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1.(甘肃中考)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的关系式是$y=-x^2 + 2x + \frac{7}{4}(x＞0)$,则水流喷出的最大高度是 (
A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
B
)A.3 m
B.2.75 m
C.2 m
D.1.75 m
答案
1.B
解析
【分析】
本题要求水流喷出的最大高度，实际是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点的纵坐标即可得到结果。
【解析】
解法一：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
∵ 二次项系数$-1＜0$，
∴ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
解法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题的关键是将实际问题的最值转化为二次函数的顶点纵坐标求解，熟练掌握二次函数最值的计算方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题要求水流喷出的最大高度，实际是求给定二次函数的最大值。首先观察二次函数解析式，二次项系数为-1＜0，抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者顶点坐标公式计算顶点的纵坐标即可得到结果。
【解析】
解法一：配方法
对函数解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x)+\frac{7}{4}\\&=-(x^2-2x+1-1)+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2 +1+\frac{7}{4}\\&=-(x-1)^2+\frac{11}{4}\end{aligned}$
∵ 二次项系数$-1＜0$，
∴ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$。
解法二：顶点坐标公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1$，$b=2$，$c=\frac{7}{4}$，代入得：
$y_{\mathrm{max}}=\frac{4×(-1)×\frac{7}{4} - 2^2}{4×(-1)}=\frac{-7-4}{-4}=\frac{11}{4}=2.75\ \mathrm{m}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值计算；配方法
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，解题的关键是将实际问题的最值转化为二次函数的顶点纵坐标求解，熟练掌握二次函数最值的计算方法是解题的核心。
【难度系数】
0.8
2.烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度$h(\mathrm{m})$与飞行时间$t(\mathrm{s})$的关系式是$h=-\frac{2}{3}t^2 +8t$。若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
D
）A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
答案
2.D
解析
【分析】
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，礼炮升空到最高点时对应二次函数的最大值点。首先观察给出的高度h与时间t的关系式是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点即为最大值点，因此要求点火到引爆的时间，只需要求出该二次函数顶点的横坐标（即对称轴对应的t值）即可，可直接使用二次函数对称轴公式求解。
【解析】
已知礼炮升空高度与飞行时间的关系式为$h=-\frac{2}{3}t^2 +8t$，这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-\frac{2}{3}$，一次项系数$b=8$。
因为$a=-\frac{2}{3}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，即此时礼炮到达最高点。
根据二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\frac{8}{2×(-\frac{2}{3})}=-\frac{8}{-\frac{4}{3}}=8×\frac{3}{4}=6(\mathrm{s})$
因此从点火升空到引爆需要的时间为6s，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数图像性质；二次函数最值计算
【点评】
本题结合礼炮升空的生活场景考查二次函数最值的应用，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的顶点问题，熟练掌握二次函数对称轴公式即可快速求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在实际生活中的应用问题，礼炮升空到最高点时对应二次函数的最大值点。首先观察给出的高度h与时间t的关系式是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点即为最大值点，因此要求点火到引爆的时间，只需要求出该二次函数顶点的横坐标（即对称轴对应的t值）即可，可直接使用二次函数对称轴公式求解。
【解析】
已知礼炮升空高度与飞行时间的关系式为$h=-\frac{2}{3}t^2 +8t$，这是一个二次函数，其中二次项系数$a=-\frac{2}{3}$，一次项系数$b=8$。
因为$a=-\frac{2}{3}＜0$，所以抛物线开口向下，顶点处h取得最大值，即此时礼炮到达最高点。
根据二次函数对称轴公式$t=-\frac{b}{2a}$，代入数值计算：
$t=-\frac{8}{2×(-\frac{2}{3})}=-\frac{8}{-\frac{4}{3}}=8×\frac{3}{4}=6(\mathrm{s})$
因此从点火升空到引爆需要的时间为6s，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数图像性质；二次函数最值计算
【点评】
本题结合礼炮升空的生活场景考查二次函数最值的应用，解题核心是将实际问题中的“最高点”转化为二次函数的顶点问题，熟练掌握二次函数对称轴公式即可快速求解，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
3.已知一个直角三角形两直角边长之和为16 cm，
则这个直角三角形的最大面积为
则这个直角三角形的最大面积为
32
cm²。答案
3. 32
解析
【分析】
要解决这个直角三角形的最大面积问题，我们可以按以下思路思考：首先，直角三角形的面积公式为两直角边乘积的一半，已知两直角边之和为16cm，我们可以设其中一条直角边为未知数，用含未知数的式子表示另一条直角边，进而写出面积关于边长的函数关系式；由于得到的是二次函数，根据二次函数的性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，代入计算即可得到最大面积，同时要注意边长的取值范围需符合实际意义。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (16 - x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 16 $。
根据直角三角形面积公式，可得面积$ S $的表达式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(16 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 8x\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a=-\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此该函数有最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{1}{2} $、$ b=8 $可得：
$x=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8$
$ x=8 $在$ 0 ＜ x ＜ 16 $的范围内，符合实际意义，将$ x=8 $代入面积公式：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×8×(16-8)=32 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
32
【知识点】
二次函数最值应用；直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题的核心是根据面积公式建立正确的二次函数关系式，再结合二次函数的性质求解最大值，解题时需注意验证自变量取值是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
要解决这个直角三角形的最大面积问题，我们可以按以下思路思考：首先，直角三角形的面积公式为两直角边乘积的一半，已知两直角边之和为16cm，我们可以设其中一条直角边为未知数，用含未知数的式子表示另一条直角边，进而写出面积关于边长的函数关系式；由于得到的是二次函数，根据二次函数的性质，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，代入计算即可得到最大面积，同时要注意边长的取值范围需符合实际意义。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一条直角边长为$ (16 - x) \, \mathrm{cm} $，其中$ 0 ＜ x ＜ 16 $。
根据直角三角形面积公式，可得面积$ S $的表达式：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}x(16 - x)\\&=-\frac{1}{2}x^2 + 8x\end{aligned}$
这是一个二次函数，其中二次项系数$ a=-\frac{1}{2} ＜ 0 $，因此该函数有最大值。
对于二次函数$ y=ax^2+bx+c $，顶点横坐标为$ x=-\frac{b}{2a} $，代入$ a=-\frac{1}{2} $、$ b=8 $可得：
$x=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8$
$ x=8 $在$ 0 ＜ x ＜ 16 $的范围内，符合实际意义，将$ x=8 $代入面积公式：
$S_{\mathrm{max}}=\frac{1}{2}×8×(16-8)=32 \, \mathrm{cm}^2$
【答案】
32
【知识点】
二次函数最值应用；直角三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的基础题型，解题的核心是根据面积公式建立正确的二次函数关系式，再结合二次函数的性质求解最大值，解题时需注意验证自变量取值是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
4.某县在治理违建的过程中，拆除了某小区的自建房，改建绿地.如图，自建房占地是边长为20 m的正方形ABCD，改建的绿地是矩形AEFG，点E在AB上，点G在AD的延长线上，且DG=2BE.如果设BE的长为x(单位:m)，绿地AEFG的面积为y(单位:m²)，那么y与x的函数解析式为
$y=-2x^2+20x+400(0＜x＜20)$
，当BE=5
m时，绿地AEFG的面积最大，最大值为450
m².答案
4. $y=-2x^2+20x+400(0＜x＜20)$，当BE=5 m时，绿地AEFG的面积最大，最大值为450 m²
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据正方形边长及BE的长度表示出矩形AEFG的长和宽：AE为AB减去BE，AG为AD加上DG（已知DG=2BE）；再利用矩形面积公式列出y与x的函数关系式；最后结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，通过顶点坐标公式求出最值对应的x值和最大面积，同时注意自变量x的取值范围需符合实际几何意义。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为20m，
∴$AB=AD=20\mathrm{m}$，
设BE的长为$x\mathrm{m}$（$0＜x＜20$），则$AE=AB-BE=(20-x)\mathrm{m}$，
∵$DG=2BE$，
∴$DG=2x\mathrm{m}$，$AG=AD+DG=(20+2x)\mathrm{m}$，
∵四边形AEFG是矩形，
∴面积$y=AE·AG=(20-x)(20+2x)$，
展开得：$y=-2x^2+20x+400$（$0＜x＜20$）；
该函数是二次函数，且$a=-2＜0$，图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，
代入$a=-2$，$b=20$，得$x=-\frac{20}{2×(-2)}=5$，
将$x=5$代入函数解析式，得$y=-2×5^2+20×5+400=450$。
【答案】
$y=-2x^2+20x+400(0＜x＜20)$；5；450
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活中的绿地改建场景，考查了二次函数在几何面积最值问题中的应用，解题的核心是准确根据图形的边长关系列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，需注意自变量的取值范围要符合实际情况。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据正方形边长及BE的长度表示出矩形AEFG的长和宽：AE为AB减去BE，AG为AD加上DG（已知DG=2BE）；再利用矩形面积公式列出y与x的函数关系式；最后结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值，通过顶点坐标公式求出最值对应的x值和最大面积，同时注意自变量x的取值范围需符合实际几何意义。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为20m，
∴$AB=AD=20\mathrm{m}$，
设BE的长为$x\mathrm{m}$（$0＜x＜20$），则$AE=AB-BE=(20-x)\mathrm{m}$，
∵$DG=2BE$，
∴$DG=2x\mathrm{m}$，$AG=AD+DG=(20+2x)\mathrm{m}$，
∵四边形AEFG是矩形，
∴面积$y=AE·AG=(20-x)(20+2x)$，
展开得：$y=-2x^2+20x+400$（$0＜x＜20$）；
该函数是二次函数，且$a=-2＜0$，图象开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，
代入$a=-2$，$b=20$，得$x=-\frac{20}{2×(-2)}=5$，
将$x=5$代入函数解析式，得$y=-2×5^2+20×5+400=450$。
【答案】
$y=-2x^2+20x+400(0＜x＜20)$；5；450
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；矩形面积计算
【点评】
本题结合实际生活中的绿地改建场景，考查了二次函数在几何面积最值问题中的应用，解题的核心是准确根据图形的边长关系列出函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，需注意自变量的取值范围要符合实际情况。
【难度系数】
0.7
5.用长6 m的铝合金条制成“日”字型矩形窗户，使窗户的透光面积最大（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是（
A.$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}^2$
B.$1\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$
D.$3\ \mathrm{m}^2$
C
）A.$\frac{2}{3}\ \mathrm{m}^2$
B.$1\ \mathrm{m}^2$
C.$\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$
D.$3\ \mathrm{m}^2$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求实际最大面积的问题，解题思路如下：1. 先观察“日”字型窗框的结构，明确铝合金条总长对应3条横向边长加2条纵向边长的和；2. 设合适的自变量，用含自变量的代数式表示出另一边长，注意自变量的取值范围要符合实际意义；3. 根据矩形面积公式写出面积关于自变量的函数表达式，判断为二次函数；4. 利用开口向下的二次函数在顶点处取最大值的性质，代入计算得到最大面积即可。
【解析】
解：设窗户的横向边长为$x\ \mathrm{m}$（$0＜x＜2$），
由铝合金总长为$6\ \mathrm{m}$，可知2条纵向边长的和为$6-3x$，因此纵向边长为$\frac{6-3x}{2}\ \mathrm{m}$。
窗户的透光面积为横向边长乘纵向边长，即：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{6-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2+3x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{3}{2})}=1$，在$0＜x＜2$的取值范围内。
将$x=1$代入面积公式，得最大值$S=-\frac{3}{2}×1^2+3×1=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值计算、矩形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是结合图形的周长关系建立面积的二次函数模型，求解最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求实际最大面积的问题，解题思路如下：1. 先观察“日”字型窗框的结构，明确铝合金条总长对应3条横向边长加2条纵向边长的和；2. 设合适的自变量，用含自变量的代数式表示出另一边长，注意自变量的取值范围要符合实际意义；3. 根据矩形面积公式写出面积关于自变量的函数表达式，判断为二次函数；4. 利用开口向下的二次函数在顶点处取最大值的性质，代入计算得到最大面积即可。
【解析】
解：设窗户的横向边长为$x\ \mathrm{m}$（$0＜x＜2$），
由铝合金总长为$6\ \mathrm{m}$，可知2条纵向边长的和为$6-3x$，因此纵向边长为$\frac{6-3x}{2}\ \mathrm{m}$。
窗户的透光面积为横向边长乘纵向边长，即：
$\begin{aligned}S&=x·\frac{6-3x}{2}\\&=-\frac{3}{2}x^2+3x\end{aligned}$
该二次函数中$a=-\frac{3}{2}＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{3}{2})}=1$，在$0＜x＜2$的取值范围内。
将$x=1$代入面积公式，得最大值$S=-\frac{3}{2}×1^2+3×1=\frac{3}{2}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数最值计算、矩形面积计算
【点评】
本题是利用二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题的核心是结合图形的周长关系建立面积的二次函数模型，求解最值时要注意验证自变量的取值是否符合实际意义，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
6.(郑州期末)如图，$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则$△ APQ$的最大面积是（
A.$8\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
B
）A.$8\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$24\ \mathrm{cm}^2$
D.$32\ \mathrm{cm}^2$
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道动点面积最值问题，可按以下思路思考：第一步，设运动时间为t，先根据两个动点的运动速度和对应边长，确定t的取值范围（需遵循“一个动点到终点即停止”的规则，取两个动点运动总时长的较小值）；第二步，结合∠A=90°的条件，可知△APQ是直角三角形，面积等于两条直角边乘积的一半，将两条直角边AP、AQ用含t的代数式表示，即可得到面积关于t的函数关系式；第三步，结合函数的增减性和t的取值范围，求出面积的最大值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，根据题意可得：
$ AP = 2t\ \mathrm{cm} $，$ AQ = t\ \mathrm{cm} $
先确定t的取值范围：
点P从A到B的总时长：$ 8÷2=4\ \mathrm{s} $
点Q从A到C的总时长：$ 6÷1=6\ \mathrm{s} $
因一个动点到终点则另一个停止，故$ 0≤ t≤4 $。
已知$ ∠ A=90° $，则△APQ的面积：
$ S=\frac{1}{2}× AP× AQ=\frac{1}{2}×2t× t = t^2 $
函数$ S=t^2 $在$ t≥0 $时随t的增大而增大，因此当$ t=4 $时，S取得最大值：
$ S_{\mathrm{最大}}=4^2=16\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，动点面积计算，三角形面积公式
【点评】
本题属于动点结合函数最值的基础题型，解题的核心是先根据运动规律表示出相关线段的长度，结合面积公式构建函数关系，尤其要注意根据运动停止的条件准确确定自变量的取值范围，避免因取值范围错误导致最值计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道动点面积最值问题，可按以下思路思考：第一步，设运动时间为t，先根据两个动点的运动速度和对应边长，确定t的取值范围（需遵循“一个动点到终点即停止”的规则，取两个动点运动总时长的较小值）；第二步，结合∠A=90°的条件，可知△APQ是直角三角形，面积等于两条直角边乘积的一半，将两条直角边AP、AQ用含t的代数式表示，即可得到面积关于t的函数关系式；第三步，结合函数的增减性和t的取值范围，求出面积的最大值即可。
【解析】
设运动时间为$ t\ \mathrm{s} $，根据题意可得：
$ AP = 2t\ \mathrm{cm} $，$ AQ = t\ \mathrm{cm} $
先确定t的取值范围：
点P从A到B的总时长：$ 8÷2=4\ \mathrm{s} $
点Q从A到C的总时长：$ 6÷1=6\ \mathrm{s} $
因一个动点到终点则另一个停止，故$ 0≤ t≤4 $。
已知$ ∠ A=90° $，则△APQ的面积：
$ S=\frac{1}{2}× AP× AQ=\frac{1}{2}×2t× t = t^2 $
函数$ S=t^2 $在$ t≥0 $时随t的增大而增大，因此当$ t=4 $时，S取得最大值：
$ S_{\mathrm{最大}}=4^2=16\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值，动点面积计算，三角形面积公式
【点评】
本题属于动点结合函数最值的基础题型，解题的核心是先根据运动规律表示出相关线段的长度，结合面积公式构建函数关系，尤其要注意根据运动停止的条件准确确定自变量的取值范围，避免因取值范围错误导致最值计算失误。
【难度系数】
0.7
7.如图,四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,且AC+BD=20 cm.设AC的长度为x(单位:cm),这个四边形的面积S(单位:cm²)随x的变化而变化.
(1)请写出S与x之间的函数解析式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当x为何值时,S最大,最大值是多少?
(1)请写出S与x之间的函数解析式;(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当x为何值时,S最大,最大值是多少?
答案
7.解:(1)AC的长度为x cm,则BD=(20-x)cm.
∴$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x$.
(2)$S=-\frac{1}{2}x^2+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$. $\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当$x=10$时,S有最大值,最大值为50.因此,当$x$为10 cm时,S最大,最大值是50 $\mathrm{cm}^2$.
∴$S=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x$.
(2)$S=-\frac{1}{2}x^2+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$. $\because -\frac{1}{2}＜0,\therefore$ 当$x=10$时,S有最大值,最大值为50.因此,当$x$为10 cm时,S最大,最大值是50 $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）要推导S与x的函数解析式，首先明确对角线互相垂直的四边形面积公式为两条对角线乘积的一半。已知AC长度为x，结合AC+BD=20可表示出BD的长度，将二者代入面积公式即可得到函数式。
（2）求S的最大值时，观察得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，顶点处即为最大值点，通过配方法将函数化为顶点式，即可求出对应的x值和S的最大值。
【解析】
(1) 已知AC的长度为x cm，由AC+BD=20 cm，可得BD=(20-x)cm。
因为四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，所以四边形面积$S=\frac{1}{2}AC·BD$，代入得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x$。
(2) 对S的解析式进行配方：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当x=10时，S取得最大值，最大值为50 $\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+10x$；
(2) 当x为10 cm时，S最大，最大值是50 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算、二次函数解析式、二次函数最值
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础应用题型，解题核心是先通过几何性质得到面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能帮助学生理解函数在几何问题中的实际应用。
【难度系数】
0.7
（1）要推导S与x的函数解析式，首先明确对角线互相垂直的四边形面积公式为两条对角线乘积的一半。已知AC长度为x，结合AC+BD=20可表示出BD的长度，将二者代入面积公式即可得到函数式。
（2）求S的最大值时，观察得到的函数是二次函数，且二次项系数为负，图象开口向下，顶点处即为最大值点，通过配方法将函数化为顶点式，即可求出对应的x值和S的最大值。
【解析】
(1) 已知AC的长度为x cm，由AC+BD=20 cm，可得BD=(20-x)cm。
因为四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，所以四边形面积$S=\frac{1}{2}AC·BD$，代入得：
$S=\frac{1}{2}x(20-x)=-\frac{1}{2}x^2+10x$。
(2) 对S的解析式进行配方：
$S=-\frac{1}{2}x^2+10x=-\frac{1}{2}(x-10)^2+50$
$\because$ 二次项系数$-\frac{1}{2}＜0$，$\therefore$ 该二次函数图象开口向下，当x=10时，S取得最大值，最大值为50 $\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=-\frac{1}{2}x^2+10x$；
(2) 当x为10 cm时，S最大，最大值是50 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
对角线垂直四边形面积计算、二次函数解析式、二次函数最值
【点评】
本题属于代数与几何结合的基础应用题型，解题核心是先通过几何性质得到面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，能帮助学生理解函数在几何问题中的实际应用。
【难度系数】
0.7
