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1 如图，点A，D，C，E在同一条直线上，BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB//DF，AB＝DF，连接EF.
（1）求证：$△ ABC≌△ DFE$.
（2）连接CF.若$∠ BCF＝54°$，$∠ DFC＝20°$，求$∠ DFE$的度数.
（1）求证：$△ ABC≌△ DFE$.
（2）连接CF.若$∠ BCF＝54°$，$∠ DFC＝20°$，求$∠ DFE$的度数.
答案
(1) $\because AB// DF,\therefore ∠ A=∠ FDE.\because AD=CE,\therefore AD+CD=CE+CD$, 即 $AC=DE$. 在 $△ ABC$ 和 $△ DFE$ 中,
$\begin{cases}AB=DF,\\∠ A=∠ FDE,\\AC=DE,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DFE$
(2) $\because ∠ BCF=54°$,$∠ DFC=20°,\therefore ∠ DOC=∠ BCF+∠ DFC=54°+20°=74°$.
$\because AB// DF,\therefore ∠ B=∠ DOC=74°. \because △ ABC≌△ DFE$,$\therefore ∠ DFE=∠ B=74°$
$\begin{cases}AB=DF,\\∠ A=∠ FDE,\\AC=DE,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ DFE$
(2) $\because ∠ BCF=54°$,$∠ DFC=20°,\therefore ∠ DOC=∠ BCF+∠ DFC=54°+20°=74°$.
$\because AB// DF,\therefore ∠ B=∠ DOC=74°. \because △ ABC≌△ DFE$,$\therefore ∠ DFE=∠ B=74°$
解析
【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ DFE$，首先根据平行线的性质，由$AB// DF$可得$∠ A=∠ FDE$；再根据$AD=CE$，两边同时加公共线段$CD$，可推得$AC=DE$；结合已知$AB=DF$，满足SAS全等判定的三个条件，即可证明两个三角形全等。
（2）要求$∠ DFE$的度数，由全等三角形的性质可知$∠ DFE=∠ B$，因此只需先求出$∠ B$的度数。根据$AB// DF$，可得$∠ B=∠ DOC$；而$∠ DOC$是$△ OFC$的外角，根据三角形外角的性质，$∠ DOC$等于不相邻的两个内角$∠ BCF$与$∠ DFC$的和，代入已知角度即可算出$∠ DOC$，进而得到$∠ B$，最终求出$∠ DFE$的度数。
【解析】
（1）$\because AB// DF$，$\therefore ∠ A=∠ FDE$。
$\because AD=CE$，$\therefore AD+CD=CE+CD$，即 $AC=DE$。
在 $△ ABC$ 和 $△ DFE$ 中，
$\begin{cases}AB=DF,\\∠ A=∠ FDE,\\AC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{SAS})$。
（2）$\because ∠ BCF=54°$，$∠ DFC=20°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ BCF+∠ DFC=54°+20°=74°$。
$\because AB// DF$，$\therefore ∠ B=∠ DOC=74°$。
$\because △ ABC≌△ DFE$，$\therefore ∠ DFE=∠ B=74°$。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ DFE$，证明成立；
（2）$∠ DFE=74°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，结合了平行线、三角形外角的相关知识，解题时需要准确梳理已知条件，找到边、角的等量关系，完成对应量的转化即可顺利求解，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
（1）要证明$△ ABC≌△ DFE$，首先根据平行线的性质，由$AB// DF$可得$∠ A=∠ FDE$；再根据$AD=CE$，两边同时加公共线段$CD$，可推得$AC=DE$；结合已知$AB=DF$，满足SAS全等判定的三个条件，即可证明两个三角形全等。
（2）要求$∠ DFE$的度数，由全等三角形的性质可知$∠ DFE=∠ B$，因此只需先求出$∠ B$的度数。根据$AB// DF$，可得$∠ B=∠ DOC$；而$∠ DOC$是$△ OFC$的外角，根据三角形外角的性质，$∠ DOC$等于不相邻的两个内角$∠ BCF$与$∠ DFC$的和，代入已知角度即可算出$∠ DOC$，进而得到$∠ B$，最终求出$∠ DFE$的度数。
【解析】
（1）$\because AB// DF$，$\therefore ∠ A=∠ FDE$。
$\because AD=CE$，$\therefore AD+CD=CE+CD$，即 $AC=DE$。
在 $△ ABC$ 和 $△ DFE$ 中，
$\begin{cases}AB=DF,\\∠ A=∠ FDE,\\AC=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DFE(\mathrm{SAS})$。
（2）$\because ∠ BCF=54°$，$∠ DFC=20°$，
$\therefore ∠ DOC=∠ BCF+∠ DFC=54°+20°=74°$。
$\because AB// DF$，$\therefore ∠ B=∠ DOC=74°$。
$\because △ ABC≌△ DFE$，$\therefore ∠ DFE=∠ B=74°$。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ DFE$，证明成立；
（2）$∠ DFE=74°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是全等三角形的基础综合题，结合了平行线、三角形外角的相关知识，解题时需要准确梳理已知条件，找到边、角的等量关系，完成对应量的转化即可顺利求解，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
2 如图，O是AB的中点，OC=OD，∠AOD=∠BOC，连接AC，BD。求证：AC=BD。
答案
$\because O$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore OA=OB. \because ∠ AOD=∠ BOC$,
$\therefore ∠ AOD+∠ DOC=∠ BOC+∠ DOC$, 即$∠ AOC=∠ BOD$. 在
$△ AOC$ 和 $△ BOD$ 中,$\begin{cases}OA=OB,\\∠ AOC=∠ BOD,\\OC=OD,\end{cases}$$\therefore △ AOC≌△ BOD$.
$\therefore AC=BD$
$\therefore ∠ AOD+∠ DOC=∠ BOC+∠ DOC$, 即$∠ AOC=∠ BOD$. 在
$△ AOC$ 和 $△ BOD$ 中,$\begin{cases}OA=OB,\\∠ AOC=∠ BOD,\\OC=OD,\end{cases}$$\therefore △ AOC≌△ BOD$.
$\therefore AC=BD$
解析
【分析】
要证明AC=BD，可通过证明两条线段所在的△AOC和△BOD全等推导。首先根据O是AB中点可得OA=OB，已知OC=OD，还需证明两组对应边的夹角相等；由已知∠AOD=∠BOC，两个角同时加上公共角∠DOC，即可推出∠AOC=∠BOD，满足SAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等，进而得到对应边AC=BD。
【解析】
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB。
∵ ∠AOD=∠BOC，
∴ ∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC，即∠AOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中：
$\begin{cases}OA=OB, \\∠AOC=∠BOD, \\OC=OD,\end{cases}$
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
线段中点的定义，全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是找到待证线段所在的三角形，通过角的和差关系推导得到全等所需的等角条件，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，能够很好地巩固全等三角形判定和性质的基础应用。
【难度系数】
0.8
要证明AC=BD，可通过证明两条线段所在的△AOC和△BOD全等推导。首先根据O是AB中点可得OA=OB，已知OC=OD，还需证明两组对应边的夹角相等；由已知∠AOD=∠BOC，两个角同时加上公共角∠DOC，即可推出∠AOC=∠BOD，满足SAS的全等判定条件，即可证明两三角形全等，进而得到对应边AC=BD。
【解析】
∵ O是AB的中点，
∴ OA=OB。
∵ ∠AOD=∠BOC，
∴ ∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC，即∠AOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中：
$\begin{cases}OA=OB, \\∠AOC=∠BOD, \\OC=OD,\end{cases}$
∴ △AOC≌△BOD（SAS），
∴ AC=BD。
【答案】
$AC=BD$
【知识点】
线段中点的定义，全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题关键是找到待证线段所在的三角形，通过角的和差关系推导得到全等所需的等角条件，再利用全等三角形的性质得到对应边相等，能够很好地巩固全等三角形判定和性质的基础应用。
【难度系数】
0.8
3 如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,BC＝DC,点E在AC上,连接BE,DE.求证:BE＝DE.
答案
在 $△ ABC$ 和 $△ ADC$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\AC=AC,\\BC=DC,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ ADC$.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC.$ 在$△ ABE$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADE. \therefore BE=DE$
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC.$ 在$△ ABE$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADE. \therefore BE=DE$
解析
【分析】
要证明BE=DE，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先观察已知条件：AB=AD、BC=DC，AC是两个三角形的公共边，可先通过SSS判定△ABC与△ADC全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再看BE、DE分别在△ABE和△ADE中，此时已有AB=AD、公共边AE，结合刚得到的角相等，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边BE=DE。
【解析】
在 $△ ABC$ 和 $△ ADC$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\AC=AC,\\BC=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC$.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$.
在$△ ABE$ 和$△ ADE$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADE$.
$\therefore BE=DE$.
【答案】
$BE=DE$
【知识点】
1. 全等三角形判定
2. 全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题关键是挖掘公共边这类隐含的相等条件，通过两次全等推导得到目标线段相等，有助于巩固全等三角形的判定与性质的应用。
【难度系数】
0.8
要证明BE=DE，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先观察已知条件：AB=AD、BC=DC，AC是两个三角形的公共边，可先通过SSS判定△ABC与△ADC全等，得到对应角∠BAC=∠DAC；再看BE、DE分别在△ABE和△ADE中，此时已有AB=AD、公共边AE，结合刚得到的角相等，即可通过SAS判定两个三角形全等，进而得到对应边BE=DE。
【解析】
在 $△ ABC$ 和 $△ ADC$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\AC=AC,\\BC=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADC$.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$.
在$△ ABE$ 和$△ ADE$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAE,\\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ADE$.
$\therefore BE=DE$.
【答案】
$BE=DE$
【知识点】
1. 全等三角形判定
2. 全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形证明的基础题型，解题关键是挖掘公共边这类隐含的相等条件，通过两次全等推导得到目标线段相等，有助于巩固全等三角形的判定与性质的应用。
【难度系数】
0.8
