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1.(2026江苏盐城响水县期中)如图,萍萍将自然数按照一定的规律填写在方格中(
),是从图1中截取的一部分.根据图1中数的规律,我们可以计算出图2中4个数的和是
),是从图1中截取的一部分.根据图1中数的规律,我们可以计算出图2中4个数的和是2 025
.答案
1. 2 025 解析 观察题图1可得 a+b=480+533-1=1 012,所以题图2中4个数的和是 a+b+480+533=1 012+480+533=2 025.
解析
【分析】
首先观察图1的数字排列规律：第m行第n列的数等于m与n的乘积。接下来分析图2中四个数的位置关系：设480位于第x行第y列，则其右侧的b是同行列数加1，下方的a是同列行数加1，右下角的533是行数加1、列数加1的位置。根据规律分别用x、y表示出a、b、533，再对533的表达式展开变形，整体求出x+y的值，最后代入计算四个数的总和即可。
【解析】
观察图1可得规律：第m行第n列的数为$ m × n $。
设480在第$ x $行第$ y $列，因此$ xy = 480 $。
根据位置关系：
$ b $在第$ x $行第$ y+1 $列，故$ b = x(y+1) = xy + x = 480 + x $；
$ a $在第$ x+1 $行第$ y $列，故$ a = (x+1)y = xy + y = 480 + y $；
533在第$ x+1 $行第$ y+1 $列，故$ (x+1)(y+1) = 533 $。
将$ (x+1)(y+1) $展开得：$ xy + x + y + 1 = 533 $，代入$ xy=480 $，可得：
$ 480 + x + y + 1 = 533 $，解得$ x + y = 52 $。
因此$ a + b = (480 + y) + (480 + x) = 960 + (x + y) = 960 + 52 = 1012 $。
四个数的总和为：$ 480 + b + a + 533 = 480 + 533 + 1012 = 2025 $。
【答案】
2025
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 整式乘法 3. 代数式求值
【点评】
本题考查表格类数字规律的应用，解题核心是先明确表格中数的排列规则，再结合四个数的位置关系列出代数式，通过整体代入的方法计算结果，无需单独求解未知数，能够很好地锻炼逻辑推理和整体运算能力。
【难度系数】
0.6
首先观察图1的数字排列规律：第m行第n列的数等于m与n的乘积。接下来分析图2中四个数的位置关系：设480位于第x行第y列，则其右侧的b是同行列数加1，下方的a是同列行数加1，右下角的533是行数加1、列数加1的位置。根据规律分别用x、y表示出a、b、533，再对533的表达式展开变形，整体求出x+y的值，最后代入计算四个数的总和即可。
【解析】
观察图1可得规律：第m行第n列的数为$ m × n $。
设480在第$ x $行第$ y $列，因此$ xy = 480 $。
根据位置关系：
$ b $在第$ x $行第$ y+1 $列，故$ b = x(y+1) = xy + x = 480 + x $；
$ a $在第$ x+1 $行第$ y $列，故$ a = (x+1)y = xy + y = 480 + y $；
533在第$ x+1 $行第$ y+1 $列，故$ (x+1)(y+1) = 533 $。
将$ (x+1)(y+1) $展开得：$ xy + x + y + 1 = 533 $，代入$ xy=480 $，可得：
$ 480 + x + y + 1 = 533 $，解得$ x + y = 52 $。
因此$ a + b = (480 + y) + (480 + x) = 960 + (x + y) = 960 + 52 = 1012 $。
四个数的总和为：$ 480 + b + a + 533 = 480 + 533 + 1012 = 2025 $。
【答案】
2025
【知识点】
1. 数字规律探究 2. 整式乘法 3. 代数式求值
【点评】
本题考查表格类数字规律的应用，解题核心是先明确表格中数的排列规则，再结合四个数的位置关系列出代数式，通过整体代入的方法计算结果，无需单独求解未知数，能够很好地锻炼逻辑推理和整体运算能力。
【难度系数】
0.6
2. 某年11月的月历如图1所示，用如图2所示的“Z”形框框住月历中的五个数.
(1)这五个数从小到大依次为A,B,C,D,E.要求这五个数的和能否被5整除，甲同学设$A=x$进行计算，乙同学说自己设$C=x$更简单，请你分别用甲同学和乙同学的方法进行解答.
(2)小明受到启发，改编了一道题目，请你来解答：
代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是不是定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.
(1)这五个数从小到大依次为A,B,C,D,E.要求这五个数的和能否被5整除，甲同学设$A=x$进行计算，乙同学说自己设$C=x$更简单，请你分别用甲同学和乙同学的方法进行解答.
(2)小明受到启发，改编了一道题目，请你来解答：
代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是不是定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由.
答案
2. 解:(1)甲同学的方法：
设$A=x$,则$B=x+1,C=x+8,D=x+15,E=x+16$,
所以$A+B+C+D+E=x+(x+1)+(x+8)+(x+15)+(x+16)=x+x+1+x+8+x+15+x+16=5x+40=5(x+8)$.
因为$5(x+8)$能被5整除,
所以这五个数的和能被5整除.
乙同学的方法：
设$C=x$,则$D=x+7,E=x+8,B=x-7,A=x-8$,
所以$A+B+C+D+E=(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=x-8+x-7+x+x+7+x+8=5x$.
因为$5x$能被5整除,
所以这五个数的和能被5整除.
(2)代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是定值. 理由如下：
设$C=y$,则$D=y+7,E=y+8,B=y-7,A=y-8$.
所以$A-2B+3C+4D-6E=(y-8)-2(y-7)+3y+4(y+7)-6(y+8)=y-8-2y+14+3y+4y+28-6y-48=-14$(关键点:先将A,B,C,D,E分别用含y的式子表示出来,再代入$A-2B+3C+4D-6E$中,通过合并同类项消掉y,从而确定该式的值为定值).
所以代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是定值,为-14.
设$A=x$,则$B=x+1,C=x+8,D=x+15,E=x+16$,
所以$A+B+C+D+E=x+(x+1)+(x+8)+(x+15)+(x+16)=x+x+1+x+8+x+15+x+16=5x+40=5(x+8)$.
因为$5(x+8)$能被5整除,
所以这五个数的和能被5整除.
乙同学的方法：
设$C=x$,则$D=x+7,E=x+8,B=x-7,A=x-8$,
所以$A+B+C+D+E=(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=x-8+x-7+x+x+7+x+8=5x$.
因为$5x$能被5整除,
所以这五个数的和能被5整除.
(2)代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是定值. 理由如下：
设$C=y$,则$D=y+7,E=y+8,B=y-7,A=y-8$.
所以$A-2B+3C+4D-6E=(y-8)-2(y-7)+3y+4(y+7)-6(y+8)=y-8-2y+14+3y+4y+28-6y-48=-14$(关键点:先将A,B,C,D,E分别用含y的式子表示出来,再代入$A-2B+3C+4D-6E$中,通过合并同类项消掉y,从而确定该式的值为定值).
所以代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是定值,为-14.
解析
【分析】
解题前先明确月历的数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。
(1) 甲同学设$A=x$：根据“Z”形框的位置，依次推导其余4个数的表达式，再求和化简，判断结果是否为5的倍数即可；乙同学设$C=x$：C为中间数，其余四个数和C的差值互为相反数，求和时可以抵消常数项，计算更简便，同样求和后判断是否为5的倍数。
(2) 要判断代数式是否为定值，可选择设中间数C为未知数，将A、B、D、E都用含该未知数的代数式表示，代入代数式后合并同类项，若最终结果不含未知数，则为定值，反之不是定值。
【解析】
(1) 甲同学的方法：
设$A=x$，根据月历数字规律可得：$B=x+1$，$C=x+1+7=x+8$，$D=x+8+7=x+15$，$E=x+15+1=x+16$，
五个数的和为：
$A+B+C+D+E=x+(x+1)+(x+8)+(x+15)+(x+16)=5x+40=5(x+8)$
因为$5(x+8)$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
乙同学的方法：
设$C=x$，根据月历数字规律可得：$B=x-7$，$A=x-7-1=x-8$，$D=x+7$，$E=x+7+1=x+8$，
五个数的和为：
$A+B+C+D+E=(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=5x$
因为$5x$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
(2) 代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是定值，求解如下：
设$C=y$，则$B=y-7$，$A=y-8$，$D=y+7$，$E=y+8$，代入代数式得：
$\begin{aligned}A-2B+3C+4D-6E&=(y-8)-2(y-7)+3y+4(y+7)-6(y+8)\\&=y-8-2y+14+3y+4y+28-6y-48\\&=-14\end{aligned}$
化简结果不含未知数，因此该代数式的值是定值。
【答案】
(1) 这五个数的和能被5整除；
(2) 是定值，值为$\boldsymbol{-14}$。
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 列代数式
3. 整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景考查整式加减的实际应用，通过对比两种设未知数的方式可以发现，选择合适的中间量作为未知数能大幅简化计算过程，判断定值类问题的核心是代入化简后观察未知数是否完全抵消，对提升代数运算能力和问题分析能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
解题前先明确月历的数字规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。
(1) 甲同学设$A=x$：根据“Z”形框的位置，依次推导其余4个数的表达式，再求和化简，判断结果是否为5的倍数即可；乙同学设$C=x$：C为中间数，其余四个数和C的差值互为相反数，求和时可以抵消常数项，计算更简便，同样求和后判断是否为5的倍数。
(2) 要判断代数式是否为定值，可选择设中间数C为未知数，将A、B、D、E都用含该未知数的代数式表示，代入代数式后合并同类项，若最终结果不含未知数，则为定值，反之不是定值。
【解析】
(1) 甲同学的方法：
设$A=x$，根据月历数字规律可得：$B=x+1$，$C=x+1+7=x+8$，$D=x+8+7=x+15$，$E=x+15+1=x+16$，
五个数的和为：
$A+B+C+D+E=x+(x+1)+(x+8)+(x+15)+(x+16)=5x+40=5(x+8)$
因为$5(x+8)$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
乙同学的方法：
设$C=x$，根据月历数字规律可得：$B=x-7$，$A=x-7-1=x-8$，$D=x+7$，$E=x+7+1=x+8$，
五个数的和为：
$A+B+C+D+E=(x-8)+(x-7)+x+(x+7)+(x+8)=5x$
因为$5x$是5的整数倍，所以这五个数的和能被5整除。
(2) 代数式$A-2B+3C+4D-6E$的值是定值，求解如下：
设$C=y$，则$B=y-7$，$A=y-8$，$D=y+7$，$E=y+8$，代入代数式得：
$\begin{aligned}A-2B+3C+4D-6E&=(y-8)-2(y-7)+3y+4(y+7)-6(y+8)\\&=y-8-2y+14+3y+4y+28-6y-48\\&=-14\end{aligned}$
化简结果不含未知数，因此该代数式的值是定值。
【答案】
(1) 这五个数的和能被5整除；
(2) 是定值，值为$\boldsymbol{-14}$。
【知识点】
1. 月历数字规律
2. 列代数式
3. 整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历场景考查整式加减的实际应用，通过对比两种设未知数的方式可以发现，选择合适的中间量作为未知数能大幅简化计算过程，判断定值类问题的核心是代入化简后观察未知数是否完全抵消，对提升代数运算能力和问题分析能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
3.用代数式表示十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数,再把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置,计算所得数与原数的差.这个差能被9整除吗?
答案
3. 解:十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数为$10a+b$. 将此数十位上的数字与个位上的数字交换位置后所得两位数为$10b+a$.
因为$(10b+a)-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a)$,$9(b-a)$能被9整除,
所以这个差能被9整除.
因为$(10b+a)-(10a+b)=10b+a-10a-b=9b-9a=9(b-a)$,$9(b-a)$能被9整除,
所以这个差能被9整除.
解析
【分析】
解题时首先要明确两位数的表示规则：十位上的数字计数单位是10，因此十位数字为a时代表10个a，加上个位数字b即可得到原两位数；交换十位和个位数字后，同理可写出新的两位数；接下来计算两个数的差并化简，最后观察化简结果是否含有因数9，即可判断差能否被9整除。
【解析】
解：十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数为$10a+b$。
将此数十位上的数字与个位上的数字交换位置后所得两位数为$10b+a$。
计算两数的差：
$\begin{aligned}(10b+a)-(10a+b)&=10b+a-10a-b\\&=9b-9a\\&=9(b-a)\end{aligned}$
因为$9(b-a)$是9和整式$(b-a)$的乘积，因此$9(b-a)$能被9整除，即所得数与原数的差能被9整除。
【答案】
所得数与原数的差为$9(b-a)$，这个差能被9整除。
【知识点】
两位数的代数式表示；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题是代数在数位问题中的基础应用，解题核心是准确掌握不同数位的计数意义，正确列出对应两位数的代数式，再通过整式加减化简结果即可完成判断，熟练掌握这类题型能为后续数字规律类问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两位数的表示规则：十位上的数字计数单位是10，因此十位数字为a时代表10个a，加上个位数字b即可得到原两位数；交换十位和个位数字后，同理可写出新的两位数；接下来计算两个数的差并化简，最后观察化简结果是否含有因数9，即可判断差能否被9整除。
【解析】
解：十位上的数字是a、个位上的数字是b的两位数为$10a+b$。
将此数十位上的数字与个位上的数字交换位置后所得两位数为$10b+a$。
计算两数的差：
$\begin{aligned}(10b+a)-(10a+b)&=10b+a-10a-b\\&=9b-9a\\&=9(b-a)\end{aligned}$
因为$9(b-a)$是9和整式$(b-a)$的乘积，因此$9(b-a)$能被9整除，即所得数与原数的差能被9整除。
【答案】
所得数与原数的差为$9(b-a)$，这个差能被9整除。
【知识点】
两位数的代数式表示；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题是代数在数位问题中的基础应用，解题核心是准确掌握不同数位的计数意义，正确列出对应两位数的代数式，再通过整式加减化简结果即可完成判断，熟练掌握这类题型能为后续数字规律类问题的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
4. 新考法·探究与运用 在小学,我们知道像12,27,36,45,108,…这样的自然数能被3整除.一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.事实上,我们可以验证这个结论是否正确.
以两位数为例,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab}=10a+b=9a+(a+b)$,显然9a能被3整除,因此,若a+b能被3整除,则9a+(a+b)就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
请你根据上述材料,解答下列问题.
(1)设$\overline{abcd}$是一个四位数,若a+b+c+d能被3整除,则$\overline{abcd}$能被3整除吗?
(2)若一个五位数$\overline{2e3e2}$能被9整除,则e=
以两位数为例,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab}=10a+b=9a+(a+b)$,显然9a能被3整除,因此,若a+b能被3整除,则9a+(a+b)就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
请你根据上述材料,解答下列问题.
(1)设$\overline{abcd}$是一个四位数,若a+b+c+d能被3整除,则$\overline{abcd}$能被3整除吗?
(2)若一个五位数$\overline{2e3e2}$能被9整除,则e=
1
.答案
4. 解:(1)由题意得 $\overline{abcd}$= 1 000a+100b+10c+d =(999a+99b+9c)+(a+b+c+d).
因为999a+99b+9c能被3整除,
所以若a+b+c+d能被3整除,则$\overline{abcd}$就能被3整除.
(2)1 解析 因为五位数$\overline{2e3e2}$能被9整除,所以2+e+3+e+2=7+2e是9的倍数. 又因为e是一位数,所以e=1.
因为999a+99b+9c能被3整除,
所以若a+b+c+d能被3整除,则$\overline{abcd}$就能被3整除.
(2)1 解析 因为五位数$\overline{2e3e2}$能被9整除,所以2+e+3+e+2=7+2e是9的倍数. 又因为e是一位数,所以e=1.
解析
【分析】
对于第(1)问，类比材料中两位数的证明思路，我们可以将四位数拆分为“9的倍数的代数式”与“各数位数字之和”两部分，因为9的倍数一定能被3整除，所以只要各数位数字之和能被3整除，整个四位数就能被3整除。对于第(2)问，能被9整除的数的特征和被3整除类似，即各数位数字之和是9的倍数，先计算五位数的数位和，再结合e是一位数的限制求解即可。
【解析】
(1) 由题意得：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$
因为$999a、99b、9c$都是3的倍数，所以$999a+99b+9c$能被3整除。
因此若$a+b+c+d$能被3整除，则$\overline{abcd}$就能被3整除。
(2) 因为五位数$\overline{2e3e2}$能被9整除，所以它的各数位数字之和是9的倍数。
计算数位和：$2+e+3+e+2=7+2e$
又因为e是0~9的一位数，所以$7+2e$的取值范围是7到25，范围内的9的倍数只有9和18：
当$7+2e=9$时，解得$e=1$，符合要求；
当$7+2e=18$时，$e=5.5$，不是整数，不符合要求。
综上$e=1$。
【答案】
(1) $\overline{abcd}$能被3整除；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
1. 数的整除特征
2. 代数式变形
3. 多位数表示
【点评】
本题是探究应用型考题，通过给出的被3整除的数的特征的证明过程，引导学生自主迁移推导规律，延伸到被9整除的数的特征应用，侧重考查知识迁移能力和逻辑推理能力，掌握类比推导的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，类比材料中两位数的证明思路，我们可以将四位数拆分为“9的倍数的代数式”与“各数位数字之和”两部分，因为9的倍数一定能被3整除，所以只要各数位数字之和能被3整除，整个四位数就能被3整除。对于第(2)问，能被9整除的数的特征和被3整除类似，即各数位数字之和是9的倍数，先计算五位数的数位和，再结合e是一位数的限制求解即可。
【解析】
(1) 由题意得：
$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)$
因为$999a、99b、9c$都是3的倍数，所以$999a+99b+9c$能被3整除。
因此若$a+b+c+d$能被3整除，则$\overline{abcd}$就能被3整除。
(2) 因为五位数$\overline{2e3e2}$能被9整除，所以它的各数位数字之和是9的倍数。
计算数位和：$2+e+3+e+2=7+2e$
又因为e是0~9的一位数，所以$7+2e$的取值范围是7到25，范围内的9的倍数只有9和18：
当$7+2e=9$时，解得$e=1$，符合要求；
当$7+2e=18$时，$e=5.5$，不是整数，不符合要求。
综上$e=1$。
【答案】
(1) $\overline{abcd}$能被3整除；(2) $\boxed{1}$
【知识点】
1. 数的整除特征
2. 代数式变形
3. 多位数表示
【点评】
本题是探究应用型考题，通过给出的被3整除的数的特征的证明过程，引导学生自主迁移推导规律，延伸到被9整除的数的特征应用，侧重考查知识迁移能力和逻辑推理能力，掌握类比推导的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
