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1. 「2025 上海青浦期末」下列方程组中,是二元一次方程组的是 (
A.$\begin{cases}x + y - z = 0 \\ x - y = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 5y = -1 \\ 2x = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}xy = 2 \\ x - 2y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + \dfrac{1}{y} = 1 \\ 3y + x = 3\end{cases}$
B
)A.$\begin{cases}x + y - z = 0 \\ x - y = 1\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 5y = -1 \\ 2x = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}xy = 2 \\ x - 2y = 3\end{cases}$
D.$\begin{cases}2x + \dfrac{1}{y} = 1 \\ 3y + x = 3\end{cases}$
答案
1. B A 选项中的第一个方程有三个未知数,故不符合题意;B 选项中的方程组属于二元一次方程组,故符合题意;C 选项中的第一个方程含未知数的项的次数是 2,故不符合题意;D 选项中的第一个方程不是整式方程,故不符合题意.故选 B.
2. 「2025 江西南昌二中期末」若方程$(m + 4)x^{m - 3} + 2y = 6$是关于$x$,$y$的二元一次方程,则$m$的值为
4
.答案
2. 答案 4
解析
∵方程 $(m + 4)x^{|m| - 3} + 2y = 6$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程,$\therefore |m| - 3 = 1$ 且 $m + 4 ≠ 0$,解得 $m = 4$.
解析
∵方程 $(m + 4)x^{|m| - 3} + 2y = 6$ 是关于 $x,y$ 的二元一次方程,$\therefore |m| - 3 = 1$ 且 $m + 4 ≠ 0$,解得 $m = 4$.
3. 新考向 结论开放题 「2025 北京房山期末」已知关于$x$,$y$的二元一次方程的一个解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = 2\end{cases}$,则此二元一次方程可以是 ______ .(写出一个即可)
答案
3. 答案 $x + 2y = 5$ (答案不唯一)
解析 已知关于 $x,y$ 的二元一次方程的一个解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$ 则此二元一次方程可以是 $x + 2y = 5$. (答案不唯一)
解析 已知关于 $x,y$ 的二元一次方程的一个解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 2,\end{cases}$ 则此二元一次方程可以是 $x + 2y = 5$. (答案不唯一)
4. 「2025 江苏南通如皋期中」若$\begin{cases}x = 2 \\ y = 3\end{cases}$是二元一次方程组$\begin{cases}ax - by = 2 \\ 2ax + 3by = 4\end{cases}$的解,则$a + b$的值为 ______ .
答案
4. 答案 1
解析 把 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$ 代入二元一次方程组 $\begin{cases}ax - by = 2,\\2ax + 3by = 4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}2a - 3b = 2①,\\4a + 9b = 4②,\end{cases}$ ① + ②,得 $6a + 6b = 6$,所以 $a + b = 1$.
解析 把 $\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$ 代入二元一次方程组 $\begin{cases}ax - by = 2,\\2ax + 3by = 4,\end{cases}$ 得 $\begin{cases}2a - 3b = 2①,\\4a + 9b = 4②,\end{cases}$ ① + ②,得 $6a + 6b = 6$,所以 $a + b = 1$.
5. 「2025 北京海淀期末」解下列方程组:
(1) $\begin{cases}x - y = 1 \\ 2x + 3y = 2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{2x}{3} + \dfrac{3y}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{4x}{5} + \dfrac{5y}{6} = \dfrac{7}{15}\end{cases}$
(1) $\begin{cases}x - y = 1 \\ 2x + 3y = 2\end{cases}$
(2) $\begin{cases}\dfrac{2x}{3} + \dfrac{3y}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{4x}{5} + \dfrac{5y}{6} = \dfrac{7}{15}\end{cases}$
答案
5. 解析 (1) $\begin{cases}x - y = 1①,\\2x + 3y = 2②,\end{cases}$ 由①得 $x = y + 1$③,
把③代入②,得 $2(y + 1) + 3y = 2$,解得 $y = 0$.
将 $y = 0$ 代入③,得 $x = 1$.所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$
(2) 原方程组整理得 $\begin{cases}8x + 9y = 6①,\\24x + 25y = 14②,\end{cases}$
①×3,得 $24x + 27y = 18$③,③ - ②,得 $2y = 4$,解得 $y = 2$,将 $y = 2$ 代入①,得 $8x + 18 = 6$,解得 $x = - 1.5$,
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = - 1.5,\\y = 2.\end{cases}$
把③代入②,得 $2(y + 1) + 3y = 2$,解得 $y = 0$.
将 $y = 0$ 代入③,得 $x = 1$.所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 1,\\y = 0.\end{cases}$
(2) 原方程组整理得 $\begin{cases}8x + 9y = 6①,\\24x + 25y = 14②,\end{cases}$
①×3,得 $24x + 27y = 18$③,③ - ②,得 $2y = 4$,解得 $y = 2$,将 $y = 2$ 代入①,得 $8x + 18 = 6$,解得 $x = - 1.5$,
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = - 1.5,\\y = 2.\end{cases}$
6. 「2025 湖北武汉三模」现有 1 角、5 角、1 元硬币各 25 枚,从中取出 36 枚,共值 24 元,则取出 1 元硬币
12 或 16 或 20
枚.答案
6. 答案 12 或 16 或 20
解析 设取出 1 元硬币 $x$ 枚,5 角硬币 $y$ 枚,则取出 1 角硬币 $(36 - x - y)$ 枚,根据题意得 $10x + 5y + (36 - x - y) = 240,\therefore y = 51 - \frac{9}{4}x$,
$\because x,y,(36 - x - y)$ 均为非负整数,且 $x ≤ 25,y ≤ 25$,
$\therefore \begin{cases}x = 12,\\y = 24\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 16,\\y = 15\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 20,\\y = 6,\end{cases}$
∴取出 1 元硬币 12 枚或 16 枚或 20 枚.
解析 设取出 1 元硬币 $x$ 枚,5 角硬币 $y$ 枚,则取出 1 角硬币 $(36 - x - y)$ 枚,根据题意得 $10x + 5y + (36 - x - y) = 240,\therefore y = 51 - \frac{9}{4}x$,
$\because x,y,(36 - x - y)$ 均为非负整数,且 $x ≤ 25,y ≤ 25$,
$\therefore \begin{cases}x = 12,\\y = 24\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 16,\\y = 15\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 20,\\y = 6,\end{cases}$
∴取出 1 元硬币 12 枚或 16 枚或 20 枚.
7. 「2025 湖南长沙浏阳期末」“江上往来人,但爱鲈鱼美.”鲈鱼肉鲜味美因而成为很多家庭的餐桌菜品.周末,王芳带了 100 元到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子,已知鲈鱼每千克 35 元,茄子每千克 6 元,她买的茄子比鲈鱼多 0.5 千克,共花费 44 元,她买了鲈鱼和茄子各多少千克?在单价不变的情况下,找回的钱下次最多可以买一条多重的鲈鱼?
答案
7. 解析 设她买了 $x$ 千克鲈鱼,$y$ 千克茄子,
根据题意得 $\begin{cases}y - x = 0.5,\\35x + 6y = 44,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 1.5,\end{cases}$
$(100 - 44) ÷ 35 = 1.6$ (千克).
答:她买了 1 千克鲈鱼,1.5 千克茄子,在单价不变的情况下,找回的钱下次最多可以买一条 1.6 千克的鲈鱼.
根据题意得 $\begin{cases}y - x = 0.5,\\35x + 6y = 44,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 1,\\y = 1.5,\end{cases}$
$(100 - 44) ÷ 35 = 1.6$ (千克).
答:她买了 1 千克鲈鱼,1.5 千克茄子,在单价不变的情况下,找回的钱下次最多可以买一条 1.6 千克的鲈鱼.
8. 「2025 天津和平期中」三元一次方程组$\begin{cases}x + y + z = 12 \\ x + 2y + 5z = 22 \\ x = 4y\end{cases}$的解是 ______ .
答案
8. 答案 $\begin{cases}x = 8\\y = 2\\z = 2\end{cases}$
解析 $\begin{cases}x + y + z = 12①,\\x + 2y + 5z = 22②,\\x = 4y③,\end{cases}$ 把③代入①,得 $5y + z = 12$④,
把③代入②,得 $6y + 5z = 22$⑤,
④×5 - ⑤,得 $19y = 38$,解得 $y = 2$.
把 $y = 2$ 代入③,得 $x = 8$.
把 $y = 2$ 代入④,得 $10 + z = 12$,解得 $z = 2$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 8,\\y = 2,\\z = 2.\end{cases}$
解析 $\begin{cases}x + y + z = 12①,\\x + 2y + 5z = 22②,\\x = 4y③,\end{cases}$ 把③代入①,得 $5y + z = 12$④,
把③代入②,得 $6y + 5z = 22$⑤,
④×5 - ⑤,得 $19y = 38$,解得 $y = 2$.
把 $y = 2$ 代入③,得 $x = 8$.
把 $y = 2$ 代入④,得 $10 + z = 12$,解得 $z = 2$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 8,\\y = 2,\\z = 2.\end{cases}$
9. 「2024 河南宜阳期中」已知某个三角形的周长为 18 cm,其中两条边的长度之和等于第三条边长度的 2 倍,而它们的差等于第三条边长度的$\dfrac{1}{3}$,求这个三角形三边的长度.
答案
9. 解析 根据题意,设这个三角形中的两条边的长度分别为 $a\ \mathrm{cm},b\ \mathrm{cm}(a ＞ b)$,第三条边的长度为 $c\ \mathrm{cm}$.依题意得 $\begin{cases}a + b + c = 18,\\a + b = 2c,\\a - b = \frac{1}{3}c,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 7,\\b = 5,\\c = 6.\end{cases}$
答:这个三角形的三边长分别为 $7\ \mathrm{cm},5\ \mathrm{cm},6\ \mathrm{cm}$.
答:这个三角形的三边长分别为 $7\ \mathrm{cm},5\ \mathrm{cm},6\ \mathrm{cm}$.
