7. [2025深圳宝安中学期中]已知一次函数$y_1 = k_1x + b_1$和一次函数$y_2 = k_2x + b_2$的自变量$x$与因变量$y_1,y_2$的部分对应数值如表所示，则关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解为（ ）


A.$\begin{cases} x = -5, \\ y = -2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x = 4, \\ y = 5 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x = -1, \\ y = -3 \end{cases}$

7.C 由题中表格可知,当x=2时,$y_1=y_2=3$,所以一次函数$y_1=k_1x+b_1$和一次函数$y_2=k_2x+b_2$的图象的交点坐标为(2,3),可得关于x,y的二元一次方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解为$\begin{cases} x = 2, \\ y = 3 \end{cases}$。

8. 教材P132T4变式 [2026晋中期末]如果关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=-2x, \\ y=kx-1\end{cases}$无解，那么直线$y=kx-1$不经过（ ）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

8.A 因为关于x,y的方程组$\begin{cases}y = -2x, \\ y = kx - 1\end{cases}$无解,所以直线$y=-2x$与直线$y=kx-1$平行,所以$k=-2$,所以直线$y=kx-1=-2x-1$,可知该直线经过第二、三、四象限,不经过第一象限。

9. [2026咸阳期末]已知一次函数$y=4x+1$与$y=-2x+5b$图象的交点在$y$轴上,则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}4x - y + 1 = 0, \\ -2x - y + 5b = 0\end{cases}$的解是 ______ 。

9.$\begin{cases} x = 0, \\ y = 1 \end{cases}$ 将x=0代入y=4x+1,得$y=4×0+1=1$,所以两个函数图象的交点坐标为(0,1),所以相应二元一次方程组的解为$\begin{cases} x = 0, \\ y = 1 \end{cases}$。

10. [2026太原期末]如图,平面直角坐标系中,直线$l_1$经过点$O$且与$l_2:y=4-x$交于点$P(1,3)$,交点坐标$(1,3)$可以看成是相应的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 4, ① \\ ( ) ②\end{cases}$的解,则该方程组中的方程②为 ______ 。

第10题图 第11题图

10.3x-y=0 设直线$l_1$的函数表达式为$y=kx$,把$P(1,3)$代入,得$k=3$,所以直线$l_1$的函数表达式为$y=3x$,因为交点坐标(1,3)可以看成是相应的二元一次方程组$\begin{cases}x + y = 4,① \\ ( )②\end{cases}$的解,所以该方程组中的方程②为$3x-y=0$。

11. [2025平顶山卫东区月考]数学课上，老师给出了用图象法解二元一次方程组$\begin{cases}y = kx + b, \\ y = mx + n\end{cases}$时所画的图象（如图所示），让同学们说一说通过观察图象后自己的发现，则下列说法正确的有 ______ 。（填序号）
①$b$可能等于3；②$k$可能等于1；③这个方程组的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2; \end{cases}$④$n$可能等于$\frac{2}{3}$。

11.①②③ 由题中图象可知,两条直线的交点坐标为(-1,2),则该方程组的解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 2 \end{cases}$,故③正确;因为其中一条直线与y轴的交点坐标是(0,3),所以b可能等于3,故①正确;当b=3时,将(-1,2)代入$y=kx+3$,得$-k+3=2$,解得k=1,故②正确;当$y=mx+n$的图象经过(-1,2)和(2,0)时,可得$\begin{cases} -m + n = 2, \\ 2m + n = 0 \end{cases}$,解得$\begin{cases} m = -\dfrac{2}{3}, \\ n = \dfrac{4}{3} \end{cases}$,所以$n=\dfrac{4}{3}$,当$y=mx+n$的图象经过(-1,2)和(0,3)时,n=3,所以n可能等于$\dfrac{4}{3}$或3,故④错误。

12. 新考法 [2025 淄博张店区月考] 如图,已知一次函数$y = -\dfrac{1}{2}x + b$的图象与$y$轴正半轴交于点$A$,与$x$轴正半轴交于点$B$,与正比例函数$y = 2x$的图象交于点$C(1,a)$。
(1)求$a,b$的值。
(2)方程组$\begin{cases}2x - y = 0, \\ \dfrac{1}{2}x + y = b\end{cases}$的解为________。
(3)在$y = 2x$的图象上是否存在点$P$,使得$△ BOP$的面积比$△ AOP$的面积大$5$?若存在,请直接写出符合条件的点$P$的坐标;若不存在,请说明理由。

12. 解:(1)由题意知,点C(1,a)在y=2x的图象上,所以$a=1×2=2$,所以点C的坐标为(1,2),因为点C(1,2)在$y=-\dfrac{1}{2}x+b$的图象上,所以$2=-\dfrac{1}{2}+b$,解得$b=\dfrac{5}{2}$。
(2)$\begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases}$
(3)存在。点P的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$或$(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{8}{3})$。
由点P在y=2x的图象上,可设点P的坐标为(m,2m),由$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}$,得点A的坐标为$(0,\dfrac{5}{2})$,点B的坐标为(5,0)。
如图,过点P作$PM⊥ x$轴于点M,$PN⊥ y$轴于点N,所以$△ BOP$的面积为$\dfrac{1}{2}× OB× PM=\dfrac{1}{2}×5×|2m|=5|m|$,$△ AOP$的面积为$\dfrac{1}{2}× OA× PN=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{2}×|m|=\dfrac{5}{4}|m|$,因为$5|m|=\dfrac{5}{4}|m|+5$,所以$|m|=\dfrac{4}{3}$,所以$m=\pm\dfrac{4}{3}$,所以点P的坐标为$(\dfrac{4}{3},\dfrac{8}{3})$或$(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{8}{3})$。