8.(教材P142练习T3变式)不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数.
(1)$\dfrac{0.5x - 0.7y}{0.2x + 0.6y}=$______;
(2)$\dfrac{a + \dfrac{1}{4}b}{\dfrac{4}{3}a - \dfrac{1}{2}b}=$______.

8.(1)$\frac{5x-7y}{2x+6y}$ (2)$\frac{12a+3b}{16a-6b}$

【分析】
本题考查分式系数化整，解题依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。解题思路如下：①观察式子系数特征：若系数是小数，看小数的最高数位，选择10、100等整十整百的数作为同乘的数，可直接把小数化为整数；若系数是分数，找到所有分数分母的最小公倍数作为同乘的数，即可把分数系数化为整数。②注意同乘时分子、分母的每一项都要乘，不能漏乘。
【解析】
(1) 观察式子$\dfrac{0.5x - 0.7y}{0.2x + 0.6y}$，分子、分母的系数都是一位小数，根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘10：
$\dfrac{0.5x - 0.7y}{0.2x + 0.6y}=\dfrac{(0.5x - 0.7y)×10}{(0.2x + 0.6y)×10}=\dfrac{5x-7y}{2x+6y}$
(2) 观察式子$\dfrac{a + \dfrac{1}{4}b}{\dfrac{4}{3}a - \dfrac{1}{2}b}$，分子、分母中分数系数的分母分别为4、3、2，它们的最小公倍数是12，根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘12：
$\dfrac{a + \dfrac{1}{4}b}{\dfrac{4}{3}a - \dfrac{1}{2}b}=\dfrac{(a + \dfrac{1}{4}b)×12}{(\dfrac{4}{3}a - \dfrac{1}{2}b)×12}=\dfrac{12a+3b}{16a-6b}$
【答案】
(1)$\dfrac{5x-7y}{2x+6y}$；(2)$\dfrac{12a+3b}{16a-6b}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.最小公倍数的应用
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题核心是根据系数特征正确选择分子分母同乘的非零数，计算时要注意给分子、分母的每一项都乘对应数值，避免漏乘常数项或字母项导致错误。
【难度系数】
0.8

9.不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数.
(1)$-\dfrac{-2a+7}{4-5a}=$;
(2)$\dfrac{4x-4-x^2}{6-3x}=$;
(3)$\dfrac{-4+m}{8m-m^2-16}=$.

9.(1)$-\frac{2a-7}{5a-4}$ (2)$\frac{x^2-4x+4}{3x-6}$ (3)$-\frac{m-4}{m^2-8m+16}$

【分析】
解题依据是分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。解题思路如下：第一步，先将分子、分母分别按最高次项降幂排列，确定最高次项的系数符号；第二步，若最高次项系数为负，将分子或分母整体提取负号；第三步，根据符号法则调整符号，保证分子、分母最高次项系数为正，且分式值不变，注意提取负号时分子分母的每一项都要变号。
【解析】
(1) 先整理原式分子分母：分子$-2a+7$最高次项系数为负，提取负号得$-(2a-7)$；分母$4-5a$最高次项系数为负，提取负号得$-(5a-4)$。
代入原式得：
$-\dfrac{-2a+7}{4-5a}=-\dfrac{-(2a-7)}{-(5a-4)}=-\dfrac{2a-7}{5a-4}$
(2) 先将分子分母按降幂排列：分子为$-x^2+4x-4$，最高次项系数为负，提取负号得$-(x^2-4x+4)$；分母为$-3x+6$，最高次项系数为负，提取负号得$-(3x-6)$。
代入原式得：
$\dfrac{4x-4-x^2}{6-3x}=\dfrac{-(x^2-4x+4)}{-(3x-6)}=\dfrac{x^2-4x+4}{3x-6}$
(3) 先将分子分母按降幂排列：分子为$m-4$，最高次项系数为正，无需变形；分母为$-m^2+8m-16$，最高次项系数为负，提取负号得$-(m^2-8m+16)$。
代入原式得：
$\dfrac{-4+m}{8m-m^2-16}=\dfrac{m-4}{-(m^2-8m+16)}=-\dfrac{m-4}{m^2-8m+16}$
【答案】
(1)$-\dfrac{2a-7}{5a-4}$；(2)$\dfrac{x^2-4x+4}{3x-6}$；(3)$-\dfrac{m-4}{m^2-8m+16}$
【知识点】
分式的基本性质；分式符号法则；多项式降幂排列
【点评】
本题是分式变形的基础题型，核心是正确运用分式的符号法则，易错点是对分子或分母提取负号时，仅改变最高次项的符号，遗漏其余项的符号，解题时要注意将分子、分母作为整体变形。
【难度系数】
0.8

10.(1)当$a$，$b$满足条件时，$-\frac{a}{5}=\frac{ab - a^2}{5(a - b)}$；
(2)若$\frac{|x|}{x + 2}=\frac{x}{-x - 2}$，则$x$的取值范围是。

10.(1)$a≠b$ (2)$x≤0$且$x≠-2$

【分析】
(1) 本题考查分式的基本性质的应用，观察等式左右两边的分式，右边分式的分子$ab-a^2$提取公因式后可变形为$-a(a-b)$，相当于左边的$-\frac{a}{5}$分子分母同时乘了$(a-b)$，根据分式基本性质，分子分母同乘的整式不能为0，据此即可求出a、b满足的条件。
(2) 先对等式右侧的分式变形，将分母转化为与左侧分式分母相同的形式，此时分式相等则分子对应相等，结合绝对值的性质得到x的取值范围，同时要注意分式有意义的前提是分母不为0，不要漏掉该限制条件。
【解析】
(1) 对右侧分式的分子因式分解：
$\frac{ab - a^2}{5(a - b)}=\frac{-a(a - b)}{5(a - b)}$
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，因此要使该分式约分后等于$-\frac{a}{5}$，需要满足$a - b≠0$，即$a≠b$。
(2) 先变形等式右侧的分式：
$\frac{x}{-x - 2}=\frac{x}{-(x + 2)}=-\frac{x}{x + 2}$
则原等式可化为$\frac{|x|}{x + 2}=-\frac{x}{x + 2}$
① 分式有意义的条件是分母不为0，因此$x + 2≠0$，解得$x≠-2$；
② 分母相同的两个分式相等，则分子相等，即$|x|=-x$，根据绝对值的性质，当$x≤0$时$|x|=-x$。
综合可得x的取值范围是$x≤0$且$x≠-2$。
【答案】
(1)$a≠b$；(2)$x≤0$且$x≠-2$
【知识点】
分式的基本性质，分式有意义的条件，绝对值的性质
【点评】
本题是分式性质的基础应用类题目，解题的关键是牢记分式变形时必须保证所乘除的整式不为0，同时不要忽略分式成立的前提是分母不为0，易错点是第二小问容易漏掉$x≠-2$的限制条件。
【难度系数】
0.7

11.(1)若$\frac{y}{x}=\frac{2}{5}$，求$\frac{x}{x+y}$的值；
(2)若$\frac{x}{y}=-2$，求$\frac{x^2 -2xy -3y^2}{x^2 -6xy -7y^2}$的值。

11.(1)$\frac{5}{7}$ (2)$\frac{5}{9}$

【分析】
(1) 已知$\frac{y}{x}$的比值，首先明确$x≠0$是分式有意义的前提，可选择两种思路求解：一是引入参数，设$x=5k$、$y=2k$（$k≠0$），代入待求分式后约去参数即可得结果；二是利用分式基本性质，将待求分式的分子分母同时除以$x$，转化为仅含$\frac{y}{x}$的式子，直接代入比值计算。
(2) 已知$\frac{x}{y}$的比值，首先明确$y≠0$是分式有意义的前提，可选择两种思路求解：一是将$x$用$y$表示为$x=-2y$，代入待求分式后分子分母均为含$y^2$的式子，约分后得结果；二是利用分式基本性质，将待求分式的分子分母同时除以$y^2$，转化为仅含$\frac{x}{y}$的式子，代入比值整体计算即可。
【解析】
(1)
∵$\frac{y}{x}=\frac{2}{5}$，
∴$x≠0$，将$\frac{x}{x+y}$的分子、分母同时除以$x$得：
$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+\frac{y}{x}}=\frac{1}{1+\frac{2}{5}}=\frac{5}{7}$。
(2)
∵$\frac{x}{y}=-2$，
∴$y≠0$，将待求分式的分子、分母同时除以$y^2$得：
$\frac{x^2 -2xy -3y^2}{x^2 -6xy -7y^2}=\frac{(\frac{x}{y})^2 -2·\frac{x}{y} -3}{(\frac{x}{y})^2 -6·\frac{x}{y} -7}$，
代入$\frac{x}{y}=-2$得：
原式$=\frac{(-2)^2 -2×(-2) -3}{(-2)^2 -6×(-2) -7}=\frac{4+4-3}{4+12-7}=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1)$\frac{5}{7}$；(2)$\frac{5}{9}$
【知识点】
分式的基本性质，比例的性质，分式约分
【点评】
本题是分式性质应用的典型题型，主要考查利用比例关系求解分式的值，常用参数法、整体代入法简化计算，解题时需注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），代入后约去公共因式即可得到结果。
【难度系数】
0.8

12.【新考法·阅读理解】阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{2}{5}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解：$\because \frac{x}{x^2 +1}=\frac{2}{5}$，$\therefore x≠0$，
$\therefore \frac{1}{x+\frac{1}{x}}=\frac{2}{5}$，即$x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{x^2 +\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 -2}=\frac{1}{(\frac{5}{2})^2 -2}=\frac{4}{17}$.
请借鉴上面的方法解答下列问题：
(1)已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=2$，求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值；
(2)已知$x^2 -3x +1=0$，求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.

12.解:(1)$\because \frac{x}{x^2 -3x +1}=2,\therefore x≠0$,
$\therefore \frac{1}{x+\frac{1}{x}-3}=2,即x+\frac{1}{x}=\frac{7}{2},$
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1} = \frac{1}{x^2 +\frac{1}{x^2}+1} = \frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 -1} = \frac{1}{(\frac{7}{2})^2 -1}=\frac{4}{45}.$
(2)$\because x^2 -3x +1=0,\therefore x≠0$,
$\therefore x-3+\frac{1}{x}=0,即x+\frac{1}{x}=3,$
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1} = \frac{1}{x^2 +\frac{1}{x^2}+1} = \frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 -1} = \frac{1}{3^2 -1}=\frac{1}{8}.$

【分析】
本题采用类比迁移的思路解题：首先观察已知条件和待求分式的特征，分子次数低于分母次数，且x≠0（否则已知条件无意义），我们可以借鉴题干给出的倒数法：①先对已知条件取倒数，整理得到$x+\frac{1}{x}$的值；②再对待求分式取倒数，将分母变形为含$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，利用完全平方公式的变形$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入$x+\frac{1}{x}$的值计算，最后取倒数即可得到结果。两小问仅已知条件形式不同，第二小问只需将整式方程两边同时除以x（x≠0）即可得到$x+\frac{1}{x}$的值，后续步骤和第一小问一致。
【解析】
(1) $\because \frac{x}{x^2 -3x +1}=2$，由分式有意义的条件可知$x≠0$，
$\therefore$ 将等式两边取倒数得：$\frac{x^2 -3x +1}{x}=\frac{1}{2}$，拆分后得$x - 3 + \frac{1}{x}=\frac{1}{2}$，即$x+\frac{1}{x}=\frac{7}{2}$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1} = \frac{1}{x^2 +\frac{1}{x^2}+1} = \frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 - 2 +1} = \frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 -1}$，
代入$x+\frac{1}{x}=\frac{7}{2}$得：原式$=\frac{1}{(\frac{7}{2})^2 -1}=\frac{1}{\frac{49}{4}-1}=\frac{4}{45}$。
(2) $\because x^2 -3x +1=0$，若$x=0$，代入等式左边得$1≠0$，故$x≠0$，
$\therefore$ 将方程两边同时除以x得：$x - 3 + \frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=3$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1} = \frac{1}{x^2 +\frac{1}{x^2}+1} = \frac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 -1}$，
代入$x+\frac{1}{x}=3$得：原式$=\frac{1}{3^2 -1}=\frac{1}{8}$。
【答案】
(1)$\frac{4}{45}$；(2)$\frac{1}{8}$
【知识点】
分式的基本性质，完全平方公式，分式化简求值
【点评】
本题是阅读理解类新考法题型，要求学生先读懂题干给出的解题方法，再将方法迁移到新问题中求解，避开了直接计算x值的复杂运算，侧重考查方法的理解和迁移运用能力。
【难度系数】
0.7