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1. 如图所示,有一直角梯形的苗圃,它的两邻边借用了成$135°$的墙角(墙足够长),另外两边由总长为60 m的篱笆围成.
(1)苗圃的面积$y$(单位:$m^2$)是$BC$的长$x$(单位:m)的函数,求该函数的解析式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2)判断苗圃的面积能否达到$660\ m^2$,并说明理由.
(1)苗圃的面积$y$(单位:$m^2$)是$BC$的长$x$(单位:m)的函数,求该函数的解析式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2)判断苗圃的面积能否达到$660\ m^2$,并说明理由.
答案
(1) 过点 D 作$DE ⊥ AB$于点 E,$\therefore ∠ AED=∠ B=90°$.由题意,得$DC// AB$,$∠ B=90°$,$∠ ADC=135°$,$AB+BC=60\ \mathrm{m}$,$\therefore ∠ DAE=180°-∠ ADC=45°$,$DE// BC$. $\therefore AE=DE=BC=x\ \mathrm{m}$. $\therefore AB=(60-x)\ \mathrm{m}$. $\therefore DC=EB=AB-AE=(60-2x)\ \mathrm{m}$. $\therefore y=x(60-2x)+\frac{1}{2}x^2$. $\therefore y=-\frac{3}{2}x^2+60x(0＜x＜30)$.
(2) 苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$,理由如下:$\because y=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$,$\therefore$ 当$x=20$时,$y$取最大值,最大值是 600. $\therefore$ 苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$.
(2) 苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$,理由如下:$\because y=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$,$\therefore$ 当$x=20$时,$y$取最大值,最大值是 600. $\therefore$ 苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
(1) 要求面积关于x的函数，首先需要把直角梯形的各边长用含x的式子表示。已知墙角夹角为135°，梯形为直角梯形、∠B=90°，因此过D作DE⊥AB，可将梯形分为矩形BCDE和等腰直角三角形ADE：由∠ADC=135°可得∠A=45°，因此△ADE是等腰直角三角形，AE=DE=BC=x。再结合篱笆总长为60m，即AB+BC=60，可推出AB=60-x，进而求出上底DC的长度，最后根据面积公式列函数式，再根据边长为正的要求确定x的取值范围。
(2) 要判断面积能否达到660m²，只需求出该二次函数的最大值，将最大值和660比较即可：由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，若最大值小于660则无法达到，反之可以达到。
【解析】
(1) 过点 D 作$DE ⊥ AB$于点 E，$\therefore ∠ AED=∠ B=90°$。
由题意，得$DC// AB$，$∠ B=90°$，$∠ ADC=135°$，$AB+BC=60\ \mathrm{m}$，
$\therefore ∠ DAE=180°-∠ ADC=45°$，$DE// BC$，四边形BCDE为矩形。
$\therefore AE=DE=BC=x\ \mathrm{m}$，
$\because AB+BC=60\ \mathrm{m}$，$\therefore AB=(60-x)\ \mathrm{m}$，
$\therefore DC=EB=AB-AE=(60-x)-x=(60-2x)\ \mathrm{m}$。
苗圃面积为矩形BCDE面积与△ADE面积之和，因此：
$y=DC· BC+\frac{1}{2}· AE· DE=x(60-2x)+\frac{1}{2}x^2$，
整理得$y=-\frac{3}{2}x^2+60x$。
由边长为正可得：$x＞0$且$60-2x＞0$，解得$0＜x＜30$，即自变量取值范围是$0＜x＜30$。
(2) 苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x^2-40x)=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$，
$\because -\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=20$时，$y$取最大值，最大值是600。
$\because 600＜660$，因此苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x^2+60x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜30}$；
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形与二次函数知识考查实际应用问题，解题关键是通过构造辅助线，正确用含x的代数式表示出图形各边的长度，进而建立面积的函数表达式，再利用二次函数的性质解决最值判断问题，求解时需注意实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
(1) 要求面积关于x的函数，首先需要把直角梯形的各边长用含x的式子表示。已知墙角夹角为135°，梯形为直角梯形、∠B=90°，因此过D作DE⊥AB，可将梯形分为矩形BCDE和等腰直角三角形ADE：由∠ADC=135°可得∠A=45°，因此△ADE是等腰直角三角形，AE=DE=BC=x。再结合篱笆总长为60m，即AB+BC=60，可推出AB=60-x，进而求出上底DC的长度，最后根据面积公式列函数式，再根据边长为正的要求确定x的取值范围。
(2) 要判断面积能否达到660m²，只需求出该二次函数的最大值，将最大值和660比较即可：由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，若最大值小于660则无法达到，反之可以达到。
【解析】
(1) 过点 D 作$DE ⊥ AB$于点 E，$\therefore ∠ AED=∠ B=90°$。
由题意，得$DC// AB$，$∠ B=90°$，$∠ ADC=135°$，$AB+BC=60\ \mathrm{m}$，
$\therefore ∠ DAE=180°-∠ ADC=45°$，$DE// BC$，四边形BCDE为矩形。
$\therefore AE=DE=BC=x\ \mathrm{m}$，
$\because AB+BC=60\ \mathrm{m}$，$\therefore AB=(60-x)\ \mathrm{m}$，
$\therefore DC=EB=AB-AE=(60-x)-x=(60-2x)\ \mathrm{m}$。
苗圃面积为矩形BCDE面积与△ADE面积之和，因此：
$y=DC· BC+\frac{1}{2}· AE· DE=x(60-2x)+\frac{1}{2}x^2$，
整理得$y=-\frac{3}{2}x^2+60x$。
由边长为正可得：$x＞0$且$60-2x＞0$，解得$0＜x＜30$，即自变量取值范围是$0＜x＜30$。
(2) 苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$，理由如下：
将函数解析式配方得：
$y=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x^2-40x)=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$，
$\because -\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=20$时，$y$取最大值，最大值是600。
$\because 600＜660$，因此苗圃的面积不可能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 函数解析式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{2}x^2+60x}$，自变量x的取值范围是$\boldsymbol{0＜x＜30}$；
(2) 苗圃的面积不能达到$660\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
二次函数的实际应用，等腰直角三角形的性质，二次函数的最值
【点评】
本题结合几何图形与二次函数知识考查实际应用问题，解题关键是通过构造辅助线，正确用含x的代数式表示出图形各边的长度，进而建立面积的函数表达式，再利用二次函数的性质解决最值判断问题，求解时需注意实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.6
2.(郑州登封市一模)射水鱼以陆生昆虫为食.它在捕食时,能从口中射出一股水流,准确击中2 m以内的昆虫.如果不考虑空气阻力,那么射水鱼射出的水流可以看成一条抛物线的一部分(如图).在一次捕食时,射水鱼射出的水流向上运动的高度$y$(单位:cm)与向前运动的水平距离$x$(单位:cm)的关系可以近似地表示为$y=-0.1x^2 +4x$.根据这一关系回答下列问题:
(1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物,它运动的高度逐步上升时,水流向前运动的水平距离$x$的范围是
(2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20 cm,高度50 cm处,那么这次射出的水流能否击中这只昆虫?
(3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30 cm高度,并沿水平直线飞行,那么这次射出的水流要击中这只昆虫,可能在射水鱼正前方多远处?
(1)如果这次射出的水流没有遇到障碍物,它运动的高度逐步上升时,水流向前运动的水平距离$x$的范围是
0≤x≤20
,它运动的高度逐步下降时,水流向前运动的水平距离$x$的范围是20≤x≤40
;(2)假设要捕食的昆虫位于射水鱼正前方水平距离20 cm,高度50 cm处,那么这次射出的水流能否击中这只昆虫?
(3)假设捕食的昆虫位于射水鱼正前方30 cm高度,并沿水平直线飞行,那么这次射出的水流要击中这只昆虫,可能在射水鱼正前方多远处?
答案
(1) $0≤ x≤ 20$; $20≤ x≤ 40$
(2) 当$x=20$时,$y=-0.1× 20^2+4× 20=40＜50$. $\therefore$ 这次射出的水流不能击中这只昆虫.
(3) 当$y=30$时,$30=-0.1x^2+4x$,解得$x_1=10$,$x_2=30$. $\therefore$ 这次射出的水流要击中这只昆虫,可能在射水鱼正前方 10 cm 或 30 cm 处.
(2) 当$x=20$时,$y=-0.1× 20^2+4× 20=40＜50$. $\therefore$ 这次射出的水流不能击中这只昆虫.
(3) 当$y=30$时,$30=-0.1x^2+4x$,解得$x_1=10$,$x_2=30$. $\therefore$ 这次射出的水流要击中这只昆虫,可能在射水鱼正前方 10 cm 或 30 cm 处.
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：(1)要确定水流上升、下降时x的范围，首先明确二次函数的开口方向，求出对称轴，再结合实际意义确定x的取值边界（水流落地时y=0），根据二次函数增减性即可得到对应范围；(2)判断能否击中昆虫，只需将昆虫的水平距离x=20代入函数解析式，计算对应y值，和昆虫高度50cm比较大小即可；(3)要找击中高度30cm的昆虫时的水平距离，只需令y=30，解一元二次方程，取符合实际意义的正根即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-0.1x^2+4x$，其中$a=-0.1＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-0.1)}=20$，
当水流落地时$y=0$，代入得$0=-0.1x^2+4x$，解得$x_1=0$，$x_2=40$，即x的取值范围为$0≤ x≤40$。
根据二次函数增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，
因此高度上升时x的范围是$0≤ x≤20$，高度下降时x的范围是$20≤ x≤40$。
(2) 将水平距离$x=20$代入函数解析式：
$y=-0.1×20^2+4×20=40\mathrm{cm}$，
因为$40＜50$，即水流在水平距离20cm处的高度低于昆虫高度，所以不能击中昆虫。
(3) 令水流高度$y=30$，代入解析式得：
$30=-0.1x^2+4x$，
整理为标准一元二次方程：$x^2-40x+300=0$，
因式分解得$(x-10)(x-30)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=30$，两个值均符合实际意义，因此击中位置为正前方10cm或30cm处。
【答案】
(1) $0≤ x≤ 20$；$20≤ x≤ 40$
(2) 这次射出的水流不能击中这只昆虫
(3) 可能在射水鱼正前方10 cm 或 30 cm 处
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数代入求值，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合射水鱼捕食的生活场景考察二次函数的相关应用，难度较低，解题的关键是掌握二次函数的基本性质，理解函数值和自变量的对应关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.75
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：(1)要确定水流上升、下降时x的范围，首先明确二次函数的开口方向，求出对称轴，再结合实际意义确定x的取值边界（水流落地时y=0），根据二次函数增减性即可得到对应范围；(2)判断能否击中昆虫，只需将昆虫的水平距离x=20代入函数解析式，计算对应y值，和昆虫高度50cm比较大小即可；(3)要找击中高度30cm的昆虫时的水平距离，只需令y=30，解一元二次方程，取符合实际意义的正根即可。
【解析】
(1) 对于二次函数$y=-0.1x^2+4x$，其中$a=-0.1＜0$，抛物线开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×(-0.1)}=20$，
当水流落地时$y=0$，代入得$0=-0.1x^2+4x$，解得$x_1=0$，$x_2=40$，即x的取值范围为$0≤ x≤40$。
根据二次函数增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小，
因此高度上升时x的范围是$0≤ x≤20$，高度下降时x的范围是$20≤ x≤40$。
(2) 将水平距离$x=20$代入函数解析式：
$y=-0.1×20^2+4×20=40\mathrm{cm}$，
因为$40＜50$，即水流在水平距离20cm处的高度低于昆虫高度，所以不能击中昆虫。
(3) 令水流高度$y=30$，代入解析式得：
$30=-0.1x^2+4x$，
整理为标准一元二次方程：$x^2-40x+300=0$，
因式分解得$(x-10)(x-30)=0$，
解得$x_1=10$，$x_2=30$，两个值均符合实际意义，因此击中位置为正前方10cm或30cm处。
【答案】
(1) $0≤ x≤ 20$；$20≤ x≤ 40$
(2) 这次射出的水流不能击中这只昆虫
(3) 可能在射水鱼正前方10 cm 或 30 cm 处
【知识点】
二次函数的增减性，二次函数代入求值，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合射水鱼捕食的生活场景考察二次函数的相关应用，难度较低，解题的关键是掌握二次函数的基本性质，理解函数值和自变量的对应关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.75
3.(河南中考)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度$h$(m)满足关系式$h=-5t^2 + v_0t$,其中$t$(s)是物体运动的时间,$v_0$(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后
(2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度;
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
(1)小球被发射后
$\frac{v_0}{10}$
s时离地面的高度最大(用含$v_0$的式子表示);(2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度;
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
答案
(1) $\frac{v_0}{10}$
(2) 由题意,得当$t=\frac{v_0}{10}$时,$h=20$,$\therefore -5×(\frac{v_0}{10})^2+v_0×\frac{v_0}{10}=20$,解得$v_0=20$(取正值).答:小球被发射时的速度是 20 m/s.
(3) 小明的说法不正确,理由如下:由(2)得,$h=-5t^2+20t$. 当$h=15$时,$15=-5t^2+20t$,解得$t_1=1$,$t_2=3$. $\because 3-1=2(\mathrm{s})$,$\therefore$ 小明的说法不正确.
(2) 由题意,得当$t=\frac{v_0}{10}$时,$h=20$,$\therefore -5×(\frac{v_0}{10})^2+v_0×\frac{v_0}{10}=20$,解得$v_0=20$(取正值).答:小球被发射时的速度是 20 m/s.
(3) 小明的说法不正确,理由如下:由(2)得,$h=-5t^2+20t$. 当$h=15$时,$15=-5t^2+20t$,解得$t_1=1$,$t_2=3$. $\because 3-1=2(\mathrm{s})$,$\therefore$ 小明的说法不正确.
解析
【分析】
(1) 高度$h$是关于时间$t$的二次函数，二次项系数为$-5＜0$，函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$即可求出对应时间；
(2) 最大高度是二次函数顶点的纵坐标，将第(1)问求出的时间$t$代入高度关系式，令$h=20$解方程即可求出$v_0$，注意速度为正数，需舍去负根；
(3) 先将(2)中求出的$v_0$代入$h$的表达式，令$h=15$，解一元二次方程得到两个对应的时间$t$，计算两个时间的差值与3s比较，即可判断小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 对于二次函数$h=-5t^2+v_0t$，其中$a=-5$，$b=v_0$，
$\because a=-5＜0$，函数图象开口向下，顶点处$h$取最大值，
$\therefore t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$。
(2) 由题意得当$t=\frac{v_0}{10}$时，$h=20$，代入关系式得：
$-5×(\frac{v_0}{10})^2+v_0×\frac{v_0}{10}=20$
整理得$\frac{v_0^2}{20}=20$，即$v_0^2=400$，
解得$v_0=20$（速度为正，舍去负根）。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
由(2)得$v_0=20$，$\therefore$高度关系式为$h=-5t^2+20t$，
令$h=15$，得$15=-5t^2+20t$，
整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解得$(t-1)(t-3)=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=3$，
两次间隔时间为$3-1=2\mathrm{s}≠3\mathrm{s}$，故小明说法错误。
【答案】
(1) $\frac{v_0}{10}$
(2) 小球被发射时的速度是20 m/s
(3) 小明的说法不正确，两次间隔时间为2s
【知识点】
二次函数的最值，解一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题结合竖直上抛运动的生活情境，考查二次函数性质与一元二次方程的综合应用，解题核心是明确二次函数最值对应顶点坐标，求对应高度的时间时需将高度代入解析式解方程，同时要注意实际问题中物理量的取值合理性。
【难度系数】
0.7
(1) 高度$h$是关于时间$t$的二次函数，二次项系数为$-5＜0$，函数图象开口向下，顶点处$h$取得最大值，利用二次函数顶点横坐标公式$t=-\frac{b}{2a}$即可求出对应时间；
(2) 最大高度是二次函数顶点的纵坐标，将第(1)问求出的时间$t$代入高度关系式，令$h=20$解方程即可求出$v_0$，注意速度为正数，需舍去负根；
(3) 先将(2)中求出的$v_0$代入$h$的表达式，令$h=15$，解一元二次方程得到两个对应的时间$t$，计算两个时间的差值与3s比较，即可判断小明的说法是否正确。
【解析】
(1) 对于二次函数$h=-5t^2+v_0t$，其中$a=-5$，$b=v_0$，
$\because a=-5＜0$，函数图象开口向下，顶点处$h$取最大值，
$\therefore t=-\frac{b}{2a}=-\frac{v_0}{2×(-5)}=\frac{v_0}{10}$。
(2) 由题意得当$t=\frac{v_0}{10}$时，$h=20$，代入关系式得：
$-5×(\frac{v_0}{10})^2+v_0×\frac{v_0}{10}=20$
整理得$\frac{v_0^2}{20}=20$，即$v_0^2=400$，
解得$v_0=20$（速度为正，舍去负根）。
(3) 小明的说法不正确，理由如下：
由(2)得$v_0=20$，$\therefore$高度关系式为$h=-5t^2+20t$，
令$h=15$，得$15=-5t^2+20t$，
整理得$t^2-4t+3=0$，因式分解得$(t-1)(t-3)=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=3$，
两次间隔时间为$3-1=2\mathrm{s}≠3\mathrm{s}$，故小明说法错误。
【答案】
(1) $\frac{v_0}{10}$
(2) 小球被发射时的速度是20 m/s
(3) 小明的说法不正确，两次间隔时间为2s
【知识点】
二次函数的最值，解一元二次方程，二次函数实际应用
【点评】
本题结合竖直上抛运动的生活情境，考查二次函数性质与一元二次方程的综合应用，解题核心是明确二次函数最值对应顶点坐标，求对应高度的时间时需将高度代入解析式解方程，同时要注意实际问题中物理量的取值合理性。
【难度系数】
0.7
