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10.(2025江苏南京秦淮区期末)将如图所示的平面图形绕轴旋转一周,可以得到的立体图形是 (
D
)答案
10. D
解析
【分析】
解决这类问题的核心是运用课本中“面动成体”的规律，思考步骤如下：第一步，先明确旋转的平面图形的形状和旋转轴的位置；第二步，既可以直接回忆常见平面图形旋转后对应的立体图形，也可以拆分平面图形的各条边，分析每条边绕轴旋转后形成的图形，再组合得到整体的立体图形；第三步，将得到的立体图形和选项对比，选出正确答案。本题中的平面图形是直角梯形，旋转轴是垂直于上下底的腰，旋转后形成的是圆台，对应选项D。
【解析】
根据“面动成体”的原理：
1. 观察平面图形：待旋转的图形是直角梯形，旋转轴为该梯形垂直于上下底的腰；
2. 分析旋转结果：梯形的上底旋转后得到较小的圆形底面，下底旋转后得到较大的圆形底面，梯形的斜腰旋转后得到连接两个底面的曲面侧面；
3. 组合后得到的立体图形是圆台，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
面动成体、旋转体识别
【点评】
本题侧重考察几何直观能力，需要学生熟练掌握常见平面图形旋转后对应的立体图形特征，做题时也可以通过拆分各部分旋转结果的方法来验证答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
解决这类问题的核心是运用课本中“面动成体”的规律，思考步骤如下：第一步，先明确旋转的平面图形的形状和旋转轴的位置；第二步，既可以直接回忆常见平面图形旋转后对应的立体图形，也可以拆分平面图形的各条边，分析每条边绕轴旋转后形成的图形，再组合得到整体的立体图形；第三步，将得到的立体图形和选项对比，选出正确答案。本题中的平面图形是直角梯形，旋转轴是垂直于上下底的腰，旋转后形成的是圆台，对应选项D。
【解析】
根据“面动成体”的原理：
1. 观察平面图形：待旋转的图形是直角梯形，旋转轴为该梯形垂直于上下底的腰；
2. 分析旋转结果：梯形的上底旋转后得到较小的圆形底面，下底旋转后得到较大的圆形底面，梯形的斜腰旋转后得到连接两个底面的曲面侧面；
3. 组合后得到的立体图形是圆台，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
面动成体、旋转体识别
【点评】
本题侧重考察几何直观能力，需要学生熟练掌握常见平面图形旋转后对应的立体图形特征，做题时也可以通过拆分各部分旋转结果的方法来验证答案，难度较低。
【难度系数】
0.8
11.(2025陕西咸阳淳化县期中)一个八棱柱如图所示.若这个八棱柱有$a$个面,$b$个顶点,$c$条棱,则$(c-a-b)^3=$
-8
.答案
11. -8
解析
【分析】
解决本题首先要掌握n棱柱的面数、顶点数、棱数的对应规律：n棱柱有(n+2)个面（n个侧面+2个底面），2n个顶点，3n条棱。本题给出的是八棱柱，即n=8，我们先根据规律分别求出a、b、c的值，再代入代数式(c-a-b)计算，最后求立方即可得到结果。
【解析】
已知该几何体为八棱柱，即n=8：
1. 求面数a：八棱柱有8个侧面和2个底面，因此$a=8+2=10$；
2. 求顶点数b：每个底面有8个顶点，两个底面共$8×2=16$个顶点，因此$b=16$；
3. 求棱数c：上下底面各有8条棱，还有8条侧棱，总棱数为$8×3=24$，因此$c=24$；
4. 代入计算：先算$c-a-b=24-10-16=-2$，再计算立方得$(-2)^3=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
棱柱的特征；代数式求值；有理数乘方
【点评】
本题重点考查棱柱的基本性质，熟记n棱柱的面数、顶点数、棱数和n的数量关系是解题的核心，整体考查偏向基础，掌握对应规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握n棱柱的面数、顶点数、棱数的对应规律：n棱柱有(n+2)个面（n个侧面+2个底面），2n个顶点，3n条棱。本题给出的是八棱柱，即n=8，我们先根据规律分别求出a、b、c的值，再代入代数式(c-a-b)计算，最后求立方即可得到结果。
【解析】
已知该几何体为八棱柱，即n=8：
1. 求面数a：八棱柱有8个侧面和2个底面，因此$a=8+2=10$；
2. 求顶点数b：每个底面有8个顶点，两个底面共$8×2=16$个顶点，因此$b=16$；
3. 求棱数c：上下底面各有8条棱，还有8条侧棱，总棱数为$8×3=24$，因此$c=24$；
4. 代入计算：先算$c-a-b=24-10-16=-2$，再计算立方得$(-2)^3=-8$。
【答案】
-8
【知识点】
棱柱的特征；代数式求值；有理数乘方
【点评】
本题重点考查棱柱的基本性质，熟记n棱柱的面数、顶点数、棱数和n的数量关系是解题的核心，整体考查偏向基础，掌握对应规律就能快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 如图,小军和小红分别以一个直角梯形的上底和下底所在的直线为轴,将直角梯形绕轴旋转一周,得到甲、乙两个立体图形. 小军和小红的对话如下.
小军:“我们旋转的平面图形是完全一样的,所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等.”
小红:“我不同意你的看法,我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等.”
(1)小红得到的立体图形乙可以看成是由
(2)你认为谁的说法正确?请通过计算说明.
小军:“我们旋转的平面图形是完全一样的,所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等.”
小红:“我不同意你的看法,我认为甲、乙两个立体图形的体积不相等.”
(1)小红得到的立体图形乙可以看成是由
圆柱
和圆锥
构成的.(2)你认为谁的说法正确?请通过计算说明.
答案
12. 解:(1) 圆柱 ; 圆锥
(2) 小红的说法正确. 理由如下：
甲的体积:$π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3) = 54π -9π = 45π(\mathrm{cm}^3)$.
乙的体积:$π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3) = 27π +9π = 36π(\mathrm{cm}^3)$.
因为甲、乙两个立体图形的体积不相等,
所以小红的说法正确.
(2) 小红的说法正确. 理由如下：
甲的体积:$π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3) = 54π -9π = 45π(\mathrm{cm}^3)$.
乙的体积:$π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3) = 27π +9π = 36π(\mathrm{cm}^3)$.
因为甲、乙两个立体图形的体积不相等,
所以小红的说法正确.
解析
【分析】
(1) 观察立体图形乙的结构，结合旋转过程分析：直角梯形绕下底旋转时，梯形的矩形部分旋转得到圆柱，上方的直角三角形部分旋转得到圆锥，据此可确定乙的组成。
(2) 要判断两人说法是否正确，需分别计算甲、乙的体积再比较。首先分析甲的组成：绕上底旋转时，得到的是底面半径3cm、高6cm的圆柱，挖去1个底面半径3cm、高为(6-3)cm的圆锥，因此甲的体积=圆柱体积-圆锥体积；再结合(1)的结论，乙的体积=圆柱体积+圆锥体积。分别代入圆柱、圆锥体积公式计算后比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 观察旋转得到的立体图形乙，下方为圆柱，上方为圆锥，因此乙可看成由圆柱和圆锥构成。
(2) 分别计算两个立体图形的体积：
① 计算甲的体积：
圆柱体积公式：$V_{\mathrm{柱}}=π r^2 h$，圆锥体积公式：$V_{\mathrm{锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h$
甲的体积=底面半径3cm、高6cm的圆柱体积 - 底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥体积
$V_甲=π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3)=54π -9π=45π(\mathrm{cm}^3)$
② 计算乙的体积：
乙的体积=底面半径3cm、高3cm的圆柱体积 + 底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥体积
$V_乙=π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3)=27π +9π=36π(\mathrm{cm}^3)$
因为$45π ≠ 36π$，即甲、乙体积不相等，所以小红的说法正确。
【答案】
(1) 圆柱；圆锥
(2) 小红的说法正确，甲体积为$45π\mathrm{cm}^3$，乙体积为$36π\mathrm{cm}^3$，二者体积不相等。
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题结合平面旋转考查立体图形体积计算，解题关键是准确判断不同旋转轴下得到的立体图形的组成结构，再代入对应公式计算即可，需注意旋转轴不同，得到的立体图形的结构和体积都可能存在差异。
【难度系数】
0.7
(1) 观察立体图形乙的结构，结合旋转过程分析：直角梯形绕下底旋转时，梯形的矩形部分旋转得到圆柱，上方的直角三角形部分旋转得到圆锥，据此可确定乙的组成。
(2) 要判断两人说法是否正确，需分别计算甲、乙的体积再比较。首先分析甲的组成：绕上底旋转时，得到的是底面半径3cm、高6cm的圆柱，挖去1个底面半径3cm、高为(6-3)cm的圆锥，因此甲的体积=圆柱体积-圆锥体积；再结合(1)的结论，乙的体积=圆柱体积+圆锥体积。分别代入圆柱、圆锥体积公式计算后比较大小，即可得出结论。
【解析】
(1) 观察旋转得到的立体图形乙，下方为圆柱，上方为圆锥，因此乙可看成由圆柱和圆锥构成。
(2) 分别计算两个立体图形的体积：
① 计算甲的体积：
圆柱体积公式：$V_{\mathrm{柱}}=π r^2 h$，圆锥体积公式：$V_{\mathrm{锥}}=\frac{1}{3}π r^2 h$
甲的体积=底面半径3cm、高6cm的圆柱体积 - 底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥体积
$V_甲=π × 3^2 × 6 - \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3)=54π -9π=45π(\mathrm{cm}^3)$
② 计算乙的体积：
乙的体积=底面半径3cm、高3cm的圆柱体积 + 底面半径3cm、高(6-3)cm的圆锥体积
$V_乙=π × 3^2 × 3 + \frac{1}{3}π × 3^2 × (6-3)=27π +9π=36π(\mathrm{cm}^3)$
因为$45π ≠ 36π$，即甲、乙体积不相等，所以小红的说法正确。
【答案】
(1) 圆柱；圆锥
(2) 小红的说法正确，甲体积为$45π\mathrm{cm}^3$，乙体积为$36π\mathrm{cm}^3$，二者体积不相等。
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算；圆锥体积计算
【点评】
本题结合平面旋转考查立体图形体积计算，解题关键是准确判断不同旋转轴下得到的立体图形的组成结构，再代入对应公式计算即可，需注意旋转轴不同，得到的立体图形的结构和体积都可能存在差异。
【难度系数】
0.7
13. 新考法·探究与运用 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数$V$、面数$F$、棱数$E$之间存在的一个有趣的关系式，这个关系式被称为欧拉公式.
(1)将下面的表格补充完整.
| 名称 | 图形 | 顶点数$V$ | 面数$F$ | 棱数$E$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正四面体 | | 4 | 4 |
| 正方体 |
| 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | |
(2)观察上表,可以得出顶点数$V$、面数$F$、棱数$E$之间存在的关系式为
(3)一个简单多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,则这个多面体的顶点数为
(4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且该多面体有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体的外表面有$x$个三角形和$y$个八边形,求$x+y$的值.
(1)将下面的表格补充完整.
| 名称 | 图形 | 顶点数$V$ | 面数$F$ | 棱数$E$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 正四面体 | | 4 | 4 |
6
|| 正方体 |
| 8 | 6 | 12 || 正八面体 | |
6
| 8 | 12 |(2)观察上表,可以得出顶点数$V$、面数$F$、棱数$E$之间存在的关系式为
$V+F-E=2$
.(3)一个简单多面体的面数比顶点数小8,且有30条棱,则这个多面体的顶点数为
20
.(4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且该多面体有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体的外表面有$x$个三角形和$y$个八边形,求$x+y$的值.
答案
13. 解:(1) (从上往下) 6 ; 6
(2) $V+F-E=2$
(3) 20
(4) 因为该多面体有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,$48×3÷2=72$(条),
所以该多面体有72条棱.
由题意得 $48+(x+y)-72=2$,
可得 $x+y=26$,
所以 $x+y$ 的值为26.
(2) $V+F-E=2$
(3) 20
(4) 因为该多面体有48个顶点,每个顶点处都有3条棱,$48×3÷2=72$(条),
所以该多面体有72条棱.
由题意得 $48+(x+y)-72=2$,
可得 $x+y=26$,
所以 $x+y$ 的值为26.
解析
【分析】
本题围绕简单多面体的欧拉公式展开考查：
(1) 补充表格可直接观察图形计数，也可先推导欧拉公式后代入计算；
(2) 总结关系式只需将三组顶点数V、面数F、棱数E代入运算找规律即可；
(3) 已知棱数和面数与顶点数的关系，将条件代入欧拉公式列方程求解即可；
(4) 先根据“每个顶点处3条棱，每条棱属于2个顶点”算出总棱数，再将顶点数、棱数和面数（x+y）代入欧拉公式求解即可。
【解析】
(1) 观察正四面体的图形可数出棱共6条；观察正八面体的图形，上下各1个顶点，中间正方形有4个顶点，合计共6个顶点，因此两个空依次填6、6。
(2) 分别代入三组数据验证：
正四面体：$4+4-6=2$；正方体：$8+6-12=2$；正八面体：$6+8-12=2$，因此得出顶点数V、面数F、棱数E的关系式：$V+F-E=2$。
(3) 由题意得面数$F=V-8$，已知棱数$E=30$，代入$V+F-E=2$得：
$\begin{aligned}V + (V-8) -30 &=2\\2V -38 &=2\\V&=20\end{aligned}$
(4) 首先计算总棱数：每个顶点处有3条棱，每条棱被2个顶点共享，因此总棱数$E=\frac{48×3}{2}=72$条。
该多面体的面数$F=x+y$，顶点数$V=48$，代入欧拉公式得：
$\begin{aligned}48 + (x+y) -72 &=2\\x+y&=72+2-48\\x+y&=26\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{V+F-E=2}$
(3) $\boldsymbol{20}$
(4) $\boldsymbol{26}$
【知识点】
欧拉公式；多面体的认识；一元一次方程的应用
【点评】
本题以数学经典结论欧拉公式为载体，既考查了观察计数的能力，又要求能灵活运用公式解决实际问题，能有效锻炼探究归纳和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
本题围绕简单多面体的欧拉公式展开考查：
(1) 补充表格可直接观察图形计数，也可先推导欧拉公式后代入计算；
(2) 总结关系式只需将三组顶点数V、面数F、棱数E代入运算找规律即可；
(3) 已知棱数和面数与顶点数的关系，将条件代入欧拉公式列方程求解即可；
(4) 先根据“每个顶点处3条棱，每条棱属于2个顶点”算出总棱数，再将顶点数、棱数和面数（x+y）代入欧拉公式求解即可。
【解析】
(1) 观察正四面体的图形可数出棱共6条；观察正八面体的图形，上下各1个顶点，中间正方形有4个顶点，合计共6个顶点，因此两个空依次填6、6。
(2) 分别代入三组数据验证：
正四面体：$4+4-6=2$；正方体：$8+6-12=2$；正八面体：$6+8-12=2$，因此得出顶点数V、面数F、棱数E的关系式：$V+F-E=2$。
(3) 由题意得面数$F=V-8$，已知棱数$E=30$，代入$V+F-E=2$得：
$\begin{aligned}V + (V-8) -30 &=2\\2V -38 &=2\\V&=20\end{aligned}$
(4) 首先计算总棱数：每个顶点处有3条棱，每条棱被2个顶点共享，因此总棱数$E=\frac{48×3}{2}=72$条。
该多面体的面数$F=x+y$，顶点数$V=48$，代入欧拉公式得：
$\begin{aligned}48 + (x+y) -72 &=2\\x+y&=72+2-48\\x+y&=26\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{6}$
(2) $\boldsymbol{V+F-E=2}$
(3) $\boldsymbol{20}$
(4) $\boldsymbol{26}$
【知识点】
欧拉公式；多面体的认识；一元一次方程的应用
【点评】
本题以数学经典结论欧拉公式为载体，既考查了观察计数的能力，又要求能灵活运用公式解决实际问题，能有效锻炼探究归纳和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
