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1 [2026广东云浮期末,中]
小明发现可以通过画出一次函数的图象求二元一次方程组的解.小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示,则小明所解的二元一次方程组是 ()
A.$\begin{cases}2x - y = 1, \\3x + 2y = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x - y = 1, \\3x - 2y = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 2, \\2x - y = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2, \\3x - 2y = 1\end{cases}$
小明发现可以通过画出一次函数的图象求二元一次方程组的解.小明在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图所示,则小明所解的二元一次方程组是 ()
A.$\begin{cases}2x - y = 1, \\3x + 2y = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}2x - y = 1, \\3x - 2y = 1\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 2, \\2x - y = 1\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 2, \\3x - 2y = 1\end{cases}$
答案
1. C 【解析】设经过点$ (1,1) $和$ (0,-1) $的直线表达式为$ y=kx+b $,则$\begin{cases} 1=k+b, \\ b=-1 \end{cases}$,解得$\begin{cases} k=2, \\ b=-1 \end{cases}$,所以经过点$ (1,1) $和$ (0,-1) $的直线表达式为$ y=2x-1 $. 设经过点$ (1,1) $和$ (0,2) $的直线表达式为$ y=mx+n $,则$\begin{cases} m+n=1, \\ n=2 \end{cases}$,解得$\begin{cases} m=-1, \\ n=2 \end{cases}$,所以经过点$ (1,1) $和$ (0,2) $的直线表达式为$ y=-x+2 $,所以小明所解的二元一次方程组为$\begin{cases} x+y=2, \\ 2x-y=1 \end{cases}$,故选 C.
解析
【分析】
解题的核心逻辑是：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。我们首先从图象中提取两条直线经过的已知点，用待定系数法分别求出两条直线的解析式，再将解析式整理为二元一次方程的形式，组合得到的方程组就是所求的方程组，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步，求过点$(1,1)$和$(0,-1)$的直线解析式：
设该直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} 1=k+b \\ b=-1 \end{cases}$
把$b=-1$代入第一个方程，解得$k=2$，因此该直线解析式为$y=2x-1$，整理为二元一次方程形式为$2x-y=1$。
第二步，求过点$(1,1)$和$(0,2)$的直线解析式：
设该直线解析式为$y=mx+n$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} m+n=1 \\ n=2 \end{cases}$
把$n=2$代入第一个方程，解得$m=-1$，因此该直线解析式为$y=-x+2$，整理为二元一次方程形式为$x+y=2$。
综上，所求的二元一次方程组为$\begin{cases} x+y=2 \\ 2x-y=1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系；2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的典型基础题，解题关键是明确一次函数交点与方程组解的对应关系，熟练掌握待定系数法求直线解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题的核心逻辑是：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。我们首先从图象中提取两条直线经过的已知点，用待定系数法分别求出两条直线的解析式，再将解析式整理为二元一次方程的形式，组合得到的方程组就是所求的方程组，最后匹配选项即可。
【解析】
第一步，求过点$(1,1)$和$(0,-1)$的直线解析式：
设该直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} 1=k+b \\ b=-1 \end{cases}$
把$b=-1$代入第一个方程，解得$k=2$，因此该直线解析式为$y=2x-1$，整理为二元一次方程形式为$2x-y=1$。
第二步，求过点$(1,1)$和$(0,2)$的直线解析式：
设该直线解析式为$y=mx+n$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} m+n=1 \\ n=2 \end{cases}$
把$n=2$代入第一个方程，解得$m=-1$，因此该直线解析式为$y=-x+2$，整理为二元一次方程形式为$x+y=2$。
综上，所求的二元一次方程组为$\begin{cases} x+y=2 \\ 2x-y=1 \end{cases}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系；2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的典型基础题，解题关键是明确一次函数交点与方程组解的对应关系，熟练掌握待定系数法求直线解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2[2026 湖北武汉期末, 中]在平面直角坐标系中,一次函数$ax+by=c$的图象和一次函数$mx-ny=t$的图象的交点坐标为$(-2,3)$,则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax - 4by = 4c, \\ mx + 4ny = 4t\end{cases}$的解为 ( )
A.$\begin{cases}x=8, \\ y=3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-8, \\ y=-3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-4, \\ y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-4, \\ y=-2\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=8, \\ y=3\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=-8, \\ y=-3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=-4, \\ y=3\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=-4, \\ y=-2\end{cases}$
答案
2. B 【解析】方程组$\begin{cases} ax-4by=4c, \\ mx+4ny=4t \end{cases}$可化为$\begin{cases} \dfrac{a}{4}x-by=c, \\ \dfrac{m}{4}x+ny=t \end{cases}$.由题意得,方程组$\begin{cases} ax+by=c, \\ mx-ny=t \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=-2, \\ y=3 \end{cases}$,所以$\begin{cases} \dfrac{1}{4}x=-2, \\ -y=3 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=-8, \\ y=-3 \end{cases}$.故选 B.
解析
【分析】
解题思路：首先明确一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，已知一次函数$ax+by=c$和$mx-ny=t$的交点为$(-2,3)$，说明$\begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}$满足这两个函数对应的方程。接下来将待求的方程组变形为和已知方程组结构相似的形式，通过对应项相等建立关于待求$x$、$y$的方程，即可求出解。
【解析】
将待求方程组$\begin{cases}ax - 4by = 4c \\ mx + 4ny = 4t\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以4，可得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{4}ax - by = c \\ \dfrac{1}{4}mx + ny = t\end{cases}$
整理为和已知方程组结构一致的形式：$\begin{cases}a·(\dfrac{x}{4}) + b·(-y) = c \\ m·(\dfrac{x}{4}) - n·(-y) = t\end{cases}$
由题意知，方程组$\begin{cases}ax+by=c \\ mx-ny=t\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$，因此对应可得：
$\begin{cases}\dfrac{x}{4} = -2 \\ -y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-8 \\ y=-3\end{cases}$。
故选B。
【答案】
$\begin{cases}x=-8, \\ y=-3\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 二元一次方程组的解
3. 等式的性质
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题核心是通过变形待求方程组，使其与已知解的方程组结构匹配，进而建立等量关系求解，这类题型是代数部分的常考题型，需要熟练掌握方程变形和对应关系的应用。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先明确一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，已知一次函数$ax+by=c$和$mx-ny=t$的交点为$(-2,3)$，说明$\begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}$满足这两个函数对应的方程。接下来将待求的方程组变形为和已知方程组结构相似的形式，通过对应项相等建立关于待求$x$、$y$的方程，即可求出解。
【解析】
将待求方程组$\begin{cases}ax - 4by = 4c \\ mx + 4ny = 4t\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以4，可得：
$\begin{cases}\dfrac{1}{4}ax - by = c \\ \dfrac{1}{4}mx + ny = t\end{cases}$
整理为和已知方程组结构一致的形式：$\begin{cases}a·(\dfrac{x}{4}) + b·(-y) = c \\ m·(\dfrac{x}{4}) - n·(-y) = t\end{cases}$
由题意知，方程组$\begin{cases}ax+by=c \\ mx-ny=t\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=-2 \\ y=3\end{cases}$，因此对应可得：
$\begin{cases}\dfrac{x}{4} = -2 \\ -y = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-8 \\ y=-3\end{cases}$。
故选B。
【答案】
$\begin{cases}x=-8, \\ y=-3\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 二元一次方程组的解
3. 等式的性质
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程组的对应关系，解题核心是通过变形待求方程组，使其与已知解的方程组结构匹配，进而建立等量关系求解，这类题型是代数部分的常考题型，需要熟练掌握方程变形和对应关系的应用。
【难度系数】
0.6
3 [2025 湖北恩施州质检，中] 若方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=(3k-1)x+2\end{cases}$有无穷多组解，则$2k+b^2$的值为 ______ 。
答案
3. 5 【解析】根据题意,得$ b=2,3k-1=k $,解得$ k=\dfrac{1}{2} $,所以$ 2k+b^2=1+4=5 $. 故答案为 5.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二元一次方程组与一次函数的关系：方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。若方程组有无穷多组解，说明两个一次函数的图象完全重合，此时两个函数表达式的一次项系数相等、常数项也相等，据此列方程求出k和b的值，再代入代数式计算即可。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=(3k-1)x+2\end{cases}$有无穷多组解，
∴ 两个一次函数$y=kx+b$和$y=(3k-1)x+2$的图象完全重合，
∴ 对应系数相等，即$\begin{cases}k=3k-1, \\ b=2\end{cases}$
解$k=3k-1$，移项得：$3k -k =1$，即$2k=1$，解得$k=\dfrac{1}{2}$。
将$k=\dfrac{1}{2}$，$b=2$代入$2k+b^2$，得：
$2k+b^2=2×\dfrac{1}{2} + 2^2 =1 +4=5$。
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系；一次函数图象性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是理解二元一次方程组的解和对应一次函数图象的关联，明确方程组有无穷多解等价于两个一次函数图象重合，进而得到系数相等的关系求解参数，计算量小，掌握对应概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆二元一次方程组与一次函数的关系：方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。若方程组有无穷多组解，说明两个一次函数的图象完全重合，此时两个函数表达式的一次项系数相等、常数项也相等，据此列方程求出k和b的值，再代入代数式计算即可。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=(3k-1)x+2\end{cases}$有无穷多组解，
∴ 两个一次函数$y=kx+b$和$y=(3k-1)x+2$的图象完全重合，
∴ 对应系数相等，即$\begin{cases}k=3k-1, \\ b=2\end{cases}$
解$k=3k-1$，移项得：$3k -k =1$，即$2k=1$，解得$k=\dfrac{1}{2}$。
将$k=\dfrac{1}{2}$，$b=2$代入$2k+b^2$，得：
$2k+b^2=2×\dfrac{1}{2} + 2^2 =1 +4=5$。
【答案】
5
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系；一次函数图象性质；代数式求值
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是理解二元一次方程组的解和对应一次函数图象的关联，明确方程组有无穷多解等价于两个一次函数图象重合，进而得到系数相等的关系求解参数，计算量小，掌握对应概念即可快速解答。
【难度系数】
0.7
4[中]如图,直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,b)$,直线$l_1,l_2$与$x$轴分别交于$A,B$两点.
(1)求$b,m$的值,并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x-y=-1,\\mx-y=-4\end{cases}$的解;
(2)求$△ ABP$的面积;
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$,若线段$CD$的长为$2$,求$a$的值.
刷素养→……走向重高
(1)求$b,m$的值,并结合图象写出关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x-y=-1,\\mx-y=-4\end{cases}$的解;
(2)求$△ ABP$的面积;
(3)垂直于$x$轴的直线$x=a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$,若线段$CD$的长为$2$,求$a$的值.
刷素养→……走向重高
答案
4.【解】(1)把点$ P(1,b) $代入$ y=2x+1 $,得$ b=2+1=3 $,所以$ P(1,3) $. 把点$ P(1,3) $代入$ y=mx+4 $,得$ m+4=3 $,所以$ m=-1 $. 因为直线$ l_1:y=2x+1 $与直线$ l_2:y=mx+4 $相交于点$ P(1,3) $,所以方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$.
(2)因为$ l_1:y=2x+1 $,$ l_2:y=-x+4 $,所以$ A(-\dfrac{1}{2},0) $,$ B(4,0) $,所以$ AB=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2} $,所以$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· y_P=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4} $.
(3)直线$ x=a $与直线$ l_1 $的交点$ C $为$ (a,2a+1) $,与直线$ l_2 $的交点$ D $为$ (a,-a+4) $. 因为$ CD=2 $,所以$ |2a+1-(-a+4)|=2 $,即$ |3a-3|=2 $,所以$ 3a-3=2 $或$ 3a-3=-2 $,所以$ a=\dfrac{5}{3} $或$ \dfrac{1}{3} $.
(2)因为$ l_1:y=2x+1 $,$ l_2:y=-x+4 $,所以$ A(-\dfrac{1}{2},0) $,$ B(4,0) $,所以$ AB=4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2} $,所以$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· y_P=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4} $.
(3)直线$ x=a $与直线$ l_1 $的交点$ C $为$ (a,2a+1) $,与直线$ l_2 $的交点$ D $为$ (a,-a+4) $. 因为$ CD=2 $,所以$ |2a+1-(-a+4)|=2 $,即$ |3a-3|=2 $,所以$ 3a-3=2 $或$ 3a-3=-2 $,所以$ a=\dfrac{5}{3} $或$ \dfrac{1}{3} $.
解析
【分析】
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线l₁上，将点坐标代入l₁的解析式即可算出b；得到P点完整坐标后，再代入l₂的解析式就能求出m的值。二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，因此直接由P点坐标得到方程组的解。
(2) 求△ABP的面积，首先需要确定A、B两点的坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，分别令两个一次函数的y=0，解出x即可得到A、B的横坐标，进而算出AB的长度；△ABP的高就是点P到x轴的距离，也就是P点的纵坐标，最后用三角形面积公式计算即可。
(3) 垂直于x轴的直线x=a上的点横坐标都为a，分别代入两个直线解析式得到C、D两点的纵坐标，线段CD的长度就是两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程，分两种情况求解即可得到a的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 把点$ P(1,b) $代入$ y=2x+1 $，得$ b=2×1+1=3 $，所以$ P $点坐标为$ (1,3) $。
把$ P(1,3) $代入$ y=mx+4 $，得$ m+4=3 $，解得$ m=-1 $。
因为二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，直线$ l_1:y=2x+1 $与直线$ l_2:y=-x+4 $相交于点$ P(1,3) $，所以方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 对于直线$ l_1:y=2x+1 $，令$ y=0 $，即$ 2x+1=0 $，解得$ x=-\dfrac{1}{2} $，所以$ A $点坐标为$ (-\dfrac{1}{2},0) $；
对于直线$ l_2:y=-x+4 $，令$ y=0 $，即$ -x+4=0 $，解得$ x=4 $，所以$ B $点坐标为$ (4,0) $。
则$ AB $的长度为$ 4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2} $，点$ P $到$ x $轴的距离为$ P $点纵坐标3，
所以$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· y_P=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4} $。
(3) 直线$ x=a $与直线$ l_1 $的交点$ C $坐标为$ (a,2a+1) $，与直线$ l_2 $的交点$ D $坐标为$ (a,-a+4) $。
因为线段$ CD $的长为2，所以两点纵坐标差的绝对值为2，即$ |2a+1-(-a+4)|=2 $，
化简得$ |3a-3|=2 $，
分两种情况：
① $ 3a-3=2 $，解得$ a=\dfrac{5}{3} $；
② $ 3a-3=-2 $，解得$ a=\dfrac{1}{3} $。
综上，$ a $的值为$ \dfrac{5}{3} $或$ \dfrac{1}{3} $。
【答案】
(1) $ b=3 $，$ m=-1 $，方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$；
(2) $△ ABP$的面积为$\dfrac{27}{4}$；
(3) $a$的值为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$。
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 一次函数与坐标轴交点求解
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数综合基础题，将函数解析式求解、方程组与函数图象的关系、几何面积计算、线段长度与坐标的转化结合起来，解题的关键是理解一次函数图象交点的意义，计算时注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求b的值时，已知点P(1,b)在直线l₁上，将点坐标代入l₁的解析式即可算出b；得到P点完整坐标后，再代入l₂的解析式就能求出m的值。二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标，因此直接由P点坐标得到方程组的解。
(2) 求△ABP的面积，首先需要确定A、B两点的坐标：直线与x轴交点的纵坐标为0，分别令两个一次函数的y=0，解出x即可得到A、B的横坐标，进而算出AB的长度；△ABP的高就是点P到x轴的距离，也就是P点的纵坐标，最后用三角形面积公式计算即可。
(3) 垂直于x轴的直线x=a上的点横坐标都为a，分别代入两个直线解析式得到C、D两点的纵坐标，线段CD的长度就是两点纵坐标差的绝对值，据此列绝对值方程，分两种情况求解即可得到a的值，注意不要漏解。
【解析】
(1) 把点$ P(1,b) $代入$ y=2x+1 $，得$ b=2×1+1=3 $，所以$ P $点坐标为$ (1,3) $。
把$ P(1,3) $代入$ y=mx+4 $，得$ m+4=3 $，解得$ m=-1 $。
因为二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，直线$ l_1:y=2x+1 $与直线$ l_2:y=-x+4 $相交于点$ P(1,3) $，所以方程组$\begin{cases} 2x-y=-1, \\ mx-y=-4 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1, \\ y=3 \end{cases}$。
(2) 对于直线$ l_1:y=2x+1 $，令$ y=0 $，即$ 2x+1=0 $，解得$ x=-\dfrac{1}{2} $，所以$ A $点坐标为$ (-\dfrac{1}{2},0) $；
对于直线$ l_2:y=-x+4 $，令$ y=0 $，即$ -x+4=0 $，解得$ x=4 $，所以$ B $点坐标为$ (4,0) $。
则$ AB $的长度为$ 4-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{2} $，点$ P $到$ x $轴的距离为$ P $点纵坐标3，
所以$ S_{△ ABP}=\dfrac{1}{2}AB· y_P=\dfrac{1}{2}×\dfrac{9}{2}×3=\dfrac{27}{4} $。
(3) 直线$ x=a $与直线$ l_1 $的交点$ C $坐标为$ (a,2a+1) $，与直线$ l_2 $的交点$ D $坐标为$ (a,-a+4) $。
因为线段$ CD $的长为2，所以两点纵坐标差的绝对值为2，即$ |2a+1-(-a+4)|=2 $，
化简得$ |3a-3|=2 $，
分两种情况：
① $ 3a-3=2 $，解得$ a=\dfrac{5}{3} $；
② $ 3a-3=-2 $，解得$ a=\dfrac{1}{3} $。
综上，$ a $的值为$ \dfrac{5}{3} $或$ \dfrac{1}{3} $。
【答案】
(1) $ b=3 $，$ m=-1 $，方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$；
(2) $△ ABP$的面积为$\dfrac{27}{4}$；
(3) $a$的值为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{5}{3}$。
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 一次函数与坐标轴交点求解
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数综合基础题，将函数解析式求解、方程组与函数图象的关系、几何面积计算、线段长度与坐标的转化结合起来，解题的关键是理解一次函数图象交点的意义，计算时注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【难度系数】
0.6
5 思想方法 数形结合[较难]我们知道,二元一次方程有无数个解. 在平面直角坐标系中,我们标出以某个二元一次方程的解为坐标的点,就会发现这些点在同一条直线上.
例如:$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$是方程$x-y=-1$的一个解,对应点为$M(1,2)$. 如图所示,我们在平面直角坐标系中将其标出,该方程的其他解还对应点$(2,3)$,$(3,4)$……将这些点连起来,可以发现它们在同一条直线上,反过来,在这条直线上任取一点,这个点的坐标也是方程$x-y=-1$的解,所以我们把这条直线叫作方程$x-y=-1$的图象.
一般地,以二元一次方程的解为坐标的点连成的直线就叫这个方程的图象. 请解答下列问题:
(1)已知$A(1,1)$,$B(-3,4)$,$C(\dfrac{1}{2},2)$,则点
(2)求方程$2x+3y=9$和方程$3x-4y=5$图象的交点坐标.
(3)已知以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}5x+3y=20+7m, \\3x+4y=19-14m\end{cases}$的解为坐标的点在方程$x+y=5$的图象上,当$t＞m$时,化简$\sqrt{(-t-2)^2}-|1-7t|$.
例如:$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$是方程$x-y=-1$的一个解,对应点为$M(1,2)$. 如图所示,我们在平面直角坐标系中将其标出,该方程的其他解还对应点$(2,3)$,$(3,4)$……将这些点连起来,可以发现它们在同一条直线上,反过来,在这条直线上任取一点,这个点的坐标也是方程$x-y=-1$的解,所以我们把这条直线叫作方程$x-y=-1$的图象.
一般地,以二元一次方程的解为坐标的点连成的直线就叫这个方程的图象. 请解答下列问题:
(1)已知$A(1,1)$,$B(-3,4)$,$C(\dfrac{1}{2},2)$,则点
C
(填“A”或“B”或“C”)在方程$2x-y=-1$的图象上.(2)求方程$2x+3y=9$和方程$3x-4y=5$图象的交点坐标.
(3)已知以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}5x+3y=20+7m, \\3x+4y=19-14m\end{cases}$的解为坐标的点在方程$x+y=5$的图象上,当$t＞m$时,化简$\sqrt{(-t-2)^2}-|1-7t|$.
答案
5.【解】(1)因为$ 2×1-1=1≠-1 $,$ 2×(-3)-4=-10≠-1 $,$ 2×\dfrac{1}{2}-2=-1 $,所以点$ C $在方程$ 2x-y=-1 $的图象上. 故答案为 C.
(2)由$\begin{cases} 2x+3y=9, \\ 3x-4y=5 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$,所以方程$ 2x+3y=9 $和方程$ 3x-4y=5 $图象的交点坐标为$ (3,1) $.
(3)由$\begin{cases} 5x+3y=20+7m, \\ 3x+4y=19-14m \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=\dfrac{23+70m}{11}, \\ y=\dfrac{35-91m}{11} \end{cases}$.因为$ x+y=5 $,所以$ \dfrac{23+70m}{11}+\dfrac{35-91m}{11}=5 $,所以$ m=\dfrac{1}{7} $. 当$ t＞\dfrac{1}{7} $时,$ \sqrt{(-t-2)^2}-|1-7t|=t+2+1-7t=3-6t $.
(2)由$\begin{cases} 2x+3y=9, \\ 3x-4y=5 \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=3, \\ y=1 \end{cases}$,所以方程$ 2x+3y=9 $和方程$ 3x-4y=5 $图象的交点坐标为$ (3,1) $.
(3)由$\begin{cases} 5x+3y=20+7m, \\ 3x+4y=19-14m \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=\dfrac{23+70m}{11}, \\ y=\dfrac{35-91m}{11} \end{cases}$.因为$ x+y=5 $,所以$ \dfrac{23+70m}{11}+\dfrac{35-91m}{11}=5 $,所以$ m=\dfrac{1}{7} $. 当$ t＞\dfrac{1}{7} $时,$ \sqrt{(-t-2)^2}-|1-7t|=t+2+1-7t=3-6t $.
解析
【分析】
(1) 若点在二元一次方程的图象上，则点的坐标是该方程的解，满足方程，因此只需将三个点的坐标分别代入方程$2x-y=-1$的左侧，判断计算结果是否等于右侧的$-1$即可。
(2) 两个二元一次方程图象的交点坐标，就是同时满足这两个方程的$x$、$y$的值，也就是这两个方程联立组成的二元一次方程组的解，因此联立两个方程求解即可得到交点坐标。
(3) 首先解关于$x$、$y$的含参数$m$的方程组，用含$m$的代数式表示$x$和$y$，再根据点在方程$x+y=5$的图象上，将$x$、$y$代入该方程得到关于$m$的一元一次方程，求解得到$m$的值；再根据$t＞m$判断绝对值和二次根式内代数式的正负，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$以及绝对值的化简规则计算即可。
【解析】
(1) 分别将三个点代入方程$2x-y=-1$验证：
代入$A(1,1)$：左边$=2×1-1=1≠-1$，不满足方程；
代入$B(-3,4)$：左边$=2×(-3)-4=-10≠-1$，不满足方程；
代入$C(\dfrac{1}{2},2)$：左边$=2×\dfrac{1}{2}-2=-1$，满足方程，因此点$C$在方程$2x-y=-1$的图象上。
(2) 联立两个方程得到方程组：
$\begin{cases}2x+3y=9 ①\\3x-4y=5 ②\end{cases}$
①$×4$得：$8x+12y=36$ ③
②$×3$得：$9x-12y=15$ ④
③+④得：$17x=51$，解得$x=3$
把$x=3$代入①得：$2×3+3y=9$，解得$y=1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$，即两个方程图象的交点坐标为$(3,1)$。
(3) 解关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases}5x+3y=20+7m ①\\3x+4y=19-14m ②\end{cases}$
①$×4$得：$20x+12y=80+28m$ ③
②$×3$得：$9x+12y=57-42m$ ④
③-④得：$11x=23+70m$，解得$x=\dfrac{23+70m}{11}$
把$x=\dfrac{23+70m}{11}$代入①，解得$y=\dfrac{35-91m}{11}$
因为该解对应的点在方程$x+y=5$的图象上，所以：
$\dfrac{23+70m}{11}+\dfrac{35-91m}{11}=5$
化简得$58-21m=55$，解得$m=\dfrac{1}{7}$
已知$t＞\dfrac{1}{7}$，则$\sqrt{(-t-2)^2}=|-t-2|=t+2$，$|1-7t|=7t-1$，
因此原式$=(t+2)-(7t-1)=3-6t$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$
(2) $\boldsymbol{(3,1)}$
(3) $\boldsymbol{3-6t}$
【知识点】
二元一次方程的解，二元一次方程组与一次函数交点，二次根式与绝对值化简
【点评】
本题运用数形结合思想，将二元一次方程（组）与一次函数图象相结合，既考察了方程解的验证、方程组的求解，也结合了代数式化简的知识，综合性较强，需要理解方程解与函数图象上点的对应关系，才能顺利解题。
【难度系数】
0.6
(1) 若点在二元一次方程的图象上，则点的坐标是该方程的解，满足方程，因此只需将三个点的坐标分别代入方程$2x-y=-1$的左侧，判断计算结果是否等于右侧的$-1$即可。
(2) 两个二元一次方程图象的交点坐标，就是同时满足这两个方程的$x$、$y$的值，也就是这两个方程联立组成的二元一次方程组的解，因此联立两个方程求解即可得到交点坐标。
(3) 首先解关于$x$、$y$的含参数$m$的方程组，用含$m$的代数式表示$x$和$y$，再根据点在方程$x+y=5$的图象上，将$x$、$y$代入该方程得到关于$m$的一元一次方程，求解得到$m$的值；再根据$t＞m$判断绝对值和二次根式内代数式的正负，结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$以及绝对值的化简规则计算即可。
【解析】
(1) 分别将三个点代入方程$2x-y=-1$验证：
代入$A(1,1)$：左边$=2×1-1=1≠-1$，不满足方程；
代入$B(-3,4)$：左边$=2×(-3)-4=-10≠-1$，不满足方程；
代入$C(\dfrac{1}{2},2)$：左边$=2×\dfrac{1}{2}-2=-1$，满足方程，因此点$C$在方程$2x-y=-1$的图象上。
(2) 联立两个方程得到方程组：
$\begin{cases}2x+3y=9 ①\\3x-4y=5 ②\end{cases}$
①$×4$得：$8x+12y=36$ ③
②$×3$得：$9x-12y=15$ ④
③+④得：$17x=51$，解得$x=3$
把$x=3$代入①得：$2×3+3y=9$，解得$y=1$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$，即两个方程图象的交点坐标为$(3,1)$。
(3) 解关于$x$、$y$的方程组$\begin{cases}5x+3y=20+7m ①\\3x+4y=19-14m ②\end{cases}$
①$×4$得：$20x+12y=80+28m$ ③
②$×3$得：$9x+12y=57-42m$ ④
③-④得：$11x=23+70m$，解得$x=\dfrac{23+70m}{11}$
把$x=\dfrac{23+70m}{11}$代入①，解得$y=\dfrac{35-91m}{11}$
因为该解对应的点在方程$x+y=5$的图象上，所以：
$\dfrac{23+70m}{11}+\dfrac{35-91m}{11}=5$
化简得$58-21m=55$，解得$m=\dfrac{1}{7}$
已知$t＞\dfrac{1}{7}$，则$\sqrt{(-t-2)^2}=|-t-2|=t+2$，$|1-7t|=7t-1$，
因此原式$=(t+2)-(7t-1)=3-6t$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{C}$
(2) $\boldsymbol{(3,1)}$
(3) $\boldsymbol{3-6t}$
【知识点】
二元一次方程的解，二元一次方程组与一次函数交点，二次根式与绝对值化简
【点评】
本题运用数形结合思想，将二元一次方程（组）与一次函数图象相结合，既考察了方程解的验证、方程组的求解，也结合了代数式化简的知识，综合性较强，需要理解方程解与函数图象上点的对应关系，才能顺利解题。
【难度系数】
0.6
