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6.若甲、乙两个正数相差1.6，且甲数的$\frac{3}{4}$和乙数的$\frac{5}{6}$相等，则甲、乙两数的和是
30.4
。答案
6. 30.4
解析
【分析】
解题时首先明确题中的两个等量关系：①甲数 - 乙数 = 1.6（由甲数的$\frac{3}{4}$等于乙数的$\frac{5}{6}$可判断甲数更大）；②$\mathrm{甲数}×\frac{3}{4}=\mathrm{乙数}×\frac{5}{6}$。我们可以设甲数为未知数，用含未知数的式子表示乙数，再根据第二个等量关系列一元一次方程，解方程求出两数后相加即可得到结果。
【解析】
设甲数为$x$，则乙数为$x-1.6$。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}x=\frac{5}{6}(x-1.6)$
两边同时乘4和6的最小公倍数12去分母，得：
$9x=10(x-1.6)$
去括号，得：
$9x=10x-16$
移项、合并同类项，得：
$x=16$
则乙数为$16-1.6=14.4$，
甲、乙两数的和为$16+14.4=30.4$。
【答案】
30.4
【知识点】
列一元一次方程解应用题；去分母解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题是典型的和差倍分类方程应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，正确列出方程，去分母时要注意给方程每一项都乘最小公倍数，避免漏乘常数项出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题中的两个等量关系：①甲数 - 乙数 = 1.6（由甲数的$\frac{3}{4}$等于乙数的$\frac{5}{6}$可判断甲数更大）；②$\mathrm{甲数}×\frac{3}{4}=\mathrm{乙数}×\frac{5}{6}$。我们可以设甲数为未知数，用含未知数的式子表示乙数，再根据第二个等量关系列一元一次方程，解方程求出两数后相加即可得到结果。
【解析】
设甲数为$x$，则乙数为$x-1.6$。
根据题意列方程：
$\frac{3}{4}x=\frac{5}{6}(x-1.6)$
两边同时乘4和6的最小公倍数12去分母，得：
$9x=10(x-1.6)$
去括号，得：
$9x=10x-16$
移项、合并同类项，得：
$x=16$
则乙数为$16-1.6=14.4$，
甲、乙两数的和为$16+14.4=30.4$。
【答案】
30.4
【知识点】
列一元一次方程解应用题；去分母解一元一次方程；等式的性质
【点评】
本题是典型的和差倍分类方程应用题，解题核心是找准题目中的等量关系，正确列出方程，去分母时要注意给方程每一项都乘最小公倍数，避免漏乘常数项出错。
【难度系数】
0.7
7. 一题多解 小丽计划从甲地步行到乙地，再按照原路线用相同的时间返回甲地，从甲地步行到乙地的速度是6 km/h，结果比计划的时间早到20 min，从乙地返回甲地的速度是4 km/h，结果比计划的时间晚到5 min，求甲、乙两地之间的距离.
答案
7. 解:设甲、乙两地之间的距离是 $x$ km,
由题意得$\dfrac{x}{6}+\dfrac{20}{60}=\dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{60}$.
去分母,得 $10x+20=15x-5$.
移项,得 $10x-15x=-5-20$.
合并同类项,得 $-5x=-25$.
系数化为 1,得 $x=5$.
答:甲、乙两地之间的距离是 5 km.
一题多解
设计划用的时间是 $t$ h,
由题意得 $6(t-\dfrac{20}{60})=4(t+\dfrac{5}{60})$.
去括号,得 $6t-2=4t+\dfrac{1}{3}$.
移项,得 $6t-4t=\dfrac{1}{3}+2$.
合并同类项,得 $2t=\dfrac{7}{3}$.
系数化为 1,得 $t=\dfrac{7}{6}$.
进而 $6(t-\dfrac{20}{60})=5$.
答:甲、乙两地之间的距离是 5 km.
由题意得$\dfrac{x}{6}+\dfrac{20}{60}=\dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{60}$.
去分母,得 $10x+20=15x-5$.
移项,得 $10x-15x=-5-20$.
合并同类项,得 $-5x=-25$.
系数化为 1,得 $x=5$.
答:甲、乙两地之间的距离是 5 km.
一题多解
设计划用的时间是 $t$ h,
由题意得 $6(t-\dfrac{20}{60})=4(t+\dfrac{5}{60})$.
去括号,得 $6t-2=4t+\dfrac{1}{3}$.
移项,得 $6t-4t=\dfrac{1}{3}+2$.
合并同类项,得 $2t=\dfrac{7}{3}$.
系数化为 1,得 $t=\dfrac{7}{6}$.
进而 $6(t-\dfrac{20}{60})=5$.
答:甲、乙两地之间的距离是 5 km.
解析
【分析】
这是行程类一元一次方程应用题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系，注意需统一时间单位（将分钟换算为小时）。思路一：设甲乙两地距离为x km，计划单程时间是固定的，去时速度6km/h，比计划早到20min，因此计划时间=去时用时+$\frac{20}{60}$h；返回时速度4km/h，比计划晚到5min，因此计划时间=返回用时-$\frac{5}{60}$h，两个式子相等即可列方程求解。思路二：设计划单程用时为t h，甲乙两地距离是固定的，去时实际用时为$(t-\frac{20}{60})$h，路程=$6×(t-\frac{20}{60})$；返回时实际用时为$(t+\frac{5}{60})$h，路程=$4×(t+\frac{5}{60})$，两个路程相等即可列方程先求时间，再算距离。
【解析】
解法1：设甲、乙两地之间的距离是$x$ km，
由题意得$\dfrac{x}{6}+\dfrac{20}{60}=\dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{60}$
去分母，得 $10x+20=15x-5$
移项，得 $10x-15x=-5-20$
合并同类项，得 $-5x=-25$
系数化为1，得 $x=5$
解法2：设计划用的时间是 $t$ h，
由题意得 $6(t-\dfrac{20}{60})=4(t+\dfrac{5}{60})$
去括号，得 $6t-2=4t+\dfrac{1}{3}$
移项，得 $6t-4t=\dfrac{1}{3}+2$
合并同类项，得 $2t=\dfrac{7}{3}$
系数化为1，得 $t=\dfrac{7}{6}$
进而甲、乙两地距离为$6(t-\dfrac{20}{60})=5$（km）
【答案】
5 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，去分母解方程
【点评】
本题是行程类应用题的典型习题，解题的关键是找准题目中的不变量构建等量关系，解题时要注意时间单位的统一，避免因单位不一致出错，掌握一题多解的方法有助于拓宽解题思路，提升分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
这是行程类一元一次方程应用题，解题核心是抓住题目中的不变量建立等量关系，注意需统一时间单位（将分钟换算为小时）。思路一：设甲乙两地距离为x km，计划单程时间是固定的，去时速度6km/h，比计划早到20min，因此计划时间=去时用时+$\frac{20}{60}$h；返回时速度4km/h，比计划晚到5min，因此计划时间=返回用时-$\frac{5}{60}$h，两个式子相等即可列方程求解。思路二：设计划单程用时为t h，甲乙两地距离是固定的，去时实际用时为$(t-\frac{20}{60})$h，路程=$6×(t-\frac{20}{60})$；返回时实际用时为$(t+\frac{5}{60})$h，路程=$4×(t+\frac{5}{60})$，两个路程相等即可列方程先求时间，再算距离。
【解析】
解法1：设甲、乙两地之间的距离是$x$ km，
由题意得$\dfrac{x}{6}+\dfrac{20}{60}=\dfrac{x}{4}-\dfrac{5}{60}$
去分母，得 $10x+20=15x-5$
移项，得 $10x-15x=-5-20$
合并同类项，得 $-5x=-25$
系数化为1，得 $x=5$
解法2：设计划用的时间是 $t$ h，
由题意得 $6(t-\dfrac{20}{60})=4(t+\dfrac{5}{60})$
去括号，得 $6t-2=4t+\dfrac{1}{3}$
移项，得 $6t-4t=\dfrac{1}{3}+2$
合并同类项，得 $2t=\dfrac{7}{3}$
系数化为1，得 $t=\dfrac{7}{6}$
进而甲、乙两地距离为$6(t-\dfrac{20}{60})=5$（km）
【答案】
5 km
【知识点】
一元一次方程应用，行程问题，去分母解方程
【点评】
本题是行程类应用题的典型习题，解题的关键是找准题目中的不变量构建等量关系，解题时要注意时间单位的统一，避免因单位不一致出错，掌握一题多解的方法有助于拓宽解题思路，提升分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. (2026河北邢台期末)嘉淇在解关于x的方程$\frac{x-a}{2}-1=\frac{x}{3}$的过程中，去分母时，等号左边的“-1”漏乘了各分母的最小公倍数6，其他步骤均正确，从而求得方程的解为$x=4$，则原方程的解为（
A.$x=-7$
B.$x=7$
C.$x=9$
D.$x=2$
C
）A.$x=-7$
B.$x=7$
C.$x=9$
D.$x=2$
答案
8. C 启发与线索 将错解 $x=4$ 代入去分母后得到的错误方程 $3(x-a)-1=2x$ 中,求出 $a=1$,再正确解方程即可.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，根据题干中“去分母时-1漏乘6”的错误操作，写出对应的错误去分母后的方程；第二步，由于除漏乘外其余步骤均正确，因此错解x=4满足这个错误方程，将x=4代入错误方程即可求出参数a的值；第三步，把求得的a代入原方程，按照去分母解一元一次方程的正确步骤计算，即可得到原方程的解。
【解析】
1. 先写出错误去分母后的方程：
原方程去分母时，等号左边的-1漏乘6，其余项正常乘6，可得错误方程：
$3(x-a)-1=2x$
2. 将错解$x=4$代入错误方程求a：
把$x=4$代入$3(x-a)-1=2x$，得：
$3(4-a)-1=2×4$
计算得：$12-3a-1=8$
化简：$11-3a=8$
移项得：$-3a=8-11=-3$
解得：$a=1$
3. 将$a=1$代入原方程，正确求解：
原方程为$\frac{x-1}{2}-1=\frac{x}{3}$
两边同乘6去分母，得：$3(x-1)-6=2x$
展开括号：$3x-3-6=2x$
化简：$3x-9=2x$
移项得：$3x-2x=9$
解得：$x=9$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的错解问题；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的一元一次方程错解类题型，解题核心是抓住“错解符合错误操作对应的方程”这一关键点，先求出未知参数，再代入原方程求解，同时也提醒同学们解一元一次方程去分母时，要注意不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，根据题干中“去分母时-1漏乘6”的错误操作，写出对应的错误去分母后的方程；第二步，由于除漏乘外其余步骤均正确，因此错解x=4满足这个错误方程，将x=4代入错误方程即可求出参数a的值；第三步，把求得的a代入原方程，按照去分母解一元一次方程的正确步骤计算，即可得到原方程的解。
【解析】
1. 先写出错误去分母后的方程：
原方程去分母时，等号左边的-1漏乘6，其余项正常乘6，可得错误方程：
$3(x-a)-1=2x$
2. 将错解$x=4$代入错误方程求a：
把$x=4$代入$3(x-a)-1=2x$，得：
$3(4-a)-1=2×4$
计算得：$12-3a-1=8$
化简：$11-3a=8$
移项得：$-3a=8-11=-3$
解得：$a=1$
3. 将$a=1$代入原方程，正确求解：
原方程为$\frac{x-1}{2}-1=\frac{x}{3}$
两边同乘6去分母，得：$3(x-1)-6=2x$
展开括号：$3x-3-6=2x$
化简：$3x-9=2x$
移项得：$3x-2x=9$
解得：$x=9$
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的错解问题；去分母解一元一次方程
【点评】
本题是典型的一元一次方程错解类题型，解题核心是抓住“错解符合错误操作对应的方程”这一关键点，先求出未知参数，再代入原方程求解，同时也提醒同学们解一元一次方程去分母时，要注意不要漏乘不含分母的项。
【难度系数】
0.7
9. 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题，其内容大致如下：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知……，那么甜果、苦果各买了多少个？若设甜果买了$ x $个，则可列出符合题意的一元一次方程$\frac{11x}{9}+\frac{4(1000 - x)}{7}=999$，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失的条件应为（
A.十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果
B.九文钱可买十一个甜果，七文钱可买四个苦果
C.七文钱可买四个甜果，九文钱可买十一个苦果
D.四文钱可买七个甜果，十一文钱可买九个苦果
A
）A.十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果
B.九文钱可买十一个甜果，七文钱可买四个苦果
C.七文钱可买四个甜果，九文钱可买十一个苦果
D.四文钱可买七个甜果，十一文钱可买九个苦果
答案
9. A
解析
【分析】
解题时我们先抓住方程的等量关系：总花费=甜果总花费+苦果总花费，已知甜果数量为x个、苦果数量为(1000-x)个，我们只需要分别从甜果、苦果的总花费表达式推导出二者的单价对应关系，就能得到缺失的条件。第一步先根据甜果总花费表达式推导甜果的售价规则，第二步根据苦果总花费表达式推导苦果的售价规则，最后对应选项即可得到答案。
【解析】
方程$\frac{11x}{9}+\frac{4(1000 - x)}{7}=999$的等量关系为：买甜果的总费用+买苦果的总费用=999文。
1. 推导甜果售价：甜果数量为$x$个，总花费为$\frac{11x}{9}$文，因此单个甜果价格为$\frac{11x}{9} ÷ x = \frac{11}{9}$文，即11文钱可以买9个甜果。
2. 推导苦果售价：苦果数量为$(1000-x)$个，总花费为$\frac{4(1000-x)}{7}$文，因此单个苦果价格为$\frac{4(1000-x)}{7} ÷ (1000-x) = \frac{4}{7}$文，即4文钱可以买7个苦果。
综上，缺失的条件对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题结合中国古代数学典籍的问题背景，考查从已知方程反推实际情境条件的能力，核心是掌握总价、单价、数量三者的运算关系，是一元一次方程应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时我们先抓住方程的等量关系：总花费=甜果总花费+苦果总花费，已知甜果数量为x个、苦果数量为(1000-x)个，我们只需要分别从甜果、苦果的总花费表达式推导出二者的单价对应关系，就能得到缺失的条件。第一步先根据甜果总花费表达式推导甜果的售价规则，第二步根据苦果总花费表达式推导苦果的售价规则，最后对应选项即可得到答案。
【解析】
方程$\frac{11x}{9}+\frac{4(1000 - x)}{7}=999$的等量关系为：买甜果的总费用+买苦果的总费用=999文。
1. 推导甜果售价：甜果数量为$x$个，总花费为$\frac{11x}{9}$文，因此单个甜果价格为$\frac{11x}{9} ÷ x = \frac{11}{9}$文，即11文钱可以买9个甜果。
2. 推导苦果售价：苦果数量为$(1000-x)$个，总花费为$\frac{4(1000-x)}{7}$文，因此单个苦果价格为$\frac{4(1000-x)}{7} ÷ (1000-x) = \frac{4}{7}$文，即4文钱可以买7个苦果。
综上，缺失的条件对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题结合中国古代数学典籍的问题背景，考查从已知方程反推实际情境条件的能力，核心是掌握总价、单价、数量三者的运算关系，是一元一次方程应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
10. (2026 福建福州期末)若关于$x$的方程$\frac{3x-1}{2}=\frac{kx+2}{3}$有整数解，则所有满足条件的整数$k$的值之和为
18
.答案
10. 18 启发与线索 解方程得到 $x=\dfrac{7}{9-2k}$,由 $x$ 为整数可知 $9-2k$ 的值为 1 或 7 或 $-1$ 或 $-7$,进而求出 $k$ 值.
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程求整数解的问题，解题思路可分为三步：第一步，先将参数k看作常数，按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），用含k的代数式表示出x；第二步，结合x是整数、k是整数的条件，可知x的分母$9-2k$是分子7的整数因数，需注意正、负因数都要考虑，不能遗漏；第三步，分别计算每种因数对应的k值，再将所有符合条件的k值相加即可得到结果。
【解析】
解：对原方程去分母，两边同时乘以6得：
$3(3x-1)=2(kx+2)$
去括号得：
$9x - 3 = 2kx + 4$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$9x - 2kx = 4 + 3$
合并同类项得：
$(9 - 2k)x = 7$
当$9-2k≠0$时，系数化为1得：
$x=\frac{7}{9-2k}$
∵ 方程有整数解，且k为整数
∴ $9-2k$是7的整数因数，7的整数因数为$\pm1、\pm7$，分情况讨论：
① 当$9-2k=1$时，解得$k=4$；
② 当$9-2k=-1$时，解得$k=5$；
③ 当$9-2k=7$时，解得$k=1$；
④ 当$9-2k=-7$时，解得$k=8$；
所有满足条件的整数k的值之和为：$4+5+1+8=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 解一元一次方程 2. 整数解判定 3. 因数的应用
【点评】
本题易错点是容易遗漏负因数的情况，解题核心是先将参数看作常数求出方程的解，再结合整数性质枚举所有可能的因数情况，逐一计算参数值后求和即可。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的一元一次方程求整数解的问题，解题思路可分为三步：第一步，先将参数k看作常数，按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），用含k的代数式表示出x；第二步，结合x是整数、k是整数的条件，可知x的分母$9-2k$是分子7的整数因数，需注意正、负因数都要考虑，不能遗漏；第三步，分别计算每种因数对应的k值，再将所有符合条件的k值相加即可得到结果。
【解析】
解：对原方程去分母，两边同时乘以6得：
$3(3x-1)=2(kx+2)$
去括号得：
$9x - 3 = 2kx + 4$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$9x - 2kx = 4 + 3$
合并同类项得：
$(9 - 2k)x = 7$
当$9-2k≠0$时，系数化为1得：
$x=\frac{7}{9-2k}$
∵ 方程有整数解，且k为整数
∴ $9-2k$是7的整数因数，7的整数因数为$\pm1、\pm7$，分情况讨论：
① 当$9-2k=1$时，解得$k=4$；
② 当$9-2k=-1$时，解得$k=5$；
③ 当$9-2k=7$时，解得$k=1$；
④ 当$9-2k=-7$时，解得$k=8$；
所有满足条件的整数k的值之和为：$4+5+1+8=18$
【答案】
18
【知识点】
1. 解一元一次方程 2. 整数解判定 3. 因数的应用
【点评】
本题易错点是容易遗漏负因数的情况，解题核心是先将参数看作常数求出方程的解，再结合整数性质枚举所有可能的因数情况，逐一计算参数值后求和即可。
【难度系数】
0.6
11.已知$a,b$为有理数,若无论$k$为何值,关于$x$的方程$\frac{x - bk}{3}=\frac{3kx + a}{2}-1$的解总是$x = 2$,则$ab$的值为
-30
.答案
11. -30 解析 把 $x=2$ 代入方程 $\dfrac{x-bk}{3}=\dfrac{3kx+a}{2}-1$,化简,得 $(18+2b)k=10-3a$. 因为 $k$ 可以取任意值,所以 $18+2b=0$ 且 $10-3a=0$, 可得 $b=-9,a=\dfrac{10}{3}$. 所以 $ab=\dfrac{10}{3}×(-9)=-30$.
解析
【分析】
首先，题目明确无论k取何值，x=2都是方程的解，因此第一步我们可以先将x=2代入原方程，得到一个含有参数a、b和k的等式。接下来，由于这个等式对任意有理数k都成立，说明等式中含k的项的总系数必须为0（否则k只能取特定值才能让等式成立，不符合“无论k为何值都成立”的要求），同时等式的常数项也必须为0，这样就能得到关于a、b的两个一元一次方程，求解得到a、b的值后计算ab即可。
【解析】
解：把$x=2$代入原方程，得：
$\dfrac{2 - bk}{3} = \dfrac{6k + a}{2} - 1$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(2 - bk) = 3(6k + a) - 6$
去括号，得：
$4 - 2bk = 18k + 3a - 6$
移项、合并同类项，得：
$(18 + 2b)k = 10 - 3a$
$\because$ 无论$k$为何值，上式都成立
$\therefore$ 含$k$的项系数为0，且常数项为0，即：
$\begin{cases}18 + 2b = 0 \\ 10 - 3a = 0\end{cases}$
解得：$b=-9$，$a=\dfrac{10}{3}$
$\therefore ab = \dfrac{10}{3} × (-9) = -30$
【答案】
$-30$
【知识点】
1. 方程的解的定义 2. 去分母解方程 3. 恒等式成立条件
【点评】
这是一元一次方程中典型的参数求解问题，核心难点在于理解“对任意k都成立”的条件，解题时先利用方程解的定义代入固定解，再将等式整理为关于k的形式，令k的系数和常数项分别为0即可求出未知参数，解题过程需要熟练掌握一元一次方程的基础求解步骤。
【难度系数】
0.5
首先，题目明确无论k取何值，x=2都是方程的解，因此第一步我们可以先将x=2代入原方程，得到一个含有参数a、b和k的等式。接下来，由于这个等式对任意有理数k都成立，说明等式中含k的项的总系数必须为0（否则k只能取特定值才能让等式成立，不符合“无论k为何值都成立”的要求），同时等式的常数项也必须为0，这样就能得到关于a、b的两个一元一次方程，求解得到a、b的值后计算ab即可。
【解析】
解：把$x=2$代入原方程，得：
$\dfrac{2 - bk}{3} = \dfrac{6k + a}{2} - 1$
去分母，两边同时乘6，得：
$2(2 - bk) = 3(6k + a) - 6$
去括号，得：
$4 - 2bk = 18k + 3a - 6$
移项、合并同类项，得：
$(18 + 2b)k = 10 - 3a$
$\because$ 无论$k$为何值，上式都成立
$\therefore$ 含$k$的项系数为0，且常数项为0，即：
$\begin{cases}18 + 2b = 0 \\ 10 - 3a = 0\end{cases}$
解得：$b=-9$，$a=\dfrac{10}{3}$
$\therefore ab = \dfrac{10}{3} × (-9) = -30$
【答案】
$-30$
【知识点】
1. 方程的解的定义 2. 去分母解方程 3. 恒等式成立条件
【点评】
这是一元一次方程中典型的参数求解问题，核心难点在于理解“对任意k都成立”的条件，解题时先利用方程解的定义代入固定解，再将等式整理为关于k的形式，令k的系数和常数项分别为0即可求出未知参数，解题过程需要熟练掌握一元一次方程的基础求解步骤。
【难度系数】
0.5
12. 🔵一题多解 🔵新素养·模型观念 一个水池设有注水管和排水管,单独打开注水管2 h可注满水池,单独打开排水管3 h可将一池水排完.现向这个空水池注水,将注水管与排水管同时打开若干小时后,关闭注水管,只用排水管将水池中的水排完.若关闭注水管后,只用排水管排掉水池中的水所用的时间比两管同时打开的时间少10 min,求两管同时打开了多少小时.
答案
12. 解:设两管同时打开了 $x$ h,
由题意得 $(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})x=\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{10}{60})$(关键点:用不同的方式表示水池中的水量).
去括号,得 $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{18}$.
去分母,得 $9x-6x=6x-1$.
移项,得 $9x-6x-6x=-1$.
合并同类项,得 $-3x=-1$.
系数化为 1,得 $x=\dfrac{1}{3}$.
答:两管同时打开了 $\dfrac{1}{3}$ h.
一题多解
设两管同时打开了 $x$ h,由题意可得线段图如下:
由题意得 $\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{10}{60})$.
去括号,得 $\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{18}$.
去分母,得 $9x=6x+6x-1$.
移项,得 $9x-6x-6x=-1$.
合并同类项,得 $-3x=-1$.
系数化为 1,得 $x=\dfrac{1}{3}$.
答:两管同时打开了 $\dfrac{1}{3}$ h.
解析
【分析】
这是工程类一元一次方程应用题，解题时首先将水池总容量看作单位“1”，可得注水管每小时注$\frac{1}{2}$池，排水管每小时排$\frac{1}{3}$池。思考步骤如下：①统一单位：题目中10分钟需换算为$\frac{10}{60}$小时，和问题的时间单位保持一致；②找等量关系：可选两种等量关系列方程，一是两管同时打开的蓄水量（效率差×同时开启时间）=关闭注水管后排水管的排水量（排水效率×排水时间）；二是注水管总进水量=排水管总出水量（对应线段图的数量关系）。设两管同时打开的时间为$x$ h，代入等量关系即可列方程求解。
【解析】
解法1：设两管同时打开了$x$ h，
两管同时开启时每小时蓄水量为$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，关闭注水管后排水时间为$(x-\frac{10}{60})$h，根据蓄水量=排水量列方程：
$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})x=\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{10}{60})$
去括号，得 $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{18}$
去分母（两边同乘18），得 $9x-6x=6x-1$
移项，得 $9x-6x-6x=-1$
合并同类项，得 $-3x=-1$
系数化为1，得 $x=\dfrac{1}{3}$
解法2：设两管同时打开了$x$ h，由线段图分析总进水量等于总出水量：
列方程得：$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{10}{60})$
去括号，得 $\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{18}$
去分母（两边同乘18），得 $9x=6x+6x-1$
移项，得 $9x-6x-6x=-1$
合并同类项，得 $-3x=-1$
系数化为1，得 $x=\dfrac{1}{3}$
【答案】
两管同时打开了$\dfrac{1}{3}$ h。
【知识点】
一元一次方程应用、工程问题、去分母解方程
【点评】
本题考查实际问题与一元一次方程的结合，解题核心是找准数量间的等量关系，要特别注意时间单位的统一，也可借助线段图直观梳理进水量和出水量的关系，帮助快速建立方程，一题多解的思路能很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
这是工程类一元一次方程应用题，解题时首先将水池总容量看作单位“1”，可得注水管每小时注$\frac{1}{2}$池，排水管每小时排$\frac{1}{3}$池。思考步骤如下：①统一单位：题目中10分钟需换算为$\frac{10}{60}$小时，和问题的时间单位保持一致；②找等量关系：可选两种等量关系列方程，一是两管同时打开的蓄水量（效率差×同时开启时间）=关闭注水管后排水管的排水量（排水效率×排水时间）；二是注水管总进水量=排水管总出水量（对应线段图的数量关系）。设两管同时打开的时间为$x$ h，代入等量关系即可列方程求解。
【解析】
解法1：设两管同时打开了$x$ h，
两管同时开启时每小时蓄水量为$(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$，关闭注水管后排水时间为$(x-\frac{10}{60})$h，根据蓄水量=排水量列方程：
$(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})x=\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{10}{60})$
去括号，得 $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{18}$
去分母（两边同乘18），得 $9x-6x=6x-1$
移项，得 $9x-6x-6x=-1$
合并同类项，得 $-3x=-1$
系数化为1，得 $x=\dfrac{1}{3}$
解法2：设两管同时打开了$x$ h，由线段图分析总进水量等于总出水量：
列方程得：$\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}(x-\dfrac{10}{60})$
去括号，得 $\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{18}$
去分母（两边同乘18），得 $9x=6x+6x-1$
移项，得 $9x-6x-6x=-1$
合并同类项，得 $-3x=-1$
系数化为1，得 $x=\dfrac{1}{3}$
【答案】
两管同时打开了$\dfrac{1}{3}$ h。
【知识点】
一元一次方程应用、工程问题、去分母解方程
【点评】
本题考查实际问题与一元一次方程的结合，解题核心是找准数量间的等量关系，要特别注意时间单位的统一，也可借助线段图直观梳理进水量和出水量的关系，帮助快速建立方程，一题多解的思路能很好地锻炼逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
