7. 如图，$∠ ABC$ 的平分线与 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACE$ 的平分线交于点 $P$，$PD⊥ AC$ 于点 $D$，$PH⊥ BA$ 于点 $H$，连接 $AP$.
(1)若 $PH＝8\ \mathrm{cm}$，求点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离；
(2)求证：点 $P$ 在 $∠ HAC$ 的平分线上；
(3)若 $∠ BPC＝23°$，则 $∠ CAP＝$ .

7.(1)8 cm (2)略 (3)67°

【分析】
(1) 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，BP是∠ABC的平分线，已知P到BA的距离PH，只需作P到BC的垂线，即可得到该距离与PH相等。
(2) 要证点P在∠HAC的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明P到∠HAC两边AH、AC的距离相等，结合CP是外角平分线的性质，即可推导得到PH=PD。
(3) 先利用三角形外角的性质，推导∠BPC与∠BAC的数量关系，求出∠BAC后得到邻补角∠HAC的度数，再结合AP平分∠HAC即可求出∠CAP的度数。
【解析】
(1) 过点$P$作$PF⊥ BE$于点$F$。
∵ $BP$平分$∠ ABC$，$PH⊥ BA$，$PF⊥ BC$，
∴ 根据角平分线的性质，得$PF=PH$。
∵ $PH=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $PF=8\ \mathrm{cm}$，即点$P$到直线$BC$的距离为$8\ \mathrm{cm}$。
(2) 证明：
∵ $CP$平分$∠ ACE$，$PD⊥ AC$，$PF⊥ CE$，
∴ 根据角平分线的性质，得$PD=PF$。
由(1)知$PH=PF$，
∴ $PH=PD$。
又
∵ $PH⊥ BA$，$PD⊥ AC$，
∴ 根据角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点$P$在$∠ HAC$的平分线上。
(3)
∵ $BP$平分$∠ ABC$，$CP$平分$∠ ACE$，
∴ $∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCE=\frac{1}{2}∠ ACE$。
∵ $∠ ACE$是$△ ABC$的外角，
∴ $∠ ACE=∠ ABC+∠ BAC$，即$∠ PCE=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)$。
又
∵ $∠ PCE$是$△ PBC$的外角，
∴ $∠ PCE=∠ PBC+∠ BPC$，
代入得：$\frac{1}{2}∠ ABC+∠ BPC=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)$，
化简得$∠ BPC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
∵ $∠ BPC=23°$，
∴ $∠ BAC=2×23°=46°$，
∴ $∠ HAC=180°-∠ BAC=180°-46°=134°$。
由(2)知$AP$平分$∠ HAC$，
∴ $∠ CAP=\frac{1}{2}∠ HAC=\frac{1}{2}×134°=67°$。
【答案】
(1)$8\ \mathrm{cm}$；(2)证明见解析；(3)$67°$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；三角形外角的性质
【点评】
本题是角平分线相关的典型综合题，解题的核心是熟练掌握角平分线的性质和判定，结合三角形外角的性质推导角度和线段的数量关系，有助于提升几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.65

8.如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为BD的中点,且AO平分∠BAC.
(1)求证:CO平分∠ACD;
(2)求证:AB+CD=AC;
(3)若AC=12,BD=10,求四边形ABDC的面积.

8.(1)略 (2)略 (3)60

【分析】
(1)要证明CO平分∠ACD，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AC和CD的距离相等即可，因此过点O作OE⊥AC于E，结合角平分线的性质和O是BD中点的条件，证明OE=OD即可。
(2)要证明AB+CD=AC，可通过全等三角形将AB、CD分别转化为AC上的两段线段，利用HL证明Rt△ABO≌Rt△AEO得AB=AE，同理证明Rt△CDO≌Rt△CEO得CD=CE，相加即可得结论。
(3)求四边形ABDC的面积，可利用全等三角形的面积相等，将四边形面积转化为2倍的△AOC的面积，结合已知AC的长度和OE的长度计算即可。
【解析】
(1)证明：过点O作OE⊥AC于点E。
∵∠B=90°，AO平分∠BAC，OB⊥AB，OE⊥AC，
∴OB=OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵O是BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD。
又
∵∠D=90°，OD⊥CD，OE⊥AC，
∴CO平分∠ACD（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
(2)证明：在Rt△ABO和Rt△AEO中，
$\{\begin{array}{l}AO=AO\\ OB=OE\end{array} $
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴AB=AE。
同理可证Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴CD=CE。
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC。
(3)解：由(1)知OB=OE=OD，
∵BD=10，O是BD中点，
∴OB=OD=5，
∴OE=5。
由(2)的全等可知，$S_{△ ABO}=S_{△ AEO}$，$S_{△ CDO}=S_{△ CEO}$，
∴$S_{四边形ABDC} = S_{△ ABO} + S_{△ AOC} + S_{△ CDO} = S_{△ AEO} + S_{△ AOC} + S_{△ CEO} = 2S_{△ AOC}$。
∵$S_{△ AOC} = \frac{1}{2}×AC×OE = \frac{1}{2}×12×5 = 30$，
∴$S_{四边形ABDC} = 2×30 = 60$。
【答案】
(1)见解析；(2)见解析；(3)60
【知识点】
角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线相关的综合题，作辅助线构造垂直得到距离相等是解题的切入点，通过全等三角形转化线段关系和面积关系是常用的解题技巧，能很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

9.(2025·大连名校联考)一个平分角的仪器如图1所示，其中$OD=OE$，$FD=FE$.
(1)如图2，将仪器放置在$△ ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D$，$E$分别在边$AB$，$AC$上，$AF$交$BC$于点$P$，$AP$是否为$∠ BAC$的平分线？请说明理由.
(2)如图3，在(1)的条件和结论下，过点$P$作$PQ⊥ AB$于点$Q$.若$PQ=6$，$AC=9$，$△ ABC$的面积是60，求$AB$的长.

9.解:(1)$AP$是$∠ BAC$的平分线.理由如下:
在$△ ADF$和$△ AEF$中,$\begin{cases}AD=AE,\\FD=FE,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ DAF=∠ EAF,\therefore AP$平分$∠ BAC$.
(2)如图,过点$P$作$PG⊥ AC$于点$G$.

$\because AP$平分$∠ BAC,PQ⊥ AB,PG⊥ AC$,
$\therefore PG=PQ=6$.
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ APC}=\dfrac{1}{2}AB· PQ+\dfrac{1}{2}AC· PG,\therefore \dfrac{1}{2}AB×6+\dfrac{1}{2}×9×6=60$,
$\therefore AB=11$.

【分析】
(1) 要判断AP是否为∠BAC的平分线，核心是证明∠DAF=∠EAF。已知OD=OE，点O与A重合即AD=AE，又给出FD=FE，加上公共边AF，可通过SSS判定定理证明△ADF与△AEF全等，利用全等三角形对应角相等即可得到两角相等，进而判定AP为角平分线。
(2) 已知AP是角平分线且PQ⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过点P作PG⊥AC，可得PG=PQ=6。△ABC的面积可拆分为△ABP和△ACP的面积之和，分别以AB、AC为底，PQ、PG为高表示两个小三角形的面积，代入已知的总面积、AC长度等数值，列方程即可求解得到AB的长度。
【解析】
(1) AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在$△ ADF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases}AD=AE,\\FD=FE,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ AEF(\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠DAF=∠EAF$，即AP平分$∠BAC$。
(2) 过点$P$作$PG⊥AC$于点$G$，如图：

$\because AP$平分$∠BAC$，$PQ⊥AB$，$PG⊥AC$，
$\therefore PG=PQ=6$。
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ APC}=\frac{1}{2}AB·PQ+\frac{1}{2}AC·PG$，
代入已知数值得：$\frac{1}{2}AB×6+\frac{1}{2}×9×6=60$，
解得$AB=11$。
【答案】
(1) AP是$∠BAC$的平分线，理由见上述解析；
(2) $AB=11$
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查全等三角形和角平分线的相关知识，第一问是全等三角形判定的基础应用，第二问借助角平分线性质和面积法求解线段长度，解题的关键是熟练掌握相关定理，灵活运用面积法拆分图形。
【难度系数】
0.7