8 若$(A - \dfrac{3}{a - 1}) · \dfrac{3a - 3}{a + 2}$的化简结果为$3a - 6$，则整式A为（）

A.$-a + 1$
B.$a - 1$
C.$-a - 1$
D.$a + 1$

D

【分析】
本题可利用乘除互逆的关系求解整式A。首先将原式变形，把含A的代数式单独放在等式一侧，其余部分移到另一侧；再对分式中的多项式因式分解，将除法转化为乘法后约分；最后通过分式加法运算通分化简，即可求出A的值。
【解析】
由题意得：
$A - \dfrac{3}{a-1} = (3a - 6) ÷ \dfrac{3a - 3}{a + 2}$
1. 先对多项式因式分解：
$3a-6=3(a-2)$，$3a-3=3(a-1)$
2. 计算右侧分式运算：
除以一个分式等于乘它的倒数，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{右侧}&=3(a-2) × \dfrac{a+2}{3(a-1)} \\&=\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-1} \\&=\dfrac{a^2 - 4}{a-1}\end{aligned}$
3. 移项求A，同分母分式相加：
$\begin{aligned}A&=\dfrac{a^2 - 4}{a-1} + \dfrac{3}{a-1} \\&=\dfrac{a^2 - 4 + 3}{a-1} \\&=\dfrac{a^2 - 1}{a-1} \\&=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1} \\&=a+1 \quad (a≠1,a≠-2)\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
分式混合运算、因式分解、平方差公式
【点评】
本题考查分式运算的灵活运用，通过逆用乘法运算关系建立求A的等式，解题时注意先因式分解再约分，可有效简化计算，同时要注意分式有意义的隐含条件，避免出错。
【难度系数】
0.7

9 已知 $x^2 - x - 1 = 0$，那么 $( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} ) ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1}$ 的值是（）

A.1
B.-1
C.2
D.-2

A

【分析】
解决本题的思路是先化简所求的分式，再结合已知条件整体代入求值，无需直接解出x的值。第一步先计算括号内的分式减法，通过通分化简；第二步将分式除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分，得到最简形式；最后根据已知方程变形，整体代入最简式计算结果即可。
【解析】
先化简原式：
1. 计算括号内的分式减法，通分（公分母为$x(x+1)$）：
$\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{2x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{x-1}{x(x+1)}$
2. 将除法转化为乘法，同时对分子分母因式分解：
$\frac{x^2 - x}{x^2 + 2x + 1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)^2}$，因此原式变为：
$\frac{x-1}{x(x+1)} × \frac{(x+1)^2}{x(x-1)}$
3. 约分：约去分子分母的公因式$x-1$和$x+1$，得：
$\frac{x+1}{x^2}$
4. 结合已知条件代入：由$x^2 - x -1 =0$可得$x^2 = x+1$，代入上式得：
$\frac{x+1}{x+1} =1$（分式有意义时分母不为0，可约去）
【答案】
A
【知识点】
分式混合运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于典型的分式化简求值题，解题关键是先化简再代入，合理运用整体代入的思想可避免解高次方程，减少计算量，解题时要注意约分的前提是分母不为0。
【难度系数】
0.7

10 计算：$\frac{1}{2x} - \frac{1}{x+y}(\frac{x+y}{2x} - x - y) =$

1
【解析】原式$=\frac{1}{2x}-\frac{1}{x+y}[\frac{x+y}{2x}-(x+y)]=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x}+1=1.$

【分析】
解题时先观察式子结构，发现括号中后两项可以合并为$-(x+y)$，且括号外乘的是$\frac{1}{x+y}$，因此优先考虑用乘法分配律展开运算，这样可以直接消去分母$x+y$，避免先计算括号内的复杂通分步骤，降低运算难度。具体步骤为：先对括号内的式子变形，再利用乘法分配律去括号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
先对原式括号内的项变形，将$-x-y$改写为$-(x+y)$，再按运算规则计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2x}-\frac{1}{x+y}[\frac{x+y}{2x}-(x+y)]\\&=\frac{1}{2x}-(\frac{1}{x+y}·\frac{x+y}{2x} - \frac{1}{x+y}·(x+y))\\&=\frac{1}{2x}-(\frac{1}{2x} - 1)\\&=\frac{1}{2x}-\frac{1}{2x}+1\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
分式的混合运算、乘法分配律、去括号法则
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题的关键是观察式子特征，灵活运用运算律简化计算，能有效避免通分带来的运算失误，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

11（易错题）化简：$\dfrac{9}{a+1} ÷ ( \dfrac{2}{a-1} + \dfrac{a-2}{a^2 -1} ) =$ .

$\frac{3a-3}{a}$
易错分析：误用分配律致错.

【分析】
本题考查分式的混合运算，解题时需遵循运算顺序：有括号先算括号内的运算，再算括号外的除法。首先对括号内的分式分母进行因式分解，找到最简公分母完成通分，合并括号内的加法后，将除法转化为乘法，再通过约分得到最简结果。注意除法没有分配律，不可直接将被除数分别除以括号内的两项，否则会出现计算错误。
【解析】
解：先计算括号内的异分母分式加法：
对分母因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此括号内两项的最简公分母为$(a+1)(a-1)$，通分得：
$\dfrac{2}{a-1} + \dfrac{a-2}{a^2 -1} = \dfrac{2(a+1)}{(a+1)(a-1)} + \dfrac{a-2}{(a+1)(a-1)}$
合并分子得：
$=\dfrac{2a+2+a-2}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{3a}{(a+1)(a-1)}$
再计算括号外的除法，除以一个分式等于乘它的倒数：
原式$=\dfrac{9}{a+1} ÷ \dfrac{3a}{(a+1)(a-1)}=\dfrac{9}{a+1} × \dfrac{(a+1)(a-1)}{3a}$
约分后计算得：
$=\dfrac{3(a-1)}{a}=\dfrac{3a-3}{a}$
【答案】
$\dfrac{3a-3}{a}$
【知识点】
分式混合运算；异分母分式加减；分式约分
【点评】
本题是分式运算的易错题，核心误区是错误套用乘法分配律处理除法运算，解题时要严格遵守分式混合运算的顺序，通分时注意不要漏乘分子，约分时要找准公因式，保证结果为最简分式。
【难度系数】
0.6

12 教材P155练习T1变式 计算：
(1) $[2024\mathrm{临夏}](a+1+\dfrac{1}{a-1})÷\dfrac{a^2+a}{a-1};$
(2) $1-\dfrac{m-3n}{m+4n}÷\dfrac{m^2-9n^2}{m^2+8mn+16n^2}.$

(1) $\frac{a}{a+1}$
(2) $-\frac{n}{m+3n}$

【分析】
分式混合运算遵循先括号内、后括号外，先乘除、后加减的运算顺序，遇到除法先转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，最后结果化为最简分式。
(1) 先对括号内的整式和分式通分计算，再将除法转化为乘法，因式分解后约分即可；
(2) 先计算除法部分，对除式的分子分母因式分解，除法转乘法约分后，再和1通分计算减法即可。
【解析】
(1) 先计算括号内的部分：
$a+1+\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{(a+1)(a-1)+1}{a-1}=\dfrac{a^2-1+1}{a-1}=\dfrac{a^2}{a-1}$
再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a^2}{a-1} × \dfrac{a-1}{a^2+a}=\dfrac{a^2}{a-1} × \dfrac{a-1}{a(a+1)}$
约分化简得：$\dfrac{a}{a+1}$
(2) 先计算除法部分，先因式分解：
$m^2-9n^2=(m-3n)(m+3n)$，$m^2+8mn+16n^2=(m+4n)^2$
将除法转化为乘法：
$\dfrac{m-3n}{m+4n} ÷ \dfrac{m^2-9n^2}{m^2+8mn+16n^2}=\dfrac{m-3n}{m+4n} × \dfrac{(m+4n)^2}{(m-3n)(m+3n)}=\dfrac{m+4n}{m+3n}$
再计算减法：
原式$=1-\dfrac{m+4n}{m+3n}=\dfrac{m+3n}{m+3n}-\dfrac{m+4n}{m+3n}=\dfrac{(m+3n)-(m+4n)}{m+3n}=\dfrac{-n}{m+3n}=-\dfrac{n}{m+3n}$
【答案】
(1) $\dfrac{a}{a+1}$
(2) $-\dfrac{n}{m+3n}$
【知识点】
1. 分式混合运算
2. 因式分解
3. 分式通分约分
【点评】
本题是分式混合运算的基础题型，重点考查运算顺序和因式分解的应用，计算时要注意除法转乘法时倒数的正确书写，通分、约分时要避免符号错误，最终结果需为最简分式。
【难度系数】
0.75

13（易错题）[2024 广安]先化简$(a+1-\dfrac{3}{a-1})÷\dfrac{a^2+4a+4}{a-1}$，再从$-2,0,1,2$中选取一个适合的数代入求值.

原式$=\frac{a-2}{a+2}$. 由题意,得$a≠1$且$a≠-2$,$\therefore a=0$或$a=2$.
当$a=0$时,原式$=\frac{0-2}{0+2}=-1$$(或当a=2时,原式=\frac{2-2}{2+2}=0)$
易错分析：分式化简求值时忽视字母的取值范围而致错.

【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步先处理括号内的异分母分式减法，需先通分将异分母转化为同分母分式再计算；第二步将分式除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）确定a的可取范围，再从给定数中选符合要求的数代入最简式计算即可。
【解析】
1. 化简原式：
先计算括号内的部分，将$a+1$通分，公分母为$a-1$：
$a+1-\dfrac{3}{a-1}=\dfrac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\dfrac{3}{a-1}=\dfrac{a^2-1-3}{a-1}=\dfrac{a^2-4}{a-1}=\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-1}$
再将除法转化为乘法，同时对除式的分子因式分解：
原式$=\dfrac{(a-2)(a+2)}{a-1} ÷ \dfrac{(a+2)^2}{a-1} = \dfrac{(a-2)(a+2)}{a-1} × \dfrac{a-1}{(a+2)^2}$
约分化简得：$\dfrac{a-2}{a+2}$
2. 确定a的取值范围：
要使分式有意义，需满足所有分母不为0、除数不为0：
即$a-1≠0$，且$a^2+4a+4=(a+2)^2≠0$，解得$a≠1$且$a≠-2$。
因此可从给定数中选$a=0$或$a=2$代入。
3. 代入求值：
当$a=0$时，原式$=\dfrac{0-2}{0+2}=-1$（或当$a=2$时，原式$=\dfrac{2-2}{2+2}=0$）
【答案】
化简结果为$\dfrac{a-2}{a+2}$，当$a=0$时，值为$-1$（或当$a=2$时，值为$0$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常考易错题，解题核心是先化简再代入，易错点是容易忽略分式有意义的条件，直接选取不符合要求的a值代入计算导致错误，因此求值前必须先根据原式的分母、除式的限制确定字母的可取范围。
【难度系数】
0.7

14 新情境 生活实际 有甲、乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料售价分别为$m$元/千克和$n$元/千克，且$m≠n$，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料.
（1）甲、乙两次购买饲料的平均售价各是多少（用含有字母$m$，$n$的式子表示）？
（2）谁的购买方式较合算？

（1）根据题意,得甲两次购买饲料的平均售价是$\frac{1000(m+n)}{1000×2}=\frac{m+n}{2}$(元/千克),乙两次购买饲料的平均售价是$\frac{800+800}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克)
（2）甲、乙两次购买饲料的平均售价的差是$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{m^2+2mn+n^2-4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}$(元/千克). $\because m,n$ 为正数,且 $m ≠ n, \therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0. \therefore \frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}. \therefore$ 乙的购买方式较合算

【分析】
要解决这道题，首先明确平均售价的计算核心是“总支出÷总购买重量”。
对于第（1）问：先分别算出甲两次购买的总支出和总重量，相除即可得到甲的平均售价；再算出乙两次购买的总支出和总重量，相除化简得到乙的平均售价。
对于第（2）问：比较哪种采购方式合算，就是比较两人平均售价的高低，平均售价更低的更合算。我们可以用作差法计算两个平均售价的差，根据差的正负判断大小，结合m、n都是正数且m≠n的条件，利用完全平方公式判断差的符号即可。
【解析】
（1）计算甲的平均售价：
甲两次一共购买的重量为$1000×2=2000$千克，两次购买的总支出为$1000m+1000n$元，
因此甲的平均售价为：$\frac{1000(m+n)}{2000}=\frac{m+n}{2}$（元/千克）。
计算乙的平均售价：
乙两次购买的总支出为$800×2=1600$元，两次购买的总重量为$\frac{800}{m}+\frac{800}{n}$千克，
因此乙的平均售价为：$\frac{1600}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$（元/千克）。
（2）用作差法比较两人平均售价的大小：
$\begin{split}\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}&=\frac{(m+n)^2-4mn}{2(m+n)}\\&=\frac{m^2+2mn+n^2-4mn}{2(m+n)}\\&=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}\end{split}$
因为售价m、n均为正数，且$m≠n$，所以$(m-n)^2＞0$，$2(m+n)＞0$，因此$\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$，即$\frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$，说明乙的平均售价更低。
【答案】
（1）甲的平均售价是$\frac{m+n}{2}$元/千克，乙的平均售价是$\frac{2mn}{m+n}$元/千克；
（2）乙的购买方式较合算。
【知识点】
分式的混合运算；作差法比较大小；分式实际应用
【点评】
本题结合生活采购的实际情境，考查分式运算和代数式大小比较的应用，解题关键是准确理解平均售价的计算逻辑，作差比较时要结合字母的实际意义判断差的符号，能很好地锻炼学生用数学知识解决实际最优问题的能力。
【难度系数】
0.6