8 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，$BE$，$CD$相交于点$O$，连接$AO$。如果$AB = AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

8. C

【分析】
解题时先明确题目要求是找出全等的直角三角形，首先梳理图中所有直角三角形，再结合已知条件逐步推导：第一步先利用公共角和已知的AB=AC，证明最大的两个直角三角形全等，得到对应边相等；第二步利用HL证明含公共边AO的两个直角三角形全等；第三步利用线段差和对顶角相等，证明剩下的一对小直角三角形全等，最后数出总对数即可。
【解析】
图中的全等直角三角形共有3对，证明如下：
1. 证明$\boldsymbol{Rt△ ABE ≌ Rt△ ACD}$
∵$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴$∠ AEB = ∠ ADC = 90°$
在$△ ABE$和$△ ACD$中：
$\begin{cases}∠ AEB = ∠ ADC \\∠ EAB = ∠ DAC \quad (\mathrm{公共角}) \\AB = AC\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ ACD$（AAS）。
2. 证明$\boldsymbol{Rt△ ADO ≌ Rt△ AEO}$
由$△ ABE ≌ △ ACD$可得$AD = AE$，
在$Rt△ ADO$和$Rt△ AEO$中：
$\begin{cases}AD = AE \\AO = AO \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$Rt△ ADO ≌ Rt△ AEO$（HL）。
3. 证明$\boldsymbol{Rt△ BDO ≌ Rt△ CEO}$
∵$AB = AC$，$AD = AE$，
∴$AB - AD = AC - AE$，即$BD = CE$
在$△ BDO$和$△ CEO$中：
$\begin{cases}∠ BDO = ∠ CEO = 90° \\∠ BOD = ∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\BD = CE\end{cases}$
∴$△ BDO ≌ △ CEO$（AAS）。
综上，全等的直角三角形共3对。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，HL判定定理，全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等直角三角形的判定，解题时要先明确筛选范围是直角三角形，再结合已知条件由易到难逐步推导全等关系，注意不要把非直角的全等三角形计入总数。
【难度系数】
0.7

9 如图,点D在BC上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD.如果∠AFD=145°,那么∠EDF=.

9. $55°$ 【解析】$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ BC, \therefore ∠ DEB = ∠ FDC = ∠ FDB = 90°. \because ∠ AFD = 145°, \therefore ∠ CFD = 180° - 145° = 35°$. 在 $\mathrm{Rt} △ BDE$ 和 $\mathrm{Rt} △ CFD$ 中, $\begin{cases} BD=CF,\\ BE=CD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CFD. \therefore ∠ BDE = ∠ CFD = 35°. \therefore ∠ EDF = 90° - 35° = 55°.$

【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，先确定图中的直角三角形和直角，再利用∠AFD的度数通过邻补角关系求出∠CFD的度数；接下来观察给出的边相等的条件，符合直角三角形全等的HL判定条件，证两个直角三角形全等，得到对应角相等；最后利用∠FDB是直角，用90°减去∠BDE的度数即可求出∠EDF的大小。
【解析】
$\because DE ⊥ AB, DF ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ FDC = ∠ FDB = 90°$。
$\because ∠ AFD = 145°$，
$\therefore ∠ CFD = 180° - 145° = 35°$。
在 $\mathrm{Rt} △ BDE$ 和 $\mathrm{Rt} △ CFD$ 中，
$\begin{cases} BD=CF\\ BE=CD \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CFD(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ BDE = ∠ CFD = 35°$。
$\therefore ∠ EDF = ∠ FDB - ∠ BDE = 90° - 35° = 55°$。
【答案】
$55°$
【知识点】
HL判定直角三角形全等、全等三角形的性质、邻补角互补
【点评】
本题属于全等三角形与角度计算结合的基础题，解题时要注意挖掘垂直带来的直角这一隐含条件，先计算出待求角相关的角的度数，再通过全等转化角的关系即可求解。
【难度系数】
0.7

10 如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E。若AE=12 cm，则DE的长为 cm。
（第10题）

10. 12

【分析】
要求DE的长度，已知AE的长度，可通过证明DE与AE相等求解，优先考虑三角形全等的思路。首先连接辅助线BE，由题意可知∠A和∠BDE均为直角，因此△ABE和△DBE都是直角三角形，已知BD=AB，且两个三角形共斜边BE，可通过“HL”判定两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得到DE的长度。
【解析】
连接BE，
∵ ED⊥BC，△ABC为直角三角形且∠A=90°，
∴ ∠A=∠BDE=90°，即△ABE和△DBE均为直角三角形。
在Rt△ABE和Rt△DBE中：
$\begin{cases} BE=BE\quad(\mathrm{公共边}) \\ AB=BD\quad(\mathrm{已知}) \end{cases}$
∴ Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴ AE=DE，
又
∵ AE=12cm，
∴ DE=12cm。
【答案】
12
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的关键是正确构造辅助线，找到可证全等的直角三角形，通过HL判定定理得到对应边的等量关系，是直角三角形全等判定的常规考法。
【难度系数】
0.8

11（易错题）如图，AD是$△ ABC$的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且$BF = AC$，$FD = CD$.试判断BE与AC的位置关系.

11. $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的高, $\therefore ∠ BDF = ∠ ADC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ BDF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $\begin{cases} BF=AC,\\ FD=CD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDF ≌ \mathrm{Rt}△ ADC.$
$\therefore ∠ DBF = ∠ DAC. \because ∠ DAC + ∠ C = ∠ BDF = 90°,$
$\therefore ∠ AEB = ∠ DBF + ∠ C = 90°. \therefore BE ⊥ AC$

【分析】
要判断BE与AC的位置关系，结合图形可初步猜测为垂直，即需要证明∠AEB=90°。首先观察已知条件：AD是△ABC的高，可得∠BDF=∠ADC=90°，即△BDF和△ADC都是直角三角形；题目还给出BF=AC、FD=CD，刚好符合直角三角形全等的HL判定条件，因此可先证明这两个直角三角形全等，得到对应角相等，再结合直角三角形两锐角互余的性质进行角的代换，即可推出BE与AC的夹角为90°，得到最终的位置关系。
【解析】
∵ AD是△ABC的高，
∴ ∠BDF = ∠ADC = 90°。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中，
$\begin{cases} BF=AC,\\ FD=CD, \end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ BDF ≌ \mathrm{Rt}△ ADC$（HL）。
∴ ∠DBF = ∠DAC。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，∠DAC + ∠C = 90°，
∴ ∠DBF + ∠C = 90°。
在△BEC中，∠BEC = 180° - (∠DBF + ∠C) = 90°，
∴ BE⊥AC。
【答案】
$BE ⊥ AC$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础综合应用题，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，再通过角的等量代换推导垂直关系，易错点为容易忽略HL仅适用于直角三角形，或是角的代换过程中找不准角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

12 如图,在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中,∠ABC=∠ADE=90°,BC 与 DE 相交于点 F,且 AB=AD,AC=AE,连接 CD,EB.求证:
(1) ∠CAD=∠EAB;
(2) CF=EF.

12. (1) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $\begin{cases} AC=AE,\\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE. \therefore ∠ BAC = ∠ DAE. \therefore ∠ BAC - ∠ DAB = ∠ DAE - ∠ DAB. \therefore ∠ CAD = ∠ EAB$ （2）在 $△ ADC$ 和 $△ ABE$ 中, $\begin{cases} AC=AE,\\ ∠ CAD = ∠ EAB,\\ AD=AB, \end{cases}$ $\therefore △ ADC ≌ △ ABE. \therefore DC = BE, ∠ ACD = ∠ AEB.$ 由 (1), 知 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE$, $\therefore ∠ ACB = ∠ AED. \therefore ∠ ACB - ∠ ACD = ∠ AED - ∠ AEB.$
$\therefore ∠ DCF = ∠ BEF.$ 在 $△ DFC$ 和 $△ BFE$ 中, $\begin{cases} ∠ DCF = ∠ BEF,\\ ∠ DFC = ∠ BFE,\\ DC=BE, \end{cases}$ $\therefore △ DFC ≌ △ BFE. \therefore CF = EF$

【分析】
(1) 要证明∠CAD=∠EAB，首先观察已知条件，Rt△ABC和Rt△ADE中给出斜边AC=AE、直角边AB=AD，可先通过“HL”判定两个直角三角形全等，得到对应角∠BAC=∠DAE，再将两个角同时减去公共角∠DAB，即可得到待证的角相等。
(2) 要证明CF=EF，可通过证明CF和EF所在的△DFC与△BFE全等来实现。首先利用(1)的结论，结合已知AC=AE、AD=AB证明△ADC≌△ABE，得到DC=BE以及∠ACD=∠AEB；再结合Rt△ABC≌Rt△ADE得到的∠ACB=∠AED，推导得出∠DCF=∠BEF；最后结合对顶角∠DFC=∠BFE，通过“AAS”证明两个小三角形全等，即可得到CF=EF。
【解析】
(1) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中, $\begin{cases} AC=AE,\\ AB=AD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE. \therefore ∠ BAC = ∠ DAE.$
$\therefore ∠ BAC - ∠ DAB = ∠ DAE - ∠ DAB.$
$\therefore ∠ CAD = ∠ EAB$
(2) 在 $△ ADC$ 和 $△ ABE$ 中, $\begin{cases} AC=AE,\\ ∠ CAD = ∠ EAB,\\ AD=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ ABE. \therefore DC = BE, ∠ ACD = ∠ AEB.$
由 (1), 知 $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ ADE$, $\therefore ∠ ACB = ∠ AED.$
$\therefore ∠ ACB - ∠ ACD = ∠ AED - ∠ AEB.$
$\therefore ∠ DCF = ∠ BEF.$
在 $△ DFC$ 和 $△ BFE$ 中, $\begin{cases} ∠ DCF = ∠ BEF,\\ ∠ DFC = ∠ BFE,\\ DC=BE, \end{cases}$
$\therefore △ DFC ≌ △ BFE. \therefore CF = EF$
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAD=∠EAB}$；
(2) $\boldsymbol{CF=EF}$
【知识点】
HL证直角三角形全等、全等三角形的性质、AAS证三角形全等
【点评】
本题是三角形全等的综合应用题型，解题时可通过待证结论倒推所需的边、角条件，结合已知逐步推导，要注意挖掘图形中公共角、对顶角这类隐含条件，对逻辑推理能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7

13 如图，AD 是$△ ABC$的中线，$BE\bot AD$，垂足为 E，$CF\bot AD$，交 AD 的延长线于点 F，G 是 DA 延长线上一点，连接 BG.
（1）求证：$BE=CF$；
（2）若$BG=CA$，求证：$AG=2DE$.

13. (1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD=CD. \because BE ⊥ AD$, $CF ⊥ AD, \therefore ∠ BED = ∠ F$. 在 $△ BED$ 和 $△ CFD$ 中,
$\begin{cases} ∠ BED = ∠ F,\\ ∠ BDE = ∠ CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$ $\therefore △ BED ≌ △ CFD. \therefore BE=CF$ （2）在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAF$ 中, $\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BGE ≌ \mathrm{Rt}△ CAF.$
$\therefore GE = AF. \therefore GE - AE = AF - AE, 即 AG = EF.$
$\because △ BED ≌ △ CFD, \therefore DE = DF. \because EF = DE + DF = 2DE,$
$\therefore AG=2DE$

【分析】
（1）要证BE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知AD是△ABC的中线，可得BD=CD；由BE⊥AD、CF⊥AD可得两个直角相等，再结合对顶角∠BDE=∠CDF，可用AAS判定△BED≌△CFD，即可得到BE=CF。
（2）要证AG=2DE，首先结合已知BG=CA和第一问的结论BE=CF，可用HL判定Rt△BGE≌Rt△CAF，得到GE=AF，等式两边同时减去AE可推得AG=EF；再结合第一问全等的结论得DE=DF，因此EF=DE+DF=2DE，等量代换即可证得AG=2DE。
【解析】
(1) $\because AD$ 是 $△ ABC$ 的中线, $\therefore BD=CD$.
$\because BE ⊥ AD$, $CF ⊥ AD$, $\therefore ∠ BED = ∠ F = 90°$.
在 $△ BED$ 和 $△ CFD$ 中,
$\begin{cases} ∠ BED = ∠ F,\\ ∠ BDE = ∠ CDF,\\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BED ≌ △ CFD \ (\mathrm{AAS})$.
$\therefore BE=CF$.
(2) 在 $\mathrm{Rt}△ BGE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CAF$ 中,
$\begin{cases} BG=CA,\\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BGE ≌ \mathrm{Rt}△ CAF \ (\mathrm{HL})$.
$\therefore GE = AF$.
$\therefore GE - AE = AF - AE$, 即 $AG = EF$.
$\because △ BED ≌ △ CFD, \therefore DE = DF$.
$\because EF = DE + DF = 2DE$,
$\therefore AG=2DE$.
【答案】
(1) 证明成立，$BE=CF$；
(2) 证明成立，$AG=2DE$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. HL判定直角三角形全等
3. 三角形中线的定义
【点评】
本题是三角形全等的基础综合题，第一问可直接利用中线性质和AAS判定全等求解，第二问需要结合第一问的全等结论，通过HL判定新的直角三角形全等，再推导线段的等量关系，注重对逻辑推理能力的考查。
【难度系数】
0.7