4 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$∠ C = ∠ E$，$AC=AE$，$∠ 1=∠ 2$，$AD$，$BC$相交于点$F$。
（1）求证：$△ ABC ≌ △ ADE$；
（2）若$AB // DE$，$∠ D = 30°$，求$∠ AFB$的度数。

(1) $\because ∠ 1=∠ 2,\therefore ∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD.$
$\therefore ∠ CAB=∠ EAD.$ 在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases}∠ CAB=∠ EAD,\\AC=AE,\\∠ C=∠ E,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE$
(2) $\because AB// DE,\therefore ∠ 1=∠ D=30°.$ 由(1), 知 $△ ABC≌△ ADE,\therefore ∠ B=∠ D=30°. \therefore ∠ AFB=180°-∠ 1-∠ B=180°-30°-30°=120°$

【分析】
（1）要证明$△ ABC ≌ △ ADE$，已知一组对应角$∠ C=∠ E$、一组对应边$AC=AE$，还需再证明一组夹边的对应角相等。已知$∠1=∠2$，给两个角同时加上公共角$∠ CAD$，即可得到$∠ CAB=∠ EAD$，满足ASA全等判定条件，即可完成证明。
（2）求$∠ AFB$的度数时，首先根据$AB// DE$，利用平行线内错角相等的性质可得$∠1=∠ D=30°$；再结合（1）中全等三角形对应角相等的性质，得到$∠ B=∠ D=30°$；最后在$△ AFB$中利用三角形内角和为$180°$，减去$∠1$和$∠ B$的度数即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1+∠ CAD=∠ 2+∠ CAD$，即$∠ CAB=∠ EAD$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠ CAB=∠ EAD,\\AC=AE,\\∠ C=∠ E,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE\ (\mathrm{ASA})$。
(2) 解：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ 1=∠ D=30°$。
由(1)可知 $△ ABC≌△ ADE$，$\therefore ∠ B=∠ D=30°$。
在$△ AFB$中，$∠ AFB=180°-∠ 1-∠ B=180°-30°-30°=120°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ AFB=120°$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，主要考察全等三角形的判定、性质和平行线性质的结合应用，解题核心是通过角的和差关系推导全等所需的等角条件，是几何部分的常考题型，需熟练掌握相关定理的灵活运用。
【难度系数】
0.75

5 如图，$AD=AB$，$AC=AE$，$∠ DAB=∠ CAE$，连接$DC$，$BE$.
（1）求证：$△ BAE ≌ △ DAC$；
（2）若$∠ CAD=143°$，$∠ D=15°$，求$∠ E$的度数.

(1) $\because ∠ DAB=∠ CAE,\therefore ∠ DAB+∠ BAC=∠ CAE+∠ BAC$, 即 $∠ DAC = ∠ BAE$. 在 $△ BAE$ 和 $△ DAC$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\∠ BAE=∠ DAC,\\AE=AC,\end{cases}$$\therefore △ BAE ≌ △ DAC$
(2) $\because △ BAE ≌ △ DAC,\therefore ∠ E=∠ C. \because ∠ CAD=143°,∠ D=15°,\therefore ∠ C=180°-(∠ CAD+∠ D)=22°. \therefore ∠ E=22°$

【分析】
（1）要证明△BAE≌△DAC，首先梳理已知条件：题目已给出两组对应边相等AD=AB、AC=AE，根据全等三角形的判定定理，还需要证明这两组边的夹角相等。已知∠DAB=∠CAE，两个角同时加上公共角∠BAC，即可得到夹角∠DAC=∠BAE，满足SAS的判定条件，即可证明全等。
（2）要求∠E的度数，根据全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，可知∠E=∠C，因此只需要求出△DAC中∠C的度数即可。已知△DAC中∠CAD和∠D的度数，利用三角形内角和为180°就能算出∠C的度数，进而得到∠E的度数。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠DAB=∠CAE,$
$\therefore ∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC$，即 $∠DAC = ∠BAE$。
在 $△BAE$ 和 $△DAC$ 中,
$\begin{cases}AB=AD,\\∠BAE=∠DAC,\\AE=AC,\end{cases}$
$\therefore △BAE ≌ △DAC(\mathrm{SAS})$。
（2）解：
$\because △BAE ≌ △DAC,$
$\therefore ∠E=∠C$。
$\because ∠CAD=143°,∠D=15°,$
$\therefore ∠C=180°-(∠CAD+∠D)=180°-(143°+15°)=22°$。
$\therefore ∠E=22°$。
【答案】
（1）△BAE≌△DAC，证明成立；
（2）$\boldsymbol{22°}$
【知识点】
全等三角形SAS判定、全等三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形的基础典型题，解题核心是先通过角的和差得到全等判定所需的对应夹角相等，完成全等证明后，再利用全等的性质转化待求角，结合三角形内角和定理即可完成求解。
【难度系数】
0.85

6 如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为$(0,4)$，$(-1,0)$，$AC=BC$，$AC⊥ BC$，则点B的坐标为。

(3,-1) 【解析】 $\because A(0,4),C(-1,0),\therefore AO=4,CO=1.$ 过点 $B$ 作 $BD⊥ x$ 轴于点 $D. \because AC⊥ BC,\therefore ∠ BDC=∠ ACB=∠ AOC=90°. \therefore ∠ BCD+∠ CBD=90°,∠ ACO+∠ BCD=90°. \therefore ∠ ACO=∠ CBD.$ 在 $△ AOC$ 和 $△ CDB$ 中,
$\begin{cases}∠ ACO=∠ CBD,\\∠ AOC=∠ CDB,\\AC=CB,\end{cases}$$\therefore △ AOC≌△ CDB. \therefore AO=CD=4,CO=BD=1. \therefore OD=CD-CO=3. \therefore$ 点 $B$ 的坐标为$(3,-1).$

【分析】
要求点B的坐标，可先过点B向x轴作垂线，把求坐标的问题转化为求线段长度的问题。已知$AC⊥ BC$且$AC=BC$，结合平面直角坐标系自带的直角，可通过“同角的余角相等”推导出一组相等的角，进而证明$△ AOC$和点B向x轴作垂线得到的直角三角形全等，再利用全等三角形对应边相等的性质计算相关线段长度，最终得到点B的坐标。
【解析】
$\because$ 点A、C的坐标分别为$(0,4)$，$(-1,0)$，
$\therefore AO=4$，$CO=1$。
过点B作$BD⊥ x$轴于点D，
$\because AC⊥ BC$，
$\therefore ∠ BDC=∠ ACB=∠ AOC=90°$，
$\therefore ∠ BCD+∠ CBD=90°$，$∠ ACO+∠ BCD=90°$，
$\therefore ∠ ACO=∠ CBD$。
在$△ AOC$和$△ CDB$中：
$\begin{cases}∠ ACO=∠ CBD \\∠ AOC=∠ CDB \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ AOC≌△ CDB(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AO=CD=4$，$CO=BD=1$，
$\therefore OD=CD-CO=4-1=3$，
又$\because$ 点B在第四象限，
$\therefore$ 点B的坐标为$(3,-1)$。
【答案】
$(3,-1)$
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题是全等三角形与平面直角坐标系结合的经典题型，核心是通过作辅助线构造“K型”全等模型，利用全等的性质将已知线段长度转化为和所求点坐标相关的线段长度，解题的关键是准确找到三角形全等的条件。
【难度系数】
0.65

7 如图,在等腰三角形ABC中,AB＝AC,点D在边BC上,点E,F在线段AD上,∠1＝∠2＝∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.

$\because ∠ 1=∠ 2,\therefore 180°-∠ 1=180°-∠ 2,$ 即$∠ BEA=∠ AFC.$
$\because ∠ 2=∠ ACF+∠ CAF,∠ BAC=∠ BAE+∠ CAF,∠ 2=∠ BAC, \therefore ∠ BAE = ∠ ACF.$ 在 $△ ABE$ 和 $△ CAF$ 中,
$\begin{cases}∠ BEA=∠ AFC,\\∠ BAE=∠ ACF,\\AB=CA,\end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ CAF$

【分析】
要证明△ABE≌△CAF，首先已知AB=AC，已经具备一组对应边相等，只需再找到两组对应角相等即可完成证明。首先利用∠1=∠2，通过邻补角的性质可推导出∠BEA=∠AFC；再结合∠2=∠BAC的条件，利用角的和差关系推导另一组对应角∠BAE=∠ACF，最后用AAS全等判定定理即可证明两个三角形全等。
【解析】
∵ ∠1=∠2，
∴ 180°-∠1=180°-∠2，即∠BEA=∠AFC。
∵ ∠2是△AFC的外角，
∴∠2=∠ACF+∠CAF，
又
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF，且已知∠2=∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠ACF。
在△ABE和△CAF中，
$\begin{cases}∠BEA=∠AFC,\\∠BAE=∠ACF,\\AB=CA,\end{cases}$
∴ △ABE≌△CAF（AAS）。
【答案】
△ABE≌△CAF，得证。
【知识点】
全等三角形AAS判定，三角形外角性质，角的和差运算
【点评】
本题是全等三角形证明的基础典型题，解题核心是从已知角相等的条件出发，结合图形梳理角之间的和差、互补关系，推导得出全等判定所需的对应角相等，熟练掌握全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7