,x_2(x_1＜x_2)$分别在哪两个整数之间。
答案
填表如下：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x+6$ | $20$ | $12$ | $6$ | $2$ | $0$ | $0$ | $2$ |
| $x^2-4x+2$ | $14$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ |
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1$ 在0和1之间,$x_2$ 在3和4之间
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x+6$ | $20$ | $12$ | $6$ | $2$ | $0$ | $0$ | $2$ |
| $x^2-4x+2$ | $14$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ |
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1$ 在0和1之间,$x_2$ 在3和4之间
解析
【分析】
解题分为三步：第一步先将表格给出的x值分别代入两个代数式，计算对应值完成表格填写；第二问求解方程$x^2-5x+6=0$的根：根据一元二次方程根的定义，使代数式$x^2-5x+6$的值为0的x就是方程的根，从表格中找到对应x即可；第三问估算$x^2-4x+2=0$的根的范围：二次多项式的值随x变化是连续的，若相邻两个整数代入代数式后，值的正负性发生改变，说明这两个整数之间存在使代数式值为0的x，也就是方程的根，据此判断根所在的整数区间。
【解析】
首先计算两个代数式对应x的值，完成表格：
1. 计算$x^2-5x+6$的值：
当$x=-2$时，$(-2)^2-5×(-2)+6=20$；
当$x=-1$时，$(-1)^2-5×(-1)+6=12$；
当$x=0$时，$0^2-5×0+6=6$；
当$x=1$时，$1^2-5×1+6=2$；
当$x=2$时，$2^2-5×2+6=0$；
当$x=3$时，$3^2-5×3+6=0$；
当$x=4$时，$4^2-5×4+6=2$。
2. 计算$x^2-4x+2$的值：
当$x=-2$时，$(-2)^2-4×(-2)+2=14$；
当$x=-1$时，$(-1)^2-4×(-1)+2=7$；
当$x=0$时，$0^2-4×0+2=2$；
当$x=1$时，$1^2-4×1+2=-1$；
当$x=2$时，$2^2-4×2+2=-2$；
当$x=3$时，$3^2-4×3+2=-1$；
当$x=4$时，$4^2-4×4+2=2$。
填写后的表格如下：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x+6$ | $20$ | $12$ | $6$ | $2$ | $0$ | $0$ | $2$ |
| $x^2-4x+2$ | $14$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ |
(1) 由表格可知，$x=2$和$x=3$时$x^2-5x+6=0$，因此方程$x^2-5x+6=0$的根为$x_1=2,x_2=3$。
(2) 观察$x^2-4x+2$的值：$x=0$时值为$2＞0$，$x=1$时值为$-1＜0$，说明0和1之间存在使$x^2-4x+2=0$的根，即较小根$x_1$在0和1之间；$x=3$时值为$-1＜0$，$x=4$时值为$2＞0$，说明3和4之间存在另一个根，即较大根$x_2$在3和4之间。
【答案】
填表结果：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x+6$ | $20$ | $12$ | $6$ | $2$ | $0$ | $0$ | $2$ |
| $x^2-4x+2$ | $14$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ |
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1$ 在0和1之间，$x_2$ 在3和4之间
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的根的定义，估算一元二次方程的根
【点评】
本题考查代数式的代入运算能力，结合一元二次方程根的定义，以及连续代数式值的正负变化规律，帮助学生掌握判断方程根、估算根取值范围的方法，是一元二次方程相关概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
解题分为三步：第一步先将表格给出的x值分别代入两个代数式，计算对应值完成表格填写；第二问求解方程$x^2-5x+6=0$的根：根据一元二次方程根的定义，使代数式$x^2-5x+6$的值为0的x就是方程的根，从表格中找到对应x即可；第三问估算$x^2-4x+2=0$的根的范围：二次多项式的值随x变化是连续的，若相邻两个整数代入代数式后，值的正负性发生改变，说明这两个整数之间存在使代数式值为0的x，也就是方程的根，据此判断根所在的整数区间。
【解析】
首先计算两个代数式对应x的值，完成表格：
1. 计算$x^2-5x+6$的值：
当$x=-2$时，$(-2)^2-5×(-2)+6=20$；
当$x=-1$时，$(-1)^2-5×(-1)+6=12$；
当$x=0$时，$0^2-5×0+6=6$；
当$x=1$时，$1^2-5×1+6=2$；
当$x=2$时，$2^2-5×2+6=0$；
当$x=3$时，$3^2-5×3+6=0$；
当$x=4$时，$4^2-5×4+6=2$。
2. 计算$x^2-4x+2$的值：
当$x=-2$时，$(-2)^2-4×(-2)+2=14$；
当$x=-1$时，$(-1)^2-4×(-1)+2=7$；
当$x=0$时，$0^2-4×0+2=2$；
当$x=1$时，$1^2-4×1+2=-1$；
当$x=2$时，$2^2-4×2+2=-2$；
当$x=3$时，$3^2-4×3+2=-1$；
当$x=4$时，$4^2-4×4+2=2$。
填写后的表格如下：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x+6$ | $20$ | $12$ | $6$ | $2$ | $0$ | $0$ | $2$ |
| $x^2-4x+2$ | $14$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ |
(1) 由表格可知，$x=2$和$x=3$时$x^2-5x+6=0$，因此方程$x^2-5x+6=0$的根为$x_1=2,x_2=3$。
(2) 观察$x^2-4x+2$的值：$x=0$时值为$2＞0$，$x=1$时值为$-1＜0$，说明0和1之间存在使$x^2-4x+2=0$的根，即较小根$x_1$在0和1之间；$x=3$时值为$-1＜0$，$x=4$时值为$2＞0$，说明3和4之间存在另一个根，即较大根$x_2$在3和4之间。
【答案】
填表结果：
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2-5x+6$ | $20$ | $12$ | $6$ | $2$ | $0$ | $0$ | $2$ |
| $x^2-4x+2$ | $14$ | $7$ | $2$ | $-1$ | $-2$ | $-1$ | $2$ |
(1) $x_1=2,x_2=3$
(2) $x_1$ 在0和1之间，$x_2$ 在3和4之间
【知识点】
代数式求值，一元二次方程的根的定义，估算一元二次方程的根
【点评】
本题考查代数式的代入运算能力，结合一元二次方程根的定义，以及连续代数式值的正负变化规律，帮助学生掌握判断方程根、估算根取值范围的方法，是一元二次方程相关概念的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
6 观察下表：
则关于$x$的方程$x^2 - bx -5=0$的解的取值范围是（
A.$-2＜x＜-1$或$4＜x＜5$
B.$-2＜x＜-1$或$5＜x＜6$
C.$-3＜x＜-2$或$5＜x＜6$
D.$-3＜x＜-2$或$4＜x＜5$
则关于$x$的方程$x^2 - bx -5=0$的解的取值范围是（
A
）A.$-2＜x＜-1$或$4＜x＜5$
B.$-2＜x＜-1$或$5＜x＜6$
C.$-3＜x＜-2$或$5＜x＜6$
D.$-3＜x＜-2$或$4＜x＜5$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确：一元二次方程$x^2 - bx -5=0$的根就是二次函数$y=x^2 - bx -5$的函数值为0时对应的$x$的值。我们只需观察表格中函数值的正负变化规律即可：当函数值从正变为负，或从负变为正时，对应的两个$x$值的区间内就存在使$y=0$的点，也就是方程的根所在的范围。
【解析】
解：方程$x^2 - bx -5=0$的解是函数$y=x^2 - bx -5$中$y=0$时$x$的取值。
1. 观察表格数据：
当$x=-2$时，$y=5＞0$；当$x=-1$时，$y=-1＜0$，说明在$-2＜x＜-1$范围内存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在$-2＜x＜-1$区间内。
2. 再看$x=4$时，$y=-1＜0$；$x=5$时，$y=5＞0$，说明在$4＜x＜5$范围内存在另一个$x$使得$y=0$，即方程的另一个根在$4＜x＜5$区间内。
因此方程$x^2 - bx -5=0$的解的取值范围是$-2＜x＜-1$或$4＜x＜5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的估算
【点评】
本题通过观察二次函数的函数值正负变化估算一元二次方程根的范围，解题核心是理解二次函数在零点两侧的函数值符号相反的特点，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确：一元二次方程$x^2 - bx -5=0$的根就是二次函数$y=x^2 - bx -5$的函数值为0时对应的$x$的值。我们只需观察表格中函数值的正负变化规律即可：当函数值从正变为负，或从负变为正时，对应的两个$x$值的区间内就存在使$y=0$的点，也就是方程的根所在的范围。
【解析】
解：方程$x^2 - bx -5=0$的解是函数$y=x^2 - bx -5$中$y=0$时$x$的取值。
1. 观察表格数据：
当$x=-2$时，$y=5＞0$；当$x=-1$时，$y=-1＜0$，说明在$-2＜x＜-1$范围内存在一个$x$使得$y=0$，即方程的一个根在$-2＜x＜-1$区间内。
2. 再看$x=4$时，$y=-1＜0$；$x=5$时，$y=5＞0$，说明在$4＜x＜5$范围内存在另一个$x$使得$y=0$，即方程的另一个根在$4＜x＜5$区间内。
因此方程$x^2 - bx -5=0$的解的取值范围是$-2＜x＜-1$或$4＜x＜5$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的估算
【点评】
本题通过观察二次函数的函数值正负变化估算一元二次方程根的范围，解题核心是理解二次函数在零点两侧的函数值符号相反的特点，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
7 观察下表：
从表中你能得出方程$5x^2 -24x +28=0$的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的范围。
从表中你能得出方程$5x^2 -24x +28=0$的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的范围。
答案
根据表格中的数据，知方程有一个根是 $x_1=2$,另一个根 $x_2$ 的范围是 $2.5＜x_2＜3$
解析
【分析】
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，也就是使方程左边二次式$5x^2-24x+28$的值为0的$x$的值。首先观察表格中二次式的值为0时对应的$x$，即可直接得到一个根；再查找二次式的值由正变负或由负变正的相邻$x$区间，由于代数式的值随$x$连续变化，因此该区间内一定存在一个$x$使二次式的值为0，即可得到另一个根的取值范围。
【解析】
1. 确定已知根：
观察表格数据可知，当$x=2$时，$5x^2-24x+28=0$，根据一元二次方程根的定义，可得$x_1=2$是方程$5x^2-24x+28=0$的一个根。
2. 估算另一个根的范围：
继续观察表格：当$x=2.5$时，$5x^2-24x+28=-0.75＜0$；当$x=3$时，$5x^2-24x+28=1＞0$。
由于二次式的值随$x$的变化是连续的，因此在$2.5＜x＜3$的区间内，一定存在一个$x_2$使得$5x^2-24x+28=0$，即方程的另一个根落在$2.5＜x_2＜3$的范围内。
【答案】
方程有一个根是$x_1=2$，另一个根$x_2$的范围是$2.5＜x_2＜3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查对一元二次方程根的理解和估算根的基本方法，解题关键是建立方程的根和对应代数式取值的关联，掌握通过代数式正负变化确定根所在区间的思路，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，也就是使方程左边二次式$5x^2-24x+28$的值为0的$x$的值。首先观察表格中二次式的值为0时对应的$x$，即可直接得到一个根；再查找二次式的值由正变负或由负变正的相邻$x$区间，由于代数式的值随$x$连续变化，因此该区间内一定存在一个$x$使二次式的值为0，即可得到另一个根的取值范围。
【解析】
1. 确定已知根：
观察表格数据可知，当$x=2$时，$5x^2-24x+28=0$，根据一元二次方程根的定义，可得$x_1=2$是方程$5x^2-24x+28=0$的一个根。
2. 估算另一个根的范围：
继续观察表格：当$x=2.5$时，$5x^2-24x+28=-0.75＜0$；当$x=3$时，$5x^2-24x+28=1＞0$。
由于二次式的值随$x$的变化是连续的，因此在$2.5＜x＜3$的区间内，一定存在一个$x_2$使得$5x^2-24x+28=0$，即方程的另一个根落在$2.5＜x_2＜3$的范围内。
【答案】
方程有一个根是$x_1=2$，另一个根$x_2$的范围是$2.5＜x_2＜3$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查对一元二次方程根的理解和估算根的基本方法，解题关键是建立方程的根和对应代数式取值的关联，掌握通过代数式正负变化确定根所在区间的思路，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
8 教材变式题 某种爆竹点燃后，其上升高度$h(\mathrm{m})$和时间$t(\mathrm{s})$之间满足关系$h=v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 (0＜t≤2$，重力加速度以$10\ \mathrm{m/s}^2$计算，即$g=10)$. 这种爆竹点燃后以$20\ \mathrm{m/s}$的初速度$(v_0=20)$上升，试用估算的方法求这种爆竹在地面点燃后，经过多长时间离地面$15\ \mathrm{m}$.
答案
根据题意,得 $15=20t-\frac{1}{2}×10t^2$. 整理,得 $t^2-4t+3=0$. 通过估算,得 $t_1=1,t_2=3$. $\because 0＜t≤2,\therefore t=1.\therefore$ 这种爆竹在地面点燃后,经过 1 s 离地面 15 m
解析
【分析】
解题时首先从题目中提取已知条件：初速度$v_0=20\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$，目标高度$h=15\ \mathrm{m}$，时间限制$0＜t≤2$。第一步将已知量代入给出的高度公式，得到关于时间$t$的一元二次方程；第二步用估算的方法求出方程的所有根；第三步结合时间的取值范围，筛选出符合实际意义的根，即为所求的时间。
【解析】
解：将$h=15$、$v_0=20$、$g=10$代入关系式$h=v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，可得：
$15=20t-\frac{1}{2}×10t^2$
整理方程：
$15=20t-5t^2$
移项并两边同时除以5，得：
$t^2-4t+3=0$
通过估算验证：
当$t=1$时，左边=$1^2-4×1+3=0$，满足方程；
当$t=3$时，左边=$3^2-4×3+3=0$，也满足方程。
结合题目给出的时间范围$0＜t≤2$，$t=3$不符合要求，舍去，故$t=1$。
【答案】
1 s
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程根的估算；实际问题根的检验
【点评】
本题结合物理运动情境考查一元二次方程的相关知识，解题的关键是准确代入已知条件列出方程，同时要注意结合实际问题的限制条件对求出的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目中提取已知条件：初速度$v_0=20\ \mathrm{m/s}$，$g=10\ \mathrm{m/s^2}$，目标高度$h=15\ \mathrm{m}$，时间限制$0＜t≤2$。第一步将已知量代入给出的高度公式，得到关于时间$t$的一元二次方程；第二步用估算的方法求出方程的所有根；第三步结合时间的取值范围，筛选出符合实际意义的根，即为所求的时间。
【解析】
解：将$h=15$、$v_0=20$、$g=10$代入关系式$h=v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$，可得：
$15=20t-\frac{1}{2}×10t^2$
整理方程：
$15=20t-5t^2$
移项并两边同时除以5，得：
$t^2-4t+3=0$
通过估算验证：
当$t=1$时，左边=$1^2-4×1+3=0$，满足方程；
当$t=3$时，左边=$3^2-4×3+3=0$，也满足方程。
结合题目给出的时间范围$0＜t≤2$，$t=3$不符合要求，舍去，故$t=1$。
【答案】
1 s
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程根的估算；实际问题根的检验
【点评】
本题结合物理运动情境考查一元二次方程的相关知识，解题的关键是准确代入已知条件列出方程，同时要注意结合实际问题的限制条件对求出的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
