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1. 下列计算中可采用平方差公式的是（
A.$(x+y)(x-z)$
B.$(-x+2y)(x+2y)$
C.$(-3x-y)(3x+y)$
D.$(2a+3b)(2b-3a)$
B
）.A.$(x+y)(x-z)$
B.$(-x+2y)(x+2y)$
C.$(-3x-y)(3x+y)$
D.$(2a+3b)(2b-3a)$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以采用平方差公式计算。解题时我们只需要逐个核对四个选项是否符合这个特征，就能选出正确答案。
【解析】
平方差公式的标准形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心特征是：相乘的两个二项式中，存在一组完全相同的项，另一组项互为相反数。我们逐一分析选项：
选项A：$(x+y)(x-z)$，两个因式的相同项为$x$，但剩余项$y$和$-z$既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(-x+2y)(x+2y)$，可变形为$(2y - x)(2y + x)$，其中相同项为$2y$，剩余项$-x$和$x$互为相反数，符合平方差公式特征，可选；
选项C：$(-3x-y)(3x+y)$，可变形为$-(3x+y)(3x+y)=-(3x+y)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，符合完全平方公式特征，不符合平方差公式，排除；
选项D：$(2a+3b)(2b-3a)$，两个因式中的项$2a、3b$和$-3a、2b$，不存在对应的相同项或相反项，不符合平方差公式特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式的结构特征
2. 整式乘法公式
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方差公式结构的识别能力，只要牢记公式“一项相同、一项相反”的核心特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，若两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以采用平方差公式计算。解题时我们只需要逐个核对四个选项是否符合这个特征，就能选出正确答案。
【解析】
平方差公式的标准形式为$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心特征是：相乘的两个二项式中，存在一组完全相同的项，另一组项互为相反数。我们逐一分析选项：
选项A：$(x+y)(x-z)$，两个因式的相同项为$x$，但剩余项$y$和$-z$既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式特征，排除；
选项B：$(-x+2y)(x+2y)$，可变形为$(2y - x)(2y + x)$，其中相同项为$2y$，剩余项$-x$和$x$互为相反数，符合平方差公式特征，可选；
选项C：$(-3x-y)(3x+y)$，可变形为$-(3x+y)(3x+y)=-(3x+y)^2$，两组项均互为相反数，无相同项，符合完全平方公式特征，不符合平方差公式，排除；
选项D：$(2a+3b)(2b-3a)$，两个因式中的项$2a、3b$和$-3a、2b$，不存在对应的相同项或相反项，不符合平方差公式特征，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式的结构特征
2. 整式乘法公式
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方差公式结构的识别能力，只要牢记公式“一项相同、一项相反”的核心特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2. 计算结果为$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$的是(
D
). 答案
2. D
解析
【分析】
本题可通过逆用平方差公式求解，首先明确平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。解题时先将给出的结果$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$中的两项分别转化为平方的形式，再对应写出因式分解后的式子，和选项对比即可得到答案。
【解析】
平方差公式为：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，逆用该公式可得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
首先对$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$变形：
$\frac{4}{25}a^2=(\frac{2}{5}a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，
因此$\frac{4}{25}a^2 -9b^2=(\frac{2}{5}a)^2-(3b)^2$，
逆用平方差公式得：$(\frac{2}{5}a + 3b)(\frac{2}{5}a - 3b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的结构特征及逆用，只要熟练掌握平方差公式的形式，能将多项式正确转化为平方差的结构，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题可通过逆用平方差公式求解，首先明确平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。解题时先将给出的结果$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$中的两项分别转化为平方的形式，再对应写出因式分解后的式子，和选项对比即可得到答案。
【解析】
平方差公式为：$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$，逆用该公式可得：$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$。
首先对$\frac{4}{25}a^2 -9b^2$变形：
$\frac{4}{25}a^2=(\frac{2}{5}a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，
因此$\frac{4}{25}a^2 -9b^2=(\frac{2}{5}a)^2-(3b)^2$，
逆用平方差公式得：$(\frac{2}{5}a + 3b)(\frac{2}{5}a - 3b)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的结构特征及逆用，只要熟练掌握平方差公式的形式，能将多项式正确转化为平方差的结构，即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 计算：2 017×1 983=
3 999 711
.答案
3. 3 999 711
解析
【分析】
观察两个因数的特征，发现2017比2000大17，1983比2000小17，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此可将原式转化为平方差公式的形式进行简便计算，避免直接计算多位数乘法的复杂过程，降低出错概率。
【解析】
解：$2017×1983$
$=(2000+17)×(2000-17)$
$=2000^2 - 17^2$
$=4000000 - 289$
$=3999711$
【答案】
3999711
【知识点】
平方差公式，简便运算
【点评】
本题考查平方差公式的实际应用，解题核心是发现两个因数与整千数的数量关系，将其转化为两数和与两数差相乘的形式，利用公式快速得出结果，大幅简化了运算过程。
【难度系数】
0.8
观察两个因数的特征，发现2017比2000大17，1983比2000小17，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此可将原式转化为平方差公式的形式进行简便计算，避免直接计算多位数乘法的复杂过程，降低出错概率。
【解析】
解：$2017×1983$
$=(2000+17)×(2000-17)$
$=2000^2 - 17^2$
$=4000000 - 289$
$=3999711$
【答案】
3999711
【知识点】
平方差公式，简便运算
【点评】
本题考查平方差公式的实际应用，解题核心是发现两个因数与整千数的数量关系，将其转化为两数和与两数差相乘的形式，利用公式快速得出结果，大幅简化了运算过程。
【难度系数】
0.8
4. 计算：
(1) $(-2x^2 + \frac{1}{2})(-2x^2 - \frac{1}{2})$；
(2) $(\frac{1}{2}x^2y^2 + 3m)(-3m + \frac{1}{2}x^2y^2)$；
(3) $9.6 × 10.4$。
(1) $(-2x^2 + \frac{1}{2})(-2x^2 - \frac{1}{2})$；
(2) $(\frac{1}{2}x^2y^2 + 3m)(-3m + \frac{1}{2}x^2y^2)$；
(3) $9.6 × 10.4$。
答案
4. 解
(1)$(-2x^2+\frac{1}{2})(-2x^2-\frac{1}{2})$
$=(-2x^2)^2-(\frac{1}{2})^2$
$=4x^4-\frac{1}{4}.$
(2)$(\frac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\frac{1}{2}x^2y^2)$
$=(\frac{1}{2}x^2y^2)^2-(3m)^2$
$=\frac{1}{4}x^4y^4-9m^2.$
(3)$9.6 × 10.4 = (10 - 0.4)(10 + 0.4) = 100 - 0.16=99.84.$
(1)$(-2x^2+\frac{1}{2})(-2x^2-\frac{1}{2})$
$=(-2x^2)^2-(\frac{1}{2})^2$
$=4x^4-\frac{1}{4}.$
(2)$(\frac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\frac{1}{2}x^2y^2)$
$=(\frac{1}{2}x^2y^2)^2-(3m)^2$
$=\frac{1}{4}x^4y^4-9m^2.$
(3)$9.6 × 10.4 = (10 - 0.4)(10 + 0.4) = 100 - 0.16=99.84.$
解析
【分析】
这三道题均可利用平方差公式简化计算，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是先找到每个乘式中相同的项作为$a$，互为相反数的项作为$b$，再代入公式计算即可。(1)中相同项是$-2x^2$，相反项是$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$；(2)中相同项是$\frac{1}{2}x^2y^2$，相反项是$3m$和$-3m$；(3)中9.6和10.4都接近10，可改写为$10-0.4$和$10+0.4$，凑出平方差结构简化计算。
【解析】
(1) 代入平方差公式计算：
$(-2x^2+\frac{1}{2})(-2x^2-\frac{1}{2})$
$=(-2x^2)^2-(\frac{1}{2})^2$
$=4x^4-\frac{1}{4}$
(2) 先识别平方差结构，再代入公式：
$(\frac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\frac{1}{2}x^2y^2)$
$=(\frac{1}{2}x^2y^2+3m)(\frac{1}{2}x^2y^2-3m)$
$=(\frac{1}{2}x^2y^2)^2-(3m)^2$
$=\frac{1}{4}x^4y^4-9m^2$
(3) 凑平方差结构计算：
$9.6 × 10.4 $
$= (10 - 0.4)(10 + 0.4) $
$= 10^2 - 0.4^2$
$=100 - 0.16$
$=99.84$
【答案】
(1)$4x^4-\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{4}x^4y^4-9m^2$；(3)$99.84$
【知识点】
平方差公式、整式乘法、有理数简便运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，构造出平方差公式的结构可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
这三道题均可利用平方差公式简化计算，平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，解题核心是先找到每个乘式中相同的项作为$a$，互为相反数的项作为$b$，再代入公式计算即可。(1)中相同项是$-2x^2$，相反项是$\frac{1}{2}$和$-\frac{1}{2}$；(2)中相同项是$\frac{1}{2}x^2y^2$，相反项是$3m$和$-3m$；(3)中9.6和10.4都接近10，可改写为$10-0.4$和$10+0.4$，凑出平方差结构简化计算。
【解析】
(1) 代入平方差公式计算：
$(-2x^2+\frac{1}{2})(-2x^2-\frac{1}{2})$
$=(-2x^2)^2-(\frac{1}{2})^2$
$=4x^4-\frac{1}{4}$
(2) 先识别平方差结构，再代入公式：
$(\frac{1}{2}x^2y^2+3m)(-3m+\frac{1}{2}x^2y^2)$
$=(\frac{1}{2}x^2y^2+3m)(\frac{1}{2}x^2y^2-3m)$
$=(\frac{1}{2}x^2y^2)^2-(3m)^2$
$=\frac{1}{4}x^4y^4-9m^2$
(3) 凑平方差结构计算：
$9.6 × 10.4 $
$= (10 - 0.4)(10 + 0.4) $
$= 10^2 - 0.4^2$
$=100 - 0.16$
$=99.84$
【答案】
(1)$4x^4-\frac{1}{4}$；(2)$\frac{1}{4}x^4y^4-9m^2$；(3)$99.84$
【知识点】
平方差公式、整式乘法、有理数简便运算
【点评】
本题主要考查平方差公式的灵活应用，解题关键是准确识别两个因式中相同的项和互为相反数的项，构造出平方差公式的结构可以大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
5.如图,圆环形绿地的面积为
400π
m² (结果保留π).答案
5. 400π
解析
【分析】
要求圆环形绿地的面积，首先回忆圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积。首先从图中提取外圆半径25m、内圆半径15m的已知条件，代入面积公式后得到$π×25^2-π×15^2$，提取公因式$π$后括号内是两个数的平方差，刚好可以用平方差公式简化计算，不需要分别计算两个平方值，就能快速得出结果，降低运算出错概率。
【解析】
圆环的面积计算公式为$S=π R^2-π r^2$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径）。
已知外圆半径$R=25\mathrm{m}$，内圆半径$r=15\mathrm{m}$，代入公式计算：
$\begin{aligned}S&=π×25^2-π×15^2\\&=π(25^2-15^2)\\&=π(25+15)(25-15)\quad\mathrm{（利用平方差公式因式分解）}\\&=π×40×10\\&=400π(\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
$400π$
【知识点】
圆环面积计算；平方差公式；圆的面积计算
【点评】
本题是代数公式在几何计算中的典型应用，既考查了基础图形面积公式的掌握情况，也考查了用平方差公式简化运算的能力，熟练运用公式可以有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
要求圆环形绿地的面积，首先回忆圆环面积的计算方法：圆环面积=外圆面积-内圆面积。首先从图中提取外圆半径25m、内圆半径15m的已知条件，代入面积公式后得到$π×25^2-π×15^2$，提取公因式$π$后括号内是两个数的平方差，刚好可以用平方差公式简化计算，不需要分别计算两个平方值，就能快速得出结果，降低运算出错概率。
【解析】
圆环的面积计算公式为$S=π R^2-π r^2$（$R$为外圆半径，$r$为内圆半径）。
已知外圆半径$R=25\mathrm{m}$，内圆半径$r=15\mathrm{m}$，代入公式计算：
$\begin{aligned}S&=π×25^2-π×15^2\\&=π(25^2-15^2)\\&=π(25+15)(25-15)\quad\mathrm{（利用平方差公式因式分解）}\\&=π×40×10\\&=400π(\mathrm{m^2})\end{aligned}$
【答案】
$400π$
【知识点】
圆环面积计算；平方差公式；圆的面积计算
【点评】
本题是代数公式在几何计算中的典型应用，既考查了基础图形面积公式的掌握情况，也考查了用平方差公式简化运算的能力，熟练运用公式可以有效减少计算量。
【难度系数】
0.8
6. 计算:
(1) $2026^2 - 2025 × 2027$;
(2) $(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$;
(3) $(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$.
(1) $2026^2 - 2025 × 2027$;
(2) $(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$;
(3) $(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$.
答案
6. 解
(1)$2\ 026^2 - 2\ 025 × 2\ 027$
$=2\ 026^2-(2\ 026-1)×(2\ 026+1)$
$=2\ 026^2-(2\ 026^2-1)$
$=2\ 026^2-2\ 026^2+1$
$=1.$
(2)$(\frac{1}{3}x+y)(\frac{1}{3}x-y)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2-y^2)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=\frac{1}{81}x^4-y^4.$
(3)$(-3x-2y)(2y-3x)-(5y-3x)(3x+5y)$
$=9x^2-4y^2-25y^2+9x^2$
$=18x^2-29y^2.$
(1)$2\ 026^2 - 2\ 025 × 2\ 027$
$=2\ 026^2-(2\ 026-1)×(2\ 026+1)$
$=2\ 026^2-(2\ 026^2-1)$
$=2\ 026^2-2\ 026^2+1$
$=1.$
(2)$(\frac{1}{3}x+y)(\frac{1}{3}x-y)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2-y^2)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=\frac{1}{81}x^4-y^4.$
(3)$(-3x-2y)(2y-3x)-(5y-3x)(3x+5y)$
$=9x^2-4y^2-25y^2+9x^2$
$=18x^2-29y^2.$
解析
【分析】
(1) 观察式子可发现2025、2027分别与2026相差1，因此可将2025改写为2026-1，2027改写为2026+1，此时两数乘积符合平方差公式的结构，利用公式展开后可抵消$2026^2$，无需复杂计算即可得到结果。
(2) 式子前两个因式为$(a+b)(a-b)$的形式，符合平方差公式特征，先计算前两个因式的乘积，得到的结果与第三个因式再次构成平方差公式的结构，连续两次使用平方差公式即可求解。
(3) 先调整两个乘积项的因式顺序，将其凑成平方差公式的标准形式：第一个乘积项改写为$(-3x-2y)(-3x+2y)$，第二个乘积项改写为$(5y-3x)(5y+3x)$，分别用平方差公式展开后，再去括号、合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
(1)
$2026^2 - 2025 × 2027$
$=2026^2-(2026-1)×(2026+1)$
$=2026^2-(2026^2-1)$
$=2026^2-2026^2+1$
$=1$
(2)
$(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2-y^2)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=\frac{1}{81}x^4-y^4$
(3)
$(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$
$=9x^2-4y^2-25y^2+9x^2$
$=18x^2-29y^2$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\frac{1}{81}x^4 - y^4}$；(3) $\boxed{18x^2 - 29y^2}$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题核心是准确识别式子中符合平方差公式的结构特征，通过合理变形大幅简化运算，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子可发现2025、2027分别与2026相差1，因此可将2025改写为2026-1，2027改写为2026+1，此时两数乘积符合平方差公式的结构，利用公式展开后可抵消$2026^2$，无需复杂计算即可得到结果。
(2) 式子前两个因式为$(a+b)(a-b)$的形式，符合平方差公式特征，先计算前两个因式的乘积，得到的结果与第三个因式再次构成平方差公式的结构，连续两次使用平方差公式即可求解。
(3) 先调整两个乘积项的因式顺序，将其凑成平方差公式的标准形式：第一个乘积项改写为$(-3x-2y)(-3x+2y)$，第二个乘积项改写为$(5y-3x)(5y+3x)$，分别用平方差公式展开后，再去括号、合并同类项即可得到最终结果。
【解析】
(1)
$2026^2 - 2025 × 2027$
$=2026^2-(2026-1)×(2026+1)$
$=2026^2-(2026^2-1)$
$=2026^2-2026^2+1$
$=1$
(2)
$(\frac{1}{3}x + y)(\frac{1}{3}x - y)(\frac{1}{9}x^2 + y^2)$
$=(\frac{1}{9}x^2-y^2)(\frac{1}{9}x^2+y^2)$
$=\frac{1}{81}x^4-y^4$
(3)
$(-3x - 2y)(2y - 3x) - (5y - 3x) · (3x + 5y)$
$=9x^2-4y^2-25y^2+9x^2$
$=18x^2-29y^2$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{\frac{1}{81}x^4 - y^4}$；(3) $\boxed{18x^2 - 29y^2}$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、合并同类项
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，解题核心是准确识别式子中符合平方差公式的结构特征，通过合理变形大幅简化运算，解题时需注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
7.(1)计算下列算式：
$\begin{cases} 8×8=\_\_\_\_\_\_, \\7×9=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=\_\_\_\_\_\_, \\4×6=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=\_\_\_\_\_\_, \\11×13=\_\_\_\_\_\_. \end{cases}$
(2)从以上过程中，你发现了什么规律？
请用字母表示出来。
(3)请用你学过的数学知识说明你发现的规律的正确性。
$\begin{cases} 8×8=\_\_\_\_\_\_, \\7×9=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=\_\_\_\_\_\_, \\4×6=\_\_\_\_\_\_, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=\_\_\_\_\_\_, \\11×13=\_\_\_\_\_\_. \end{cases}$
(2)从以上过程中，你发现了什么规律？
请用字母表示出来。
(3)请用你学过的数学知识说明你发现的规律的正确性。
答案
7. 解
(1)计算可得
$\begin{cases} 8×8=64, \\7×9=63, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143. \end{cases}$
(2)$(n-1)(n+1)=n^2-1.$
(3)由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，
当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。
(1)计算可得
$\begin{cases} 8×8=64, \\7×9=63, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24, \end{cases}$
$\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143. \end{cases}$
(2)$(n-1)(n+1)=n^2-1.$
(3)由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，
当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步先完成整数乘法计算，得到每组算式的结果；第二步对比每组两个算式的乘数和结果的关系：每组第一个算式是两个相同的数n相乘，第二个算式的两个乘数分别比n小1、比n大1，结果比n²小1，据此归纳出用字母表示的规律；第三步利用已学的平方差公式展开验证，证明规律的正确性。
【解析】
(1) 直接计算整数乘法：
第一组：$8×8=64$，$7×9=63$；
第二组：$5×5=25$，$4×6=24$；
第三组：$12×12=144$，$11×13=143$。
(2) 观察可得：每组中，两个相差为2的数相乘，等于这两个数中间的数的平方减1，用字母表示为：$(n-1)(n+1)=n^2-1$。
(3) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=n$，$b=1$，代入公式左边得：$(n+1)(n-1)=n^2-1^2=n^2-1$，和右边相等，因此规律成立。
【答案】
(1) $\begin{cases} 8×8=64, \\7×9=63, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24, \end{cases}$ $\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143. \end{cases}$
(2) $(n-1)(n+1)=n^2-1$
(3) 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。
【知识点】
1. 整数乘法运算
2. 平方差公式
3. 代数式规律探究
【点评】
本题从具体的数值计算入手，引导学生自主归纳代数规律并进行证明，既考查了基础运算能力，又锻炼了归纳总结和逻辑验证的思维，有助于加深对平方差公式的理解。
【难度系数】
0.8
解题分三步思考：第一步先完成整数乘法计算，得到每组算式的结果；第二步对比每组两个算式的乘数和结果的关系：每组第一个算式是两个相同的数n相乘，第二个算式的两个乘数分别比n小1、比n大1，结果比n²小1，据此归纳出用字母表示的规律；第三步利用已学的平方差公式展开验证，证明规律的正确性。
【解析】
(1) 直接计算整数乘法：
第一组：$8×8=64$，$7×9=63$；
第二组：$5×5=25$，$4×6=24$；
第三组：$12×12=144$，$11×13=143$。
(2) 观察可得：每组中，两个相差为2的数相乘，等于这两个数中间的数的平方减1，用字母表示为：$(n-1)(n+1)=n^2-1$。
(3) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=n$，$b=1$，代入公式左边得：$(n+1)(n-1)=n^2-1^2=n^2-1$，和右边相等，因此规律成立。
【答案】
(1) $\begin{cases} 8×8=64, \\7×9=63, \end{cases}$ $\begin{cases}5×5=25, \\4×6=24, \end{cases}$ $\begin{cases}12×12=144, \\11×13=143. \end{cases}$
(2) $(n-1)(n+1)=n^2-1$
(3) 由平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$可知，当$a=n,b=1$时，有$(n-1)(n+1)=n^2-1$成立。
【知识点】
1. 整数乘法运算
2. 平方差公式
3. 代数式规律探究
【点评】
本题从具体的数值计算入手，引导学生自主归纳代数规律并进行证明，既考查了基础运算能力，又锻炼了归纳总结和逻辑验证的思维，有助于加深对平方差公式的理解。
【难度系数】
0.8
