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【例】二次函数 $ y=ax^2+bx+c(a≠0) $ 的图象如图所示，对称轴是 $ x=1 $，根据函数图象用“＞”“＜”“≥”“≤”或“=”填空。
(1)根据函数图象判断 $ a,b,c $ 类：
① $ a $
(2)$ b^2-4ac $ 类：
② $ b^2-4ac $
(3)$ -\frac{b}{2a}, 2a+b $ 类：
③ $ -\frac{b}{2a} $
(4)当 $ x=±1,±2 $ 类：
⑤ $ a+b+c $
⑥ $ 4a+2b+c $
(5)最值：
⑦ $ a+b+c $
(1)根据函数图象判断 $ a,b,c $ 类：
① $ a $
＜
$ 0, b $ ＞
$ 0, c $ ＞
$ 0 $。(2)$ b^2-4ac $ 类：
② $ b^2-4ac $
＞
$ 0 $。(3)$ -\frac{b}{2a}, 2a+b $ 类：
③ $ -\frac{b}{2a} $
＞
$ 0 $; ④ $ 2a+b $ =
$ 0 $。(4)当 $ x=±1,±2 $ 类：
⑤ $ a+b+c $
＞
$ 0, a-b+c $ ＜
$ 0 $。⑥ $ 4a+2b+c $
＞
$ 0, 4a-2b+c $ ＜
$ 0 $。(5)最值：
⑦ $ a+b+c $
≥
$ am^2+bm+c $（$ m $ 为任意实数）答案
①＜ ＞ ＞ ②＞ ③＞ ④= ⑤＞ ＜ ⑥＞ ＜ ⑦≥
解析
【分析】
本题可根据二次函数的图象特征逐一判断各结论：
1. 判断a、b、c符号：a由开口方向决定，c由与y轴交点位置决定，b结合对称轴位置用“左同右异”规则或对称轴公式判断；
2. 判断$b^2-4ac$的符号：看抛物线与x轴的交点个数，交点越多判别式越大；
3. 对称轴相关结论：直接利用题干给出的对称轴$x=1$，结合对称轴公式推导；
4. x取特殊值的函数值判断：将x值代入解析式，对应函数值的正负可通过图象上该x对应点的位置判断，也可利用对称性找对称点判断；
5. 最值判断：开口向下的抛物线顶点处为最大值，该点函数值大于等于其余任意点的函数值。
【解析】
① 抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴$x=1$在y轴右侧，$a$与$b$异号，故$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
② 抛物线与x轴有2个不同交点，说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，故$b^2-4ac＞0$。
③ 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1＞0$，故$-\frac{b}{2a}＞0$。
④ 由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$2a+b=0$。
⑤ $a+b+c$是$x=1$时的函数值，$x=1$为抛物线顶点，对应点在x轴上方，故$a+b+c＞0$；$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，图象上$x=-1$对应的点在x轴下方，故$a-b+c＜0$。
⑥ $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$与$x=0$关于对称轴$x=1$对称，$x=0$时函数值$c＞0$，故$4a+2b+c＞0$；$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，$x=-2$在$x=-1$左侧，对应点在x轴下方，故$4a-2b+c＜0$。
⑦ 抛物线开口向下，对称轴$x=1$处取得最大值，即$x=1$时的函数值$a+b+c$是函数的最大值，对任意实数$m$，都有$a+b+c≥ am^2+bm+c$。
【答案】
①＜ ＞ ＞ ②＞ ③＞ ④= ⑤＞ ＜ ⑥＞ ＜ ⑦≥
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数性质，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数图象类的基础题型，核心是掌握“由图得性质，由性质推代数结论”的数形结合思路，记住开口、对称轴、交点对应的代数结论即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题可根据二次函数的图象特征逐一判断各结论：
1. 判断a、b、c符号：a由开口方向决定，c由与y轴交点位置决定，b结合对称轴位置用“左同右异”规则或对称轴公式判断；
2. 判断$b^2-4ac$的符号：看抛物线与x轴的交点个数，交点越多判别式越大；
3. 对称轴相关结论：直接利用题干给出的对称轴$x=1$，结合对称轴公式推导；
4. x取特殊值的函数值判断：将x值代入解析式，对应函数值的正负可通过图象上该x对应点的位置判断，也可利用对称性找对称点判断；
5. 最值判断：开口向下的抛物线顶点处为最大值，该点函数值大于等于其余任意点的函数值。
【解析】
① 抛物线开口向下，故$a＜0$；对称轴$x=1$在y轴右侧，$a$与$b$异号，故$b＞0$；抛物线与y轴交于正半轴，故$c＞0$。
② 抛物线与x轴有2个不同交点，说明对应一元二次方程有两个不相等的实数根，故$b^2-4ac＞0$。
③ 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1＞0$，故$-\frac{b}{2a}＞0$。
④ 由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=1$，化简得$2a+b=0$。
⑤ $a+b+c$是$x=1$时的函数值，$x=1$为抛物线顶点，对应点在x轴上方，故$a+b+c＞0$；$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，图象上$x=-1$对应的点在x轴下方，故$a-b+c＜0$。
⑥ $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$与$x=0$关于对称轴$x=1$对称，$x=0$时函数值$c＞0$，故$4a+2b+c＞0$；$4a-2b+c$是$x=-2$时的函数值，$x=-2$在$x=-1$左侧，对应点在x轴下方，故$4a-2b+c＜0$。
⑦ 抛物线开口向下，对称轴$x=1$处取得最大值，即$x=1$时的函数值$a+b+c$是函数的最大值，对任意实数$m$，都有$a+b+c≥ am^2+bm+c$。
【答案】
①＜ ＞ ＞ ②＞ ③＞ ④= ⑤＞ ＜ ⑥＞ ＜ ⑦≥
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数性质，二次函数最值
【点评】
本题是二次函数图象类的基础题型，核心是掌握“由图得性质，由性质推代数结论”的数形结合思路，记住开口、对称轴、交点对应的代数结论即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1.(河南月考)二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数，$a≠0)$的自变量$x$与函数$y$的对应值如下表：
若$n＜-1$，则点$A(bc,-a)$所在的象限是（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
若$n＜-1$，则点$A(bc,-a)$所在的象限是（
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察表格中y值相等的两组x对应值，可求出二次函数的对称轴，结合对称轴公式得到a和b的数量关系；再根据对称轴处的函数值n＜-1判断抛物线开口方向，确定a的符号，进而得到b的符号；最后代入x=0的函数值得到c的取值，分别判断点A横、纵坐标的符号，即可确定点所在象限。
【解析】
1. 由表格可知，当$x=-2$和$x=0$时，$y$均为$-1$，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
2. 根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对称轴$x=-1$，得$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$。
3. $x=-1$时对应的函数值$n＜-1$，说明对称轴处为函数的最小值点，因此抛物线开口向上，即$a＞0$。
4. 由$a＞0$、$b=2a$，可得$b＞0$。
5. 把$x=0$，$y=-1$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-1$。
6. 计算点A的横、纵坐标符号：$bc=b×(-1)=-b＜0$，$-a＜0$，即点A的横、纵坐标均为负数，因此点A在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题解题核心是利用二次函数的对称性求出对称轴，结合顶点函数值判断开口方向，进而推导各系数的符号，考查对二次函数基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察表格中y值相等的两组x对应值，可求出二次函数的对称轴，结合对称轴公式得到a和b的数量关系；再根据对称轴处的函数值n＜-1判断抛物线开口方向，确定a的符号，进而得到b的符号；最后代入x=0的函数值得到c的取值，分别判断点A横、纵坐标的符号，即可确定点所在象限。
【解析】
1. 由表格可知，当$x=-2$和$x=0$时，$y$均为$-1$，因此二次函数图象的对称轴为直线$x=\frac{-2+0}{2}=-1$。
2. 根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入对称轴$x=-1$，得$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$。
3. $x=-1$时对应的函数值$n＜-1$，说明对称轴处为函数的最小值点，因此抛物线开口向上，即$a＞0$。
4. 由$a＞0$、$b=2a$，可得$b＞0$。
5. 把$x=0$，$y=-1$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=-1$。
6. 计算点A的横、纵坐标符号：$bc=b×(-1)=-b＜0$，$-a＜0$，即点A的横、纵坐标均为负数，因此点A在第三象限。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题解题核心是利用二次函数的对称性求出对称轴，结合顶点函数值判断开口方向，进而推导各系数的符号，考查对二次函数基本性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
2.（凉山州中考）二次函数$y=ax^2+bx+c$的部分图象如图所示，其对称轴为$x=2$，且图象经过点$(6,0)$，则下列结论错误的是 （
A.$bc＞0$
B.$4a+b=0$
C.若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=4$
D.若$(-1,y_1),(3,y_2)$两点都在抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象上，则$y_2＜y_1$
D
）A.$bc＞0$
B.$4a+b=0$
C.若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$且$x_1≠x_2$，则$x_1+x_2=4$
D.若$(-1,y_1),(3,y_2)$两点都在抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象上，则$y_2＜y_1$
答案
2.D
解析
【分析】
首先从二次函数图象提取关键信息：抛物线开口向下可得a＜0，对称轴为直线x=2可推出a与b的关系，抛物线与y轴交于正半轴可得c＞0，结合对称轴和过点(6,0)可利用对称性得到图象的其他性质，再逐个分析四个选项，判断正误即可选出错误结论。
【解析】
由图象及已知条件可得：
①抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
②对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$；
③抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
④抛物线过点$(6,0)$，对称轴为x=2，根据对称性可得抛物线与x轴另一交点为$2-(6-2)=-2$，即过点$(-2,0)$。
逐一分析选项：
A选项：$\because b＞0,c＞0$，$\therefore bc＞0$，结论正确，不符合题意；
B选项：由对称轴推导得$b=-4a$，移项可得$4a+b=0$，结论正确，不符合题意；
C选项：对$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项因式分解：
$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，即$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
$\because x_1≠x_2$，$\therefore a(x_1+x_2)+b=0$，
代入$b=-4a$得$a(x_1+x_2)-4a=0$，$\because a≠0$，两边同除以a得$x_1+x_2=4$，结论正确，不符合题意；
D选项：点$(-1,y_1)$到对称轴x=2的距离为$|2-(-1)|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴x=2的距离为$|3-2|=1$，
抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，$\therefore y_1＜y_2$，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，需要结合开口方向、对称轴、点的坐标特征等信息逐一推导结论，熟练掌握二次函数的基本性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
首先从二次函数图象提取关键信息：抛物线开口向下可得a＜0，对称轴为直线x=2可推出a与b的关系，抛物线与y轴交于正半轴可得c＞0，结合对称轴和过点(6,0)可利用对称性得到图象的其他性质，再逐个分析四个选项，判断正误即可选出错误结论。
【解析】
由图象及已知条件可得：
①抛物线开口向下，$\therefore a＜0$；
②对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，$\because a＜0$，$\therefore b＞0$；
③抛物线与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
④抛物线过点$(6,0)$，对称轴为x=2，根据对称性可得抛物线与x轴另一交点为$2-(6-2)=-2$，即过点$(-2,0)$。
逐一分析选项：
A选项：$\because b＞0,c＞0$，$\therefore bc＞0$，结论正确，不符合题意；
B选项：由对称轴推导得$b=-4a$，移项可得$4a+b=0$，结论正确，不符合题意；
C选项：对$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$移项因式分解：
$a(x_1^2-x_2^2)+b(x_1-x_2)=0$，即$(x_1-x_2)[a(x_1+x_2)+b]=0$，
$\because x_1≠x_2$，$\therefore a(x_1+x_2)+b=0$，
代入$b=-4a$得$a(x_1+x_2)-4a=0$，$\because a≠0$，两边同除以a得$x_1+x_2=4$，结论正确，不符合题意；
D选项：点$(-1,y_1)$到对称轴x=2的距离为$|2-(-1)|=3$，点$(3,y_2)$到对称轴x=2的距离为$|3-2|=1$，
抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，$\therefore y_1＜y_2$，结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数对称性，二次函数增减性
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质，需要结合开口方向、对称轴、点的坐标特征等信息逐一推导结论，熟练掌握二次函数的基本性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
3.(安徽中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，则（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
3.C
解析
【分析】
要解决本题，需结合二次函数图象提取关键信息，依次推导系数a、b、c的符号、对称轴与系数的关系、特殊点的函数值，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到答案。具体思考步骤：1. 由开口方向确定a的正负；2. 由对称轴位置确定b与a的关系及b的正负；3. 由抛物线与y轴交点确定c的正负；4. 结合x=-1等特殊点的函数值判断相关式子的符号。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号
① 抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
② 对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
步骤2：逐一分析选项
选项A：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，A错误；
选项B：由图象可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜1$，两边乘正数$2a$得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，B错误；
选项D：当$x=-1$时，代入函数得$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$对应点在x轴上方，$y＞0$，即$a-b+c＞0$，D错误；
排除A、B、D，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，特殊点函数值，不等式性质
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型题型，解题核心是熟练掌握图象特征与系数符号、函数值的对应关系，结合排除法可快速得到答案，能很好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合二次函数图象提取关键信息，依次推导系数a、b、c的符号、对称轴与系数的关系、特殊点的函数值，再逐一分析每个选项，排除错误选项即可得到答案。具体思考步骤：1. 由开口方向确定a的正负；2. 由对称轴位置确定b与a的关系及b的正负；3. 由抛物线与y轴交点确定c的正负；4. 结合x=-1等特殊点的函数值判断相关式子的符号。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号
① 抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
② 对称轴在y轴右侧，即对称轴$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$。
步骤2：逐一分析选项
选项A：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，则$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，A错误；
选项B：由图象可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜1$，两边乘正数$2a$得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，B错误；
选项D：当$x=-1$时，代入函数得$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$对应点在x轴上方，$y＞0$，即$a-b+c＞0$，D错误；
排除A、B、D，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，特殊点函数值，不等式性质
【点评】
本题是二次函数图象与系数关系的典型题型，解题核心是熟练掌握图象特征与系数符号、函数值的对应关系，结合排除法可快速得到答案，能很好地考查数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
4.(徐州中考)如图为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，下列代数式的值为负数的是
①$a$；②$2a+b$；③$c$；④$b^2-4ac$；⑤$a-b+c$.
①②⑤
（写出所有正确结果的序号）.①$a$；②$2a+b$；③$c$；④$b^2-4ac$；⑤$a-b+c$.
答案
4.①②⑤
解析
【分析】
要判断各代数式的正负，需结合二次函数的图象性质逐一分析：①根据开口方向判断a的符号；②根据对称轴的取值范围推导2a+b的符号；③根据抛物线与y轴的交点判断c的符号；④根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号；⑤x=-1时的函数值即为$a-b+c$，根据x=-1处图象的位置判断其符号。
【解析】
①判断a的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$，是负数；
②判断$2a+b$的符号：抛物线与x轴的两个交点分别在$(-1,0)$和$(0,0)$之间、$(1,0)$和$(2,0)$之间，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在0和1之间，即$0＜-\frac{b}{2a}＜1$。已知$a＜0$，对不等式$-\frac{b}{2a}＜1$两边同乘2a（负数，不等号方向改变），得$-b＞2a$，移项得$2a+b＜0$，是负数；
③判断c的符号：抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c＞0$，是正数；
④判断$b^2-4ac$的符号：抛物线与x轴有2个交点，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，判别式$b^2-4ac＞0$，是正数；
⑤判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入函数得$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知x=-1时对应点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，是负数。
综上，值为负数的是①②⑤。
【答案】
①②⑤
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的函数值；根的判别式
【点评】
本题是二次函数图象类的典型题型，核心是建立图象特征与代数式的对应关系，通过开口方向、对称轴、交点位置、特殊点函数值等性质即可完成判断，掌握相关对应规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断各代数式的正负，需结合二次函数的图象性质逐一分析：①根据开口方向判断a的符号；②根据对称轴的取值范围推导2a+b的符号；③根据抛物线与y轴的交点判断c的符号；④根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式$b^2-4ac$的符号；⑤x=-1时的函数值即为$a-b+c$，根据x=-1处图象的位置判断其符号。
【解析】
①判断a的符号：抛物线开口向下，因此$a＜0$，是负数；
②判断$2a+b$的符号：抛物线与x轴的两个交点分别在$(-1,0)$和$(0,0)$之间、$(1,0)$和$(2,0)$之间，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在0和1之间，即$0＜-\frac{b}{2a}＜1$。已知$a＜0$，对不等式$-\frac{b}{2a}＜1$两边同乘2a（负数，不等号方向改变），得$-b＞2a$，移项得$2a+b＜0$，是负数；
③判断c的符号：抛物线与y轴交于正半轴，当$x=0$时，$y=c＞0$，是正数；
④判断$b^2-4ac$的符号：抛物线与x轴有2个交点，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，判别式$b^2-4ac＞0$，是正数；
⑤判断$a-b+c$的符号：当$x=-1$时，代入函数得$y=a·(-1)^2+b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知x=-1时对应点在x轴下方，即$y＜0$，因此$a-b+c＜0$，是负数。
综上，值为负数的是①②⑤。
【答案】
①②⑤
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的函数值；根的判别式
【点评】
本题是二次函数图象类的典型题型，核心是建立图象特征与代数式的对应关系，通过开口方向、对称轴、交点位置、特殊点函数值等性质即可完成判断，掌握相关对应规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过点$O$和点$A(-3,-3a)$，下面有四个结论：①$b=4a$；②$a+b+c＜0$；③若点$(1,m)$在该抛物线上，则方程$ax^2+bx+c-m=0$的两个根为$x_1=1,x_2=-5$；④过点$T(t,0)(t＞-3)$作$x$轴的垂线，交该抛物线于点$B$，交直线$y=ax$于点$C$，若线段$BC$的长度随$t$的增大而减小，则$t$的取值范围是$-\dfrac{3}{2}≤ t＜0$.其中所有正确结论的序号是________.
答案
5.①③④
解析
【分析】
解题时先利用抛物线过原点的特征确定c=0，再代入点A坐标推导a与b的关系验证结论①；得到抛物线解析式后求出对称轴，结合a＞0的性质计算x=1时的函数值判断结论②；利用二次函数的对称性，结合已知抛物线上的点求对应方程的两根判断结论③；最后求出B、C两点坐标，推导BC长度的表达式，结合二次函数增减性分析t的取值范围判断结论④。
【解析】
1. 推导a与b的关系，验证①：
抛物线过原点$O(0,0)$，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=0$，解析式简化为$y=ax^2+bx$。
将$A(-3,-3a)$代入解析式：$-3a=a×(-3)^2 + b×(-3)$，整理得$-3a=9a-3b$，解得$b=4a$，故①正确。
2. 判断②的正误：
抛物线解析式为$y=ax^2+4ax$，$a+b+c$是$x=1$时的函数值，代入得$y=a+4a=5a$，$\because a＞0$，$\therefore 5a＞0$，即$a+b+c＞0$，故②错误。
3. 利用对称性判断③：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2$。点$(1,m)$在抛物线上，说明$x=1$是方程$ax^2+bx+c=m$的一个根，根据二次函数对称性，设另一根为$x_2$，则$\frac{1+x_2}{2}=-2$，解得$x_2=-5$，即方程$ax^2+bx+c-m=0$的两根为$x_1=1,x_2=-5$，故③正确。
4. 分析BC长度的增减性判断④：
由题意得$B(t,at^2+4at)$，$C(t,at)$，则$BC=\vert at^2+4at-at\vert=a\vert t(t+3)\vert$。
已知$t＞-3$，则$t+3＞0$，$\therefore BC=a\vert t\vert(t+3)$：
当$t≥0$时，$BC=a(t^2+3t)$，开口向上，对称轴为$t=-\frac{3}{2}$，此时BC随t增大而增大，不符合要求；
当$-3＜t＜0$时，$BC=a(-t)(t+3)=-a(t+\frac{3}{2})^2+\frac{9a}{4}$，开口向下，对称轴为$t=-\frac{3}{2}$，故当$-\frac{3}{2}≤ t＜0$时，BC随t增大而减小，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数的增减性
【点评】
本题综合考查二次函数系数关系、对称性、增减性及与方程的联系，解题中需结合分类讨论思想分析线段长度的变化规律，是二次函数的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
解题时先利用抛物线过原点的特征确定c=0，再代入点A坐标推导a与b的关系验证结论①；得到抛物线解析式后求出对称轴，结合a＞0的性质计算x=1时的函数值判断结论②；利用二次函数的对称性，结合已知抛物线上的点求对应方程的两根判断结论③；最后求出B、C两点坐标，推导BC长度的表达式，结合二次函数增减性分析t的取值范围判断结论④。
【解析】
1. 推导a与b的关系，验证①：
抛物线过原点$O(0,0)$，代入$y=ax^2+bx+c$得$c=0$，解析式简化为$y=ax^2+bx$。
将$A(-3,-3a)$代入解析式：$-3a=a×(-3)^2 + b×(-3)$，整理得$-3a=9a-3b$，解得$b=4a$，故①正确。
2. 判断②的正误：
抛物线解析式为$y=ax^2+4ax$，$a+b+c$是$x=1$时的函数值，代入得$y=a+4a=5a$，$\because a＞0$，$\therefore 5a＞0$，即$a+b+c＞0$，故②错误。
3. 利用对称性判断③：
抛物线对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4a}{2a}=-2$。点$(1,m)$在抛物线上，说明$x=1$是方程$ax^2+bx+c=m$的一个根，根据二次函数对称性，设另一根为$x_2$，则$\frac{1+x_2}{2}=-2$，解得$x_2=-5$，即方程$ax^2+bx+c-m=0$的两根为$x_1=1,x_2=-5$，故③正确。
4. 分析BC长度的增减性判断④：
由题意得$B(t,at^2+4at)$，$C(t,at)$，则$BC=\vert at^2+4at-at\vert=a\vert t(t+3)\vert$。
已知$t＞-3$，则$t+3＞0$，$\therefore BC=a\vert t\vert(t+3)$：
当$t≥0$时，$BC=a(t^2+3t)$，开口向上，对称轴为$t=-\frac{3}{2}$，此时BC随t增大而增大，不符合要求；
当$-3＜t＜0$时，$BC=a(-t)(t+3)=-a(t+\frac{3}{2})^2+\frac{9a}{4}$，开口向下，对称轴为$t=-\frac{3}{2}$，故当$-\frac{3}{2}≤ t＜0$时，BC随t增大而减小，故④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，二次函数的增减性
【点评】
本题综合考查二次函数系数关系、对称性、增减性及与方程的联系，解题中需结合分类讨论思想分析线段长度的变化规律，是二次函数的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
