1. 下列计算错误的是 ()

A.$18° + 38° = 56°$
B.$90° - 38°50' = 61°10'$
C.$21°17' × 5 = 106°25'$
D.$360° ÷ 5 = 72°$

1. B

【分析】
本题考查度分秒的四则运算，解题核心是掌握度分秒的60进制规则：即$1°=60'$，$1'=60''$，计算时相同单位相运算，加法、乘法满60要向高一级单位进1，减法不够减时要向高一级单位借1当60。我们只需逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比，就能找出计算错误的选项。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：同单位加法，$18°+38°=56°$，计算正确，不符合题意；
B选项：减法需借位，将$90°$转化为$89°60'$再计算：$89°60'-38°50'=(89°-38°)+(60'-50')=51°10'$，和选项给出的$61°10'$不符，计算错误，符合题意；
C选项：乘法分别计算度和分：$21°×5=105°$，$17'×5=85'$，将$85'$换算为$1°25'$，合并得$105°+1°25'=106°25'$，计算正确，不符合题意；
D选项：除法直接计算：$360°÷5=72°$，计算正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算、度分秒的运算
【点评】
本题易错点是容易把度分秒的进制当成十进制，尤其是做减法借位和乘法进位的时候，一定要牢记度分秒相邻单位的进率是60，计算完后要注意单位换算。
【难度系数】
0.7

2. (2026江西南昌期末)如图，$∠ AOB=120°$，$∠ COD=α$，则图中所有角的度数之和为（）

A.$360° - α$
B.$360°$
C.$360° + α$
D.$360° + 2α$

2. C 解析 $∠ AOD+∠ AOC+∠ AOB+∠ COD+∠ BOD+∠ BOC=(∠ AOD+∠ BOD)+(∠ AOC+∠ BOC)+∠ AOB+∠ COD=∠ AOB+∠ AOB+∠ AOB+∠ COD=3∠ AOB+∠ COD=360°+α$. 故选 C.

【分析】
首先要先找出图中所有的角，再利用角的和差关系对这些角分组凑整，把未知小角的和转化为已知度数的∠AOB，进而代入数值计算总和。第一步先数角：顶点O处有4条射线OA、OD、OC、OB，共组成6个角，分别为∠AOD、∠AOC、∠AOB、∠COD、∠BOD、∠BOC；第二步分组观察：∠AOD+∠BOD=∠AOB，∠AOC+∠BOC=∠AOB，剩余单独的∠AOB和∠COD，即可将所有角的和转化为3个∠AOB加∠COD，代入已知数值就能得到结果。
【解析】
图中所有角分别为$∠ AOD$、$∠ AOC$、$∠ AOB$、$∠ COD$、$∠ BOD$、$∠ BOC$，它们的度数之和为：
$\begin{aligned}&∠ AOD+∠ AOC+∠ AOB+∠ COD+∠ BOD+∠ BOC\\=&(∠ AOD+∠ BOD)+(∠ AOC+∠ BOC)+∠ AOB+∠ COD\\=&∠ AOB+∠ AOB+∠ AOB+∠ COD\\=&3∠ AOB+∠ COD\end{aligned}$
已知$∠ AOB=120°$，$∠ COD=α$，代入计算得：
$3×120°+α=360°+α$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
角的计数；角的和差运算
【点评】
本题解题关键是正确数出所有角，通过合理分组将零散的小角转化为已知度数的大角，无需单独计算每个未知小角的度数，就能快速求出总和，是角的运算的典型考法。
【难度系数】
0.7

3.小明准备做手工,开始做的时间是六时整,此时分针与时针恰好在一条直线上,做完手工后,小明发现钟面上显示的时间不到七时,但分针与时针又在一条直线上.求小明做手工所用的时间.(小明做手工的时间不超过1h)

3. 解:设小明做手工所用的时间是 x min.
因为分针每分钟转 6°,时针每分钟转 0.5°,
所以由题意得 6x=0.5x+180.
解得 $x=\dfrac{360}{11}$.
答:小明做手工所用的时间是$\dfrac{360}{11}$ min.

【分析】
解决这道题首先要明确钟表上时针和分针的转动速度：分针60分钟转360°，因此每分钟转6°；时针12小时转360°，换算后每分钟转0.5°。已知开始时间为6时整，此时两针夹角为180°（共线），结束时不到7时两针再次共线，说明在做手工的时间内，分针转过的总角度等于时针转过的总角度加上初始的180°夹角，根据这个等量关系就可以列一元一次方程求解。
【解析】
解：设小明做手工所用的时间是$x$ min。
分针每分钟转的角度为：$360°÷60=6°$，
时针每分钟转的角度为：$360°÷(12×60)=0.5°$，
根据题意列方程得：
$6x=0.5x+180$
移项得：$6x-0.5x=180$
合并同类项得：$5.5x=180$
解得：$x=\dfrac{360}{11}$
答：小明做手工所用的时间是$\dfrac{360}{11}$ min。
【答案】
$\dfrac{360}{11}$ min
【知识点】
一元一次方程的应用，钟面角计算，追及问题
【点评】
本题是钟面角与方程结合的典型应用题，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，结合两次共线的位置关系找到角度差的等量关系，建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.6

4.如图,已知射线OB表示的方向是南偏东$60°$, OA, OC分别平分$∠ DOB$, $∠ DOF$.求$∠ AOC$的度数.

4. 解:因为射线 OB 表示的方向是南偏东 60°,即$∠ GOB=60°$,
所以$∠ DOB=180°-∠ GOB=180°-60°=120°$.
因为 OA,OC 分别平分$∠ DOB,∠ DOF,∠ DOF=90°$,
所以 $∠ DOA=\dfrac{1}{2}∠ DOB=\dfrac{1}{2}×120°=60°$, $∠ DOC=\dfrac{1}{2}∠ DOF=\dfrac{1}{2}×90°=45°$,
所以$∠ AOC=∠ DOA-∠ DOC=60°-45°=15°$.

【分析】
解题时首先明确方位图的基本性质：南北方向线与东西方向线互相垂直，相邻正方向夹角为90°，南北方向构成180°平角。首先根据射线OB的方向是南偏东60°，得到对应角∠GOB的度数，进而求出∠DOB的度数；再结合角平分线的定义，分别求出∠DOA和∠DOC的度数；最后观察图形可知∠AOC为∠DOA与∠DOC的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：因为射线OB表示的方向是南偏东$60°$，即$∠ GOB=60°$，
所以$∠ DOB=180°-∠ GOB=180°-60°=120°$。
由方位图特征可知$∠ DOF=90°$，
因为OA，OC分别平分$∠ DOB$、$∠ DOF$，
所以 $∠ DOA=\dfrac{1}{2}∠ DOB=\dfrac{1}{2}×120°=60°$， $∠ DOC=\dfrac{1}{2}∠ DOF=\dfrac{1}{2}×90°=45°$，
所以$∠ AOC=∠ DOA-∠ DOC=60°-45°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
方向角；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题将方向角和角的运算结合考察，解题的关键是根据方向角的定义确定已知角的度数，再结合角平分线的性质找到所求角与已知角的数量关系，属于基础运算类题型。
【难度系数】
0.7

5.已知∠AOB,射线OC在∠AOB的内部,射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线.
(1)如图,已知∠AOB=120°,OC平分∠AOB.
①补全图形;
②∠MON的度数为.
(2)探究∠MON和∠AOB的数量关系.

5. 解:(1)①如图.
②80°
(2)因为射线 OM 是∠AOC 靠近 OA 的三等分线,射线 ON 是∠BOC 靠近 OB 的三等分线,
所以$∠ AOM=\dfrac{1}{3}∠ AOC$,$∠ BON=\dfrac{1}{3}∠ BOC$,
所以$∠ MON=∠ AOB-(∠ AOM+∠ BON)=∠ AOB-\dfrac{1}{3}(∠ AOC+∠ BOC)=\dfrac{2}{3}∠ AOB$,
所以 $∠ MON$ 和 $∠ AOB$ 的数量关系为 $∠ MON=\dfrac{2}{3}∠ AOB$.

【分析】
(1)①补全图形步骤：首先在∠AOB内部画出角平分线OC，再在∠AOC内部画靠近OA的三等分线OM，在∠BOC内部画靠近OB的三等分线ON即可。
②计算∠MON的思路：先根据角平分线定义求出∠AOC和∠BOC的度数，再根据三等分线定义求出∠AOM和∠BON的度数，最后用∠AOB的度数减去∠AOM和∠BON的度数就能得到∠MON的度数。
(2)探究数量关系的思路：把具体角度替换为一般的角，先根据三等分线定义得到∠AOM、∠BON和对应角的关系，再利用角的和差关系，结合∠AOC+∠BOC=∠AOB，推导得出∠MON和∠AOB的数量关系。
【解析】
(1)①补全图形如参考图所示。
②解：已知∠AOB=120°，OC平分∠AOB，
∴ $∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵ OM是∠AOC靠近OA的三等分线，
∴ $∠ AOM=\frac{1}{3}∠ AOC=\frac{1}{3}×60°=20°$，
∵ ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∴ $∠ BON=\frac{1}{3}∠ BOC=\frac{1}{3}×60°=20°$，
∴ $∠ MON=∠ AOB-∠ AOM-∠ BON=120°-20°-20°=80°$。
(2)解：
∵ 射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线，
∴ $∠ AOM=\frac{1}{3}∠ AOC$，$∠ BON=\frac{1}{3}∠ BOC$，
∴ $∠ MON=∠ AOB-(∠ AOM+∠ BON)$
$=∠ AOB-\frac{1}{3}(∠ AOC+∠ BOC)$，
又
∵ $∠ AOC+∠ BOC=∠ AOB$，
∴ $∠ MON=∠ AOB-\frac{1}{3}∠ AOB=\frac{2}{3}∠ AOB$。
【答案】
(1)①；②$\boldsymbol{80°}$
(2)$\boldsymbol{∠ MON=\dfrac{2}{3}∠ AOB}$
【知识点】
角平分线的定义；角的三等分线；角的和差计算
【点评】
本题重点考查角的相关运算，解题的核心是正确理解角平分线、三等分线的定义，能灵活运用角的和差关系进行计算与推导，从特殊值到一般关系的探究过程也能有效提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

6. (2026 广东江门期末) O 为直线 AB 上一点,过点 O 在直线 AB 上方作射线 OC,将一个直角三角尺 DOE 放在直线 AB 上方,直角顶点与点 O 重合,射线 OC 和直角三角尺 DOE 均可以围绕点 O 旋转(旋转时射线 OC 和直角三角尺 DOE 始终在直线 AB 上方).

(1)如图 1, ∠BOC = 65°, 当直角三角尺 DOE 的直角边 OE 落在射线 OB 上时, ∠COD = °, ∠AOC = °.
(2)将直角三角尺 DOE 绕点 O 旋转一定角度得到图 2, 若此时 OE 恰好是∠BOC 的平分线,试说明 OD 是∠AOC 的平分线.
(3)如图 3, 旋转射线 OC 和直角三角尺 DOE,且始终保持 OC 平分∠BOD.当∠AOD = 78°时,求∠COE 的度数,并根据结果,猜想旋转过程中∠AOD 与∠COE 之间的数量关系,并证明.

6. 解:(1)25;115
(2)因为 OE 是$∠ BOC$的平分线,
所以$∠ COE=\dfrac{1}{2}∠ BOC$.
因为$∠ COE+∠ COD=90°$,
所以 $∠ COD=90°-∠ COE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ BOC)=\dfrac{1}{2}∠ AOC$(关键点:将$∠ COD$与$∠ COE$之间的数量关系转化为$∠ COD$与$∠ AOC$之间的数量关系),
所以 OD 是$∠ AOC$的平分线.
(3)因为$∠ AOD=78°$,$∠ DOE=90°$,所以$∠ BOE=180°-∠ DOE-∠ AOD=12°$,$∠ BOD=180°-∠ AOD=102°$.
因为 OC 平分$∠ BOD$,所以$∠ BOC=\dfrac{1}{2}∠ BOD=51°$,
所以$∠ COE=∠ BOC-∠ BOE=39°$.
猜想:$2∠ COE=∠ AOD$.
证明:因为 OC 平分$∠ BOD$,所以$∠ COD=∠ BOC$,
所以$∠ COD=∠ COE+∠ BOE$,
即$∠ BOE=∠ COD-∠ COE$.
因为$∠ EOD=90°$,所以$∠ COD=90°-∠ COE$,所以$∠ BOE=90°-∠ COE-∠ COE=90°-2∠ COE$.
因为$∠ AOD+∠ BOE=180°-∠ DOE=90°$,所以$∠ BOE=90°-∠ AOD$,所以$90°-2∠ COE=90°-∠ AOD$,所以$2∠ COE=∠ AOD$.

【分析】
(1) 首先明确直线AB对应的平角∠AOB=180°，直角三角尺的∠DOE=90°。已知∠BOC=65°，求∠AOC直接用平角减去∠BOC即可；当OE落在OB上时，∠DOB=∠DOE=90°，∠COD就等于∠DOB减去∠BOC。
(2) 要证明OD是∠AOC的平分线，需证明∠COD=∠AOD。首先由角平分线定义得∠COE=∠BOE，再结合∠DOE=90°，可知∠COD+∠COE=90°，同时平角∠AOB=180°，所以∠AOD+∠BOE=180°-90°=90°，通过等量代换就能得到∠COD=∠AOD，得证。
(3) 先计算具体角度：已知∠AOD=78°，先由平角求出∠BOD，再由OC平分∠BOD得到∠BOC的度数；结合∠DOE=90°求出∠BOE的度数，用∠BOC减去∠BOE即可得到∠COE。猜想关系时，利用角平分线性质、直角和平角的和差关系，通过等量代换推导∠AOD和∠COE的关系即可。
【解析】
(1) 因为O是直线AB上一点，所以∠AOB=180°，因此$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-65°=115°$。
直角三角尺的$∠ DOE=90°$，当OE落在OB上时，$∠ DOB=∠ DOE=90°$，因此$∠ COD=∠ DOB-∠ BOC=90°-65°=25°$。
(2) 因为OE是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ COE=∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC$。
因为$∠ DOE=90°$，所以$∠ COD + ∠ COE = 90°$。
又因为$∠ AOB=180°$，所以$∠ AOD + ∠ BOE = 180° - ∠ DOE = 90°$。
结合$∠ COE=∠ BOE$，可得$∠ COD=∠ AOD$，因此OD是$∠ AOC$的平分线。
(3) 计算$∠ COE$的度数：
已知$∠ AOD=78°$，$∠ DOE=90°$，所以$∠ BOD=180° - ∠ AOD=180°-78°=102°$，$∠ BOE=180° - ∠ AOD - ∠ DOE=180°-78°-90°=12°$。
因为OC平分$∠ BOD$，所以$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}×102°=51°$。
因此$∠ COE=∠ BOC - ∠ BOE=51°-12°=39°$。
猜想：$∠ AOD=2∠ COE$。
证明：因为OC平分$∠ BOD$，所以$∠ BOC=∠ COD$。
因为$∠ DOE=90°$，所以$∠ COD + ∠ COE=90°$，即$∠ COD=90°-∠ COE$，因此$∠ BOC=90°-∠ COE$。
又因为$∠ BOC=∠ COE + ∠ BOE$，所以$∠ BOE=∠ BOC - ∠ COE=90°-2∠ COE$。
因为$∠ AOD + ∠ DOE + ∠ BOE=180°$，$∠ DOE=90°$，所以$∠ AOD + ∠ BOE=90°$，即$∠ BOE=90°-∠ AOD$。
因此$90°-2∠ COE=90°-∠ AOD$，整理得$∠ AOD=2∠ COE$。
【答案】
(1) $\boxed{25}$；$\boxed{115}$
(2) OD是$∠ AOC$的平分线，证明如上。
(3) $∠ COE=39°$，猜想$∠ AOD=2∠ COE$，证明如上。
【知识点】
角平分线的定义；角度的和差计算；平角与直角的性质
【点评】
本题以三角尺旋转为背景，考查角度计算与角平分线的证明，解题关键是抓住旋转过程中不变的平角、直角，灵活运用角的和差关系与等量代换推导，是角度综合计算的典型题型。
【难度系数】
0.6