平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的.用字母表示为$(a + b)(a - b)=$.

平方差 $a^2 - b^2$

【分析】
这是一道考查平方差公式基础定义的题目，解题时可先回忆平方差公式的推导及内容：我们可以通过多项式乘多项式的规则计算$(a+b)(a-b)$，展开后会发现一次项相互抵消，最终得到两个数的平方相减的结果，对应文字表述就是两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，直接对应填空即可。
【解析】
首先明确平方差公式的文字定义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
我们可以通过多项式乘法推导验证其字母表达式：
$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a· a - a· b + b· a - b· b\\&=a^2 -ab +ab -b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
因此两个空依次填写平方差、$a^2 - b^2$。
【答案】
平方差；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式；多项式乘法
【点评】
本题属于基础概念类题目，侧重考查对平方差公式内容的识记，掌握平方差公式的文字表述和字母表达是解题的核心，这类题目是后续运用平方差公式进行简便运算的基础。
【难度系数】
0.9

「典例1」利用平方差公式计算：
(1)$(3x+5y)(3x-5y)$；
(2)$(0.5b+a)(-0.5b+a)$；
(3)$(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)·(3x+4y)$。
典例解析

1. $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2.$
2. $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
3. $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$=13x^2 -25y^2.$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，运算结果为相同项的平方减去互为相反项的平方，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$。解题时第一步先从每个乘法式子里识别出相同项（对应公式里的$a$）和相反项（对应公式里的$b$），第二步套用平方差公式展开，若式子有加减运算，再合并同类项得到最终结果。具体到各小题：(1)中相同项为$3x$，相反项为$5y$和$-5y$；(2)可先调整项的顺序，把相同项$a$放在前面，更易识别公式结构；(3)分别对两个乘法式套用平方差公式，再去括号合并同类项即可。
【解析】
(1) 识别相同项和相反项后套用平方差公式：
$\begin{aligned}(3x+5y)(3x-5y)&=(3x)^2 - (5y)^2\\&=9x^2 - 25y^2\end{aligned}$
(2) 先调整项的顺序，再套用平方差公式：
$\begin{aligned}(0.5b+a)(-0.5b+a)&=(a+0.5b)(a-0.5b)\\&=a^2 - (0.5b)^2\\&=a^2 - 0.25b^2\end{aligned}$
(3) 分别对两个乘法运算套用平方差公式，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y)\\=&(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]\\=&4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2\\=&13x^2 - 25y^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{9x^2 - 25y^2}$
(2) $\boldsymbol{a^2 - 0.25b^2}$
(3) $\boldsymbol{13x^2 - 25y^2}$
【知识点】
平方差公式、整式混合运算、合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，找准相同项和相反项；计算时要注意项的系数也要同步平方，涉及混合运算时要注意去括号的符号规则，避免符号出错。
【难度系数】
0.8

典例1
解 (1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2.$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - 0.25b^2.$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x) · (3x + 4y)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$

解：
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y)$
$=(3x)^2 - (5y)^2$
$=9x^2 - 25y^2$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a)$
$=(a + 0.5b)(a - 0.5b)$
$=a^2 - (0.5b)^2$
$=a^2 - 0.25b^2$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)·(3x + 4y)$
$=(2x + 3y)(2x - 3y) - (4y + 3x)(4y - 3x)$
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$=13x^2 - 25y^2$

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题时先明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，结果为相同项的平方减去相反项的平方。
(1)观察式子可直接识别相同项为3x，相反项为5y和-5y，直接套用平方差公式计算即可；
(2)先调整两个因式中项的顺序，把相同项a放在前面，相反项±0.5b放在后面，再套用平方差公式计算；
(3)先分别对两个乘积项调整项的顺序，识别各自的相同项和相反项，分别套用平方差公式，再去括号（注意括号前是负号时括号内各项要变号），最后合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 计算$(3x + 5y)(3x - 5y)$：
根据平方差公式，相同项为$3x$，相反项为$\pm5y$，代入公式得：
$=(3x)^2 - (5y)^2$
$=9x^2 - 25y^2$
(2) 计算$(0.5b + a)(-0.5b + a)$：
先调整项的顺序，将相同项$a$放在首位：
$=(a + 0.5b)(a - 0.5b)$
相同项为$a$，相反项为$\pm0.5b$，套用平方差公式得：
$=a^2 - (0.5b)^2$
$=a^2 - 0.25b^2$
(3) 计算$(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)·(3x + 4y)$：
第一步调整两个乘积项的顺序，识别平方差结构：
$=(2x + 3y)(2x - 3y) - (4y + 3x)(4y - 3x)$
分别对两个乘积套用平方差公式：
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
计算平方并去括号，注意括号前为负号，括号内各项变号：
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
合并同类项得：
$=13x^2 - 25y^2$
【答案】
(1) $9x^2 - 25y^2$；(2) $a^2 - 0.25b^2$；(3) $13x^2 - 25y^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算；合并同类项
【点评】
本题是平方差公式的典型应用题型，解题核心是准确判断两个因式中的相同项和相反项，套用公式时要注意给项的系数也做平方运算，涉及去括号时要格外注意符号规则，熟练掌握公式结构能有效降低整式运算的出错率。
【难度系数】
0.8

典例2 计算：
(1)$103 × 97$； (2)$59.8 × 60.2$.
$=13x^2 -25y^2$.
典例2
解 (1)$103 × 97=(100+3)(100-3)$
$=100^2 -3^2=10\ 000 -9=9\ 991$.
(2)$59.8 × 60.2=(60-0.2)(60+0.2)$
$=60^2 -0.2^2$
$=3\ 600 -0.04$
$=3\ 599.96$.

1. $103 × 97=(100+3)(100-3)=100^2 -3^2=10\ 000 -9=9\ 991$.
2. $59.8 × 60.2=(60-0.2)(60+0.2)=60^2 -0.2^2=3\ 600 -0.04=3\ 599.96$.

【分析】
观察两个乘法算式的因数特征：(1)中103和97都接近整百数100，可分别改写为100+3和100-3；(2)中59.8和60.2都接近整数60，可分别改写为60-0.2和60+0.2。改写后的式子刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，因此可以套用平方差公式进行简便计算，无需直接列竖式运算。
【解析】
(1) 计算$103 × 97$：
将因数变形为$103=100+3$，$97=100-3$，代入原式：
$\begin{aligned}103 × 97&=(100+3)(100-3)\\&=100^2 - 3^2\\&=10000 - 9\\&=9991\end{aligned}$
(2) 计算$59.8 × 60.2$：
将因数变形为$59.8=60-0.2$，$60.2=60+0.2$，代入原式：
$\begin{aligned}59.8 × 60.2&=(60-0.2)(60+0.2)\\&=60^2 - 0.2^2\\&=3600 - 0.04\\&=3599.96\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{9991}$；(2) $\boxed{3599.96}$
【知识点】
1. 平方差公式 2. 乘法简便运算
【点评】
本题是平方差公式在数值计算中的典型应用，核心是要敏锐观察到相乘的两个数与同一个整数的差、和关系，通过变形套用公式简化计算，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8