1 下列方程属于一元二次方程的是 （）

A.$x^2 - \frac{1}{x} - 2 = 0$
B.$x^2 + 1 = (x + 1)^2$
C.$(x - 3)^2 = 0$
D.$ax^2 + bx + c = 0$

1. C

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，需先明确一元二次方程的核心判定标准：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。我们只需将每个选项逐一对照上述标准验证即可。
【解析】
我们依据一元二次方程的定义逐一分析选项：
A选项：方程中含有$\frac{1}{x}$，属于分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
B选项：将等号右侧展开得$(x+1)^2=x^2+2x+1$，移项化简后原方程变为$-2x=0$，是一元一次方程，不符合要求，排除；
C选项：将等号左侧展开得$x^2-6x+9=0$，满足只含1个未知数、最高次数为2、是整式方程且二次项系数不为0，属于一元二次方程，符合要求；
D选项：未说明$a≠0$，若$a=0$，方程最高次数低于2，不是一元二次方程，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的判定；整式方程的概念；完全平方公式
【点评】
本题是对一元二次方程基础定义的考查，解题时要牢牢抓住三个判定要点，尤其要注意隐含条件：形如$ax^2+bx+c=0$的方程，需明确$a≠0$才是一元二次方程，同时遇到能化简的方程要先化简再判断最高次数，避免误判。
【难度系数】
0.8

2 教材变式题 下列一元二次方程中，常数项为0的是（）

A.$x^2 + x = 1$
B.$2x^2 - x - 12 = 0$
C.$2(x^2 - 1) = 3(x - 1)$
D.$2(x^2 + 1) = x + 2$

2. D

【分析】
要判断哪个方程的常数项为0，首先需明确：一元二次方程的常数项是将方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的一般形式后，不含未知数的项$c$。因此解题思路为：逐一将各选项的方程整理为一元二次方程的一般形式，再查看常数项是否为0即可。
【解析】
我们先将每个选项的方程化为一般形式，再判断常数项：
A. 对$x^2 + x = 1$移项，得$x^2 + x - 1 = 0$，常数项为$-1$，不符合要求；
B. 方程$2x^2 - x - 12 = 0$已是一般形式，常数项为$-12$，不符合要求；
C. 先展开整理$2(x^2 - 1) = 3(x - 1)$：
左边展开得$2x^2 - 2$，右边展开得$3x - 3$，移项合并同类项得$2x^2 - 3x + 1 = 0$，常数项为$1$，不符合要求；
D. 展开整理$2(x^2 + 1) = x + 2$：
左边展开得$2x^2 + 2$，移项合并同类项得$2x^2 - x = 0$，常数项为$0$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；常数项的识别；整式化简运算
【点评】
本题是基础概念类题型，解题的关键是牢记判断一元二次方程的各项及系数时，必须先将方程化为一般形式，不能直接根据原式的结构判断，避免因忽略移项、合并同类项步骤出错。
【难度系数】
0.8

3 若方程$mx^2 - x = 2x^2 - mx + 1$是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。

3. $m≠2$

【分析】
要确定m的取值范围，首先需明确一元二次方程的判定条件：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。解题时首先将原方程移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，再令二次项系数不等于0，即可求出m的取值范围。
【解析】
先对原方程进行整理：
将方程$mx^2 - x = 2x^2 - mx + 1$移项，得：
$mx^2 - x - 2x^2 + mx - 1 = 0$
合并同类项，得：
$(m-2)x^2 + (m-1)x - 1 = 0$
∵ 该方程是关于x的一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2≠0$
解得：$m≠2$
【答案】
$m≠2$
【知识点】
一元二次方程的定义；合并同类项
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先将方程转化为一元二次方程的一般形式，尤其要注意二次项系数不为0这个核心限定条件，避免因漏看该条件导致错误。
【难度系数】
0.8

4 教材变式题 把方程$(x+3)^2 -3x=5x^2$化成一元二次方程的一般形式为，它的一次项系数是。

4. 一元二次方程的一般形式为$4x^2 -3x -9=0$，一次项系数是$-3$

【分析】
要将给定方程化为一元二次方程的一般形式，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$，$a,b,c$为常数），解题思路如下：第一步利用完全平方公式展开方程左边的平方项，第二步合并左边的同类项，第三步通过移项将所有项移到等号同侧，使等号右侧为0，第四步整理成二次项系数为正的标准形式，最后根据一般形式确定一次项系数（注意要包含符号）。
【解析】
1. 展开完全平方项：原方程左边$(x+3)^2$展开得$x^2+6x+9$，原方程化为：
$x^2+6x+9-3x=5x^2$
2. 合并左侧同类项：$6x-3x=3x$，方程变为：
$x^2+3x+9=5x^2$
3. 移项：将右侧$5x^2$移到左侧，注意移项变号，得：
$x^2+3x+9-5x^2=0$
4. 合并同类项并整理：$x^2-5x^2=-4x^2$，得$-4x^2+3x+9=0$，为使二次项系数为正，两边同时乘$-1$，得到一元二次方程的一般形式：
$4x^2-3x-9=0$
5. 确定一次项系数：一般形式中一次项为$-3x$，因此一次项系数是$-3$。
【答案】
$4x^2 -3x -9=0$；$-3$
【知识点】
完全平方公式、一元二次方程的一般形式、整式化简
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，解题时需注意完全平方展开的正确性，移项时要变号，填写一次项系数时不要遗漏项前面的符号。
【难度系数】
0.8

5 两个相邻奇数的积是143，求这两个奇数，设较小的奇数为x，则可列方程为，是（填“一元一次”“一元二次”或“二元一次”）方程。

5. 可列方程为$x(x+2)=143$，是一元二次方程

【分析】
解题时首先要明确相邻奇数的特征：相邻两个奇数的差为2，已知设较小的奇数为x，那么较大的相邻奇数可表示为x+2；再根据“两个奇数的积是143”的等量关系就能列出方程；最后根据方程的未知数个数、未知数的最高次数判断方程类型即可。
【解析】
1. 表示较大的相邻奇数：相邻两个奇数相差2，较小的奇数为x，因此较大的奇数为$x+2$。
2. 列方程：两个奇数的积为143，根据“较小奇数×较大奇数=143”的等量关系，可列方程为$x(x+2)=143$。
3. 判断方程类型：该方程仅含有1个未知数x，展开后为$x^2+2x-143=0$，未知数的最高次数为2，属于整式方程，因此是一元二次方程。
【答案】
$x(x+2)=143$；一元二次
【知识点】
相邻奇数的性质、根据题意列方程、一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对相邻奇数特征的理解和方程类型的判定，理清数量间的等量关系、熟记不同方程的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.9

6 数形结合思想 如图，在一张边长为3 cm的正方形纸的两边均剪去宽为x cm的矩形，剩余部分的面积为5 cm².请列出关于x的方程（化为一般形式）.

6. 根据题意,得$(3-x)^2=5$,化简,得$x^2 -6x +4=0$

【分析】
解题时首先观察图形，明确剪去矩形后剩余的空白部分是正方形，其边长等于原正方形的边长减去剪去的矩形宽度x；再根据“剩余部分面积为5cm²”这个等量关系，结合正方形面积公式列出方程，最后将方程整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
解：原正方形的边长为3cm，两边各剪去宽为x cm的矩形后，剩余部分是边长为$(3-x)$cm的正方形。
根据正方形面积公式，结合剩余面积为5cm²，列方程得：
$(3-x)^2=5$
将方程展开并整理为一般形式：
左边展开：$9-6x+x^2=5$
移项合并同类项得：$x^2-6x+4=0$
【答案】
$x^2 - 6x + 4 = 0$
【知识点】
正方形面积计算；列一元二次方程；一元二次方程化简
【点评】
本题是典型的数形结合类应用题，解题核心是准确分析剩余图形的形状及边长，结合面积公式找到等量关系列方程，是一元二次方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8

7 将一元二次方程$(3x-2)(2x-3)=x^2-5$化为一般形式后，其一次项系数与常数项的和为（）

A.$-8$
B.$16$
C.$-2$
D.$24$

7. C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题思路为：第一步先展开方程左边的多项式乘积，第二步通过移项、合并同类项将方程整理为一般形式，第三步提取一次项系数和常数项（注意要包含符号），最后计算二者的和即可。
【解析】
1. 展开方程左侧的多项式乘积：
根据多项式乘多项式的运算法则，$(3x-2)(2x-3)=3x·2x + 3x·(-3) + (-2)·2x + (-2)·(-3)=6x^2-9x-4x+6=6x^2-13x+6$。
2. 整理为一元二次方程的一般形式：
原方程可写为$6x^2-13x+6=x^2-5$，将右侧所有项移到左侧（移项要变号），再合并同类项：
$6x^2-13x+6-x^2+5=0$
合并后得$5x^2-13x+11=0$。
3. 计算一次项系数与常数项的和：
一般形式中一次项系数为$-13$，常数项为$11$，二者的和为$-13+11=-2$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程一般形式；多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于一元二次方程的基础题型，重点考查方程化为一般形式的运算，解题易错点为去括号、移项时符号出错，确定系数时遗漏前面的正负号，计算时需注意细节。
【难度系数】
0.7

8 若关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为 （）

A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$

8. D

【分析】
要解决本题，首先需明确两个核心条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是化为一般形式后不含一次项，即一次项系数为0。解题时先将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），合并同类项确定一次项和二次项的系数，再结合两个限制条件列方程求解，排除不符合要求的取值即可得到m的值。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
对原方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$移项，得：
$(m-3)x^2 + m^2x - 9x -5 = 0$
合并同类项后一般形式为：
$(m-3)x^2 + (m^2 - 9)x -5 = 0$
第二步：结合一元二次方程的定义列限制条件
因为该方程是关于x的一元二次方程，所以二次项系数不为0：
$m - 3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
第三步：结合“不含一次项”的条件列方程
不含一次项即一次项系数为0，因此：
$m^2 - 9 = 0$
解得$m = 3$或$m = -3$
第四步：确定m的取值
结合$m≠3$的限制，排除$m=3$，因此$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.一元二次方程的一般形式
3.一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项，解题时需先明确所有限制条件，再求解参数并验证取值是否符合要求。
【难度系数】
0.6

9（易错题）若$(m-1)x^{|m+1|}+6x-1=0$是关于$x$的一元二次方程，则$(m+2)^{2026}=$。

9. 1
易错分析：9. 易忽略二次项系数不能为0而出错.

【分析】
要解决这道题，首先要明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，同时二次项系数不能为0。据此我们可以列出两个关于m的约束条件：一是未知数x的最高次项的指数等于2，二是二次项系数不为0，求解得到m的取值后，代入目标代数式计算即可。
【解析】
∵$(m-1)x^{|m+1|}+6x-1=0$是关于$x$的一元二次方程
∴需同时满足两个条件：
1. 未知数的最高次数为2：$\left|m+1\right|=2$
2. 二次项系数不为0：$m-1≠ 0$
先求解$\left|m+1\right|=2$：
当$m+1=2$时，解得$m=1$；当$m+1=-2$时，解得$m=-3$
再结合$m-1≠ 0$可得$m≠ 1$，因此$m$的取值为$-3$
将$m=-3$代入$(m+2)^{2026}$计算：
$(m+2)^{2026}=(-3+2)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的定义；绝对值的性质；有理数乘方运算
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，误将m=1代入计算得到错误结果，求解这类题型时要严格对应一元二次方程的定义，全面梳理所有限制条件后再作答。
【难度系数】
0.6

10 判断下列方程是否为一元二次方程.若是,则指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1) $3y = 4y(2 - y)$;
(2) $x^2(3 + x) + 1 = 5x$;
(3) $3 + 2m^2 = 2(2m - 3)$.

10. (1) 整理,得$4y^2 -5y=0$,是一元二次方程,二次项系数为4,一次项系数为$-5$,常数项为0
(2) 整理,得$x^3 +3x^2 -5x +1=0$,不是一元二次方程
(3) 整理,得$2m^2 -4m +9=0$,是一元二次方程,二次项系数为2,一次项系数为$-4$,常数项为9

【分析】
判断方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的判定标准：一是为整式方程，二是只含1个未知数，三是未知数的最高次数为2且二次项系数不为0。解题时需先通过去括号、移项、合并同类项将方程整理为一般形式，再对照标准判断；若属于一元二次方程，再对应提取二次项系数、一次项系数、常数项，注意系数要包含前面的正负号。
【解析】
(1) 对原方程$3y = 4y(2 - y)$化简：
去括号得：$3y = 8y - 4y^2$
移项、合并同类项得一般形式：$4y^2 -5y=0$
该方程仅含未知数y，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程。
(2) 对原方程$x^2(3 + x) + 1 = 5x$化简：
去括号得：$3x^2 + x^3 + 1 = 5x$
移项、合并同类项得一般形式：$x^3 +3x^2 -5x +1=0$
该方程未知数x的最高次数为3，不符合一元二次方程的定义。
(3) 对原方程$3 + 2m^2 = 2(2m - 3)$化简：
去括号得：$3 + 2m^2 = 4m - 6$
移项、合并同类项得一般形式：$2m^2 -4m +9=0$
该方程仅含未知数m，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程。
【答案】
(1) 整理得$4y^2 -5y=0$，是一元二次方程，二次项系数为4，一次项系数为$-5$，常数项为0；
(2) 整理得$x^3 +3x^2 -5x +1=0$，不是一元二次方程；
(3) 整理得$2m^2 -4m +9=0$，是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数为$-4$，常数项为9。
【知识点】
一元二次方程的判定；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是一元二次方程的基础考查题，解题的关键是先将方程化为一般形式再判断，需注意移项时符号变化，识别系数要带项前的符号，不要遗漏常数项为0的情况，若整理后方程最高次高于2则不属于一元二次方程。
【难度系数】
0.8

11 如图，将一根长为64 cm的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形.若两个正方形的面积和为$160\ cm^2$，且其中一个正方形的边长为$x\ cm$.请根据题意，列出关于$x$的方程，并化为一般形式.

11. $\because$ 铁丝的总长为 64 cm,且折成的一个正方形的边长为$x$ cm,$\therefore$ 折成的另一个正方形的边长为$\frac{64-4x}{4}=(16-x)$cm.
根据题意,得$x^2 +(16-x)^2=160$,化简,得$2x^2 -32x +96=0$

【分析】
解题时首先梳理已知条件：铁丝总长64cm，折成两个正方形，其中一个边长为x cm，两个正方形面积和为$160\ \mathrm{cm^2}$。第一步先根据正方形周长公式算出边长为x的正方形的周长为4x cm，进而得到另一个正方形的周长为$(64-4x)\ \mathrm{cm}$，再除以4得到另一个正方形的边长；第二步根据“两个正方形的面积和为$160\ \mathrm{cm^2}$”的等量关系，结合正方形面积公式列出方程；第三步将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一般形式即可。
【解析】
解：已知其中一个正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则该正方形的周长为$4x\ \mathrm{cm}$。
剩余铁丝长度为$(64-4x)\ \mathrm{cm}$，即另一个正方形的周长，因此另一个正方形的边长为$\frac{64-4x}{4}=(16-x)\ \mathrm{cm}$。
根据两个正方形的面积和为$160\ \mathrm{cm^2}$，列方程得：
$x^2 +(16-x)^2=160$
展开并整理为一般形式：
$x^2 + 256 - 32x + x^2 = 160$
$2x^2 -32x +96=0$
【答案】
所列方程为$x^2 +(16-x)^2=160$，一般形式为$2x^2 -32x +96=0$
【知识点】
正方形周长与面积计算、列一元二次方程、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题核心是准确抓住两个关键：一是两个正方形的边长关系，二是面积和的等量关系，既考查了正方形基础公式的应用，也锻炼了学生列方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8