1. (2025·浙江)已知反比例函数$y=-\frac{7}{x}$. 下列选项正确的是
（）

A.函数图象在第一、三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.y随x的增大而增大

C

【分析】
解决本题需回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象和性质，首先确定函数中$k$的正负，再结合性质逐一判断每个选项：1.先判断$k=-7＜0$，对应图象所在象限；2.分析增减性时，需注意反比例函数的增减性必须限定在“每个象限内”，跨象限不满足该规律，据此排除错误选项即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，性质如下：
当$k＞0$时，函数图象位于第一、三象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；
当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
本题中反比例函数为$y=-\frac{7}{x}$，则$k=-7＜0$：
A选项：$k＜0$时图象在第二、四象限，A错误；
B选项：$k＜0$时不存在整体$y$随$x$增大而减小的规律，且未限定“在每个象限内”，B错误；
C选项：$k=-7＜0$，函数图象在第二、四象限，C正确；
D选项：未说明“在每个象限内”，跨象限时不满足$y$随$x$的增大而增大，D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，解题的核心是明确$k$的符号与图象象限、增减性的对应关系，需特别注意增减性的成立前提是“在同一象限内”，忽略该前提容易错选D。
【难度系数】
0.8

2. (2025·河北)在反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$中,若$2＜y＜4$,则 ()

A.$\dfrac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

B

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$y$的取值范围是$2＜y＜4$，均为正数，可知对应图象在第一象限，我们可以先将$y$的边界值代入函数解析式求出对应的$x$值，再结合函数的增减性确定$x$的取值范围。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\dfrac{4}{x}$中$k=4＞0$，
∴ 在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小，且$x＞0$，$y＞0$。
当$y=2$时，代入解析式得：$2=\dfrac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入解析式得：$4=\dfrac{4}{x}$，解得$x=1$。
∵ $2＜y＜4$，且$y$随$x$增大而减小，
∴ 对应的$x$的取值范围是$1＜x＜2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质、函数自变量范围求解
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用，解题关键是明确反比例函数增减性的适用范围（同一象限内），再结合边界值计算推导自变量的范围，要注意避免因增减性判断错误导致不等号方向弄反的问题。
【难度系数】
0.8

3. (2025·广州)若$|k|=-k(k≠0)$，则反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在（）

A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

C

【分析】
解题时首先从已知条件$|k|=-k(k≠0)$入手，先回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，由此可以推出k的正负性；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象与k符号的对应规律，就能判断出函数图象所在的象限。
【解析】
第一步：根据绝对值的性质判断k的符号
已知$|k|=-k$且$k≠0$，说明k的绝对值等于它的相反数，因此$k＜0$。
第二步：根据反比例函数的图象性质判断象限
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。
因为本题中$k＜0$，所以该反比例函数的图象在第二、四象限。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题型，综合考查了绝对值的化简和反比例函数的图象性质，解题核心是先准确判断出k的正负，再对应反比例函数的图象规律得出结论，只要掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.85

4. (2026·河北)平面直角坐标系中有$A(1,n)$,$B(m,6)$,$C(m,n)$三点.若直线$AB$经过原点,则点$C$一定在 ()

A.函数$y=\frac{1}{6}x$的图象上
B.函数$y=\frac{6}{x}$的图象上
C.函数$y=-x+5$的图象上
D.函数$y=6x$的图象上

B

【分析】
解题时先从已知条件“直线AB经过原点”入手，过原点的直线是正比例函数，可先设其解析式为y=kx（k≠0）。再将A、B两点坐标代入正比例函数解析式，消去参数k后即可得到m、n的数量关系，最后结合点C的坐标特征，判断其符合哪个函数的解析式即可。
【解析】
∵直线AB经过原点，
∴设直线AB的解析式为$y=kx$（$k≠0$）。
将点$A(1,n)$代入$y=kx$，可得：$n = k×1$，即$k=n$。
将点$B(m,6)$和$k=n$代入$y=kx$，可得：$6 = n× m$，即$mn=6$。
∵点C的坐标为$(m,n)$，即点C的横坐标为$x=m$，纵坐标为$y=n$，
∴$xy = m· n =6$，变形得$y=\frac{6}{x}$，即点C一定在函数$y=\frac{6}{x}$的图象上。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的判定；点与函数图象的关系
【点评】
本题是函数基础题，解题核心是利用正比例函数的图象特征推导m、n的乘积关系，再对应反比例函数的解析式判断点的位置，解题思路清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

5. 反比例函数$y=\frac{a}{x}(a＞0,a$为常数$)$和$y=\frac{2}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点M在$y=\frac{a}{x}$的图象上，$MC ⊥ x$轴于点C，交$y=\frac{2}{x}$的图象于点A；$MD ⊥ y$轴于点D，交$y=\frac{2}{x}$的图象于点B。当点M在$y=\frac{a}{x}$的图象上运动时，以下结论：①$S_{△ ODB}=S_{△ OCA}$；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点。其中正确结论的个数是（）

A.0
B.1
C.2
D.3

D

【分析】
解题时先利用反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k$的几何意义：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，再结合点的坐标特征、面积公式逐一判断三个结论：
1. 先判断两个小三角形的面积，直接利用k的几何意义计算即可；
2. 四边形OAMB的面积可通过矩形OCMD的面积减去两个小三角形的面积推导，判断是否为定值；
3. 设出点M坐标，结合中点的坐标特征推导点B的位置，判断是否为MD中点。
【解析】
设点$M$的坐标为$(m,n)$，因为点$M$在$y=\frac{a}{x}$的图象上，所以$mn=a$。
由题意得：点$A$横坐标为$m$，在$y=\frac{2}{x}$上，故$A(m,\frac{2}{m})$；点$B$纵坐标为$n$，在$y=\frac{2}{x}$上，故$B(\frac{2}{n},n)$。
1. 判断结论①：
$S_{△ ODB}=\frac{1}{2}× OD× BD=\frac{1}{2}× n× \frac{2}{n}=1$，
$S_{△ OCA}=\frac{1}{2}× OC× AC=\frac{1}{2}× m× \frac{2}{m}=1$，
所以$S_{△ ODB}=S_{△ OCA}$，结论①正确。
2. 判断结论②：
矩形$OCMD$的面积$S_{矩形OCMD}=OC× OD=m× n=a$，
则$S_{四边形OAMB}=S_{矩形OCMD}-S_{△ ODB}-S_{△ OCA}=a-1-1=a-2$，
因为$a$为常数，所以四边形OAMB的面积不变，结论②正确。
3. 判断结论③：
若点$A$是$MC$的中点，则$AC=\frac{1}{2}MC$，即$\frac{2}{m}=\frac{1}{2}n$，整理得$mn=4$，即$a=4$。
此时点$B$的横坐标为$\frac{2}{n}$，将$mn=4$变形为$m=\frac{4}{n}$，可得$\frac{2}{n}=\frac{1}{2}m$，即$BD=\frac{1}{2}MD$，所以点$B$是$MD$的中点，结论③正确。
综上，①②③三个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数$k$的几何意义
2. 反比例函数图象上点的坐标特征
3. 图形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的综合基础题，核心考查反比例函数中$k$的几何意义的应用，结合坐标运算和图形面积的转化即可解题，是反比例函数章节的典型考法，熟练掌握$k$的几何意义能大幅提高解题效率。
【难度系数】
0.7