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1.「2025河南郑州期中」下列式子：①$-3 ＜ 0$；②$2x + 3y ≥ 0$；③$x = 1$；④$x^2 - 2xy + y^2$；⑤$x + 1 ＞ 3$。其中是不等式的有(
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
C
)A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
1. C ①②⑤是不等式，③是等式，④是整式，
∴是不等式的有3个。故选C。
∴是不等式的有3个。故选C。
2.「2025安徽安庆怀宁期中」下列说法中，正确的是(
A.$x = 1$是不等式$-2x ＜ 1$的解集
B.$x = 1$是不等式$-2x ＜ 1$的解
C.$x = -\dfrac{1}{2}$是不等式$-2x ＜ 1$的解
D.不等式$-2x ＜ 1$的解是$x = 1$
B
)A.$x = 1$是不等式$-2x ＜ 1$的解集
B.$x = 1$是不等式$-2x ＜ 1$的解
C.$x = -\dfrac{1}{2}$是不等式$-2x ＜ 1$的解
D.不等式$-2x ＜ 1$的解是$x = 1$
答案
2. B 解不等式$-2x ＜ 1$得$x ＞ -\frac{1}{2}$，所以$x = 1$是不等式$-2x ＜ 1$的一个解，但不是它的解集，所以A选项错误、B选项正确；不等式$-2x ＜ 1$的解集不包括$x = -\frac{1}{2}$，所以C选项错误；不等式$-2x ＜ 1$的解有无数个，不仅仅是$x = 1$，所以D选项错误。故选B。
3.「2025北京顺义期末」若$a ＜ b$，则下列不等式成立的是(
A.$a - 3 ＞ b - 3$
B.$-5a ＜ -5b$
C.$2a - 2b ＜ 0$
D.$3a + 2 ＞ 3b + 2$
C
)A.$a - 3 ＞ b - 3$
B.$-5a ＜ -5b$
C.$2a - 2b ＜ 0$
D.$3a + 2 ＞ 3b + 2$
答案
3. C $a ＜ b$，不等式的两边都减去3，得$a - 3 ＜ b - 3$，故A选项不成立；不等式的两边都乘-5，得$-5a ＞ -5b$，故B选项不成立；不等式的两边都乘2，得$2a ＜ 2b$，不等式$2a ＜ 2b$的两边都减去$2b$，得$2a - 2b ＜ 0$，故C选项成立；不等式的两边都乘3，得$3a ＜ 3b$，不等式$3a ＜ 3b$的两边都加上2，得$3a + 2 ＜ 3b + 2$，故D选项不成立。故选C。
4.「2025河南周口川汇期末」
(1)解不等式$\dfrac{1 - x}{5} + 2 ≥ \dfrac{x - 4}{2}$，并写出它所有的正整数解。
(2)解不等式组$\begin{cases}1 - \dfrac{5}{3}x ≥ \dfrac{1}{3}x - 3 ①, \\ 5x - 1 ＞ 3(x - \dfrac{1}{3}) ②,\end{cases}$利用数轴确定不等式组的解集。
(1)解不等式$\dfrac{1 - x}{5} + 2 ≥ \dfrac{x - 4}{2}$，并写出它所有的正整数解。
(2)解不等式组$\begin{cases}1 - \dfrac{5}{3}x ≥ \dfrac{1}{3}x - 3 ①, \\ 5x - 1 ＞ 3(x - \dfrac{1}{3}) ②,\end{cases}$利用数轴确定不等式组的解集。
答案
4. 解析 （1）去分母，得$2(1 - x) + 20 ≥ 5(x - 4)$。去括号，得$2 - 2x + 20 ≥ 5x - 20$。移项，得$-2x - 5x ≥ -20 - 20 - 2$。合并同类项，得$-7x ≥ -42$。系数化为1，得$x ≤ 6$。所以不等式的正整数解是1，2，3，4，5，6。
（2）解不等式①，得$x ≤ 2$。解不等式②，得$x ＞ 0$。把不等式①和②的解集在数轴上表示如图：
所以不等式组的解集为$0 ＜ x ≤ 2$。
5.「2025河南郑州西一中学月考」若关于$x$的不等式$3x - a ＞ 1$只有两个负整数解，则$a$的取值范围是
-10 ≤ a ＜ -7
。答案
5. 答案 $-10 ≤ a ＜ -7$
解析 解不等式$3x - a ＞ 1$得$x ＞ \frac{a + 1}{3}$。
∵关于x的不等式$3x - a ＞ 1$只有两个负整数解，
∴$-3 ≤ \frac{a + 1}{3} ＜ -2$。
∴$-10 ≤ a ＜ -7$。
解析 解不等式$3x - a ＞ 1$得$x ＞ \frac{a + 1}{3}$。
∵关于x的不等式$3x - a ＞ 1$只有两个负整数解，
∴$-3 ≤ \frac{a + 1}{3} ＜ -2$。
∴$-10 ≤ a ＜ -7$。
6.「2025江苏徐州期末」若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 2, \\ 2x ＜ 2m\end{cases}$无解，则$m$的取值范围是 ______ 。
答案
6. 答案 $m ≤ 3$
解析 $\begin{cases}x - 1 ＞ 2 ①, \\ 2x ＜ 2m ②,\end{cases}$解不等式①，得$x ＞ 3$。解不等式②，得$x ＜ m$。
∵不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 2, \\ 2x ＜ 2m\end{cases}$无解，
∴$m ≤ 3$。
解析 $\begin{cases}x - 1 ＞ 2 ①, \\ 2x ＜ 2m ②,\end{cases}$解不等式①，得$x ＞ 3$。解不等式②，得$x ＜ m$。
∵不等式组$\begin{cases}x - 1 ＞ 2, \\ 2x ＜ 2m\end{cases}$无解，
∴$m ≤ 3$。
7.「2025福建泉州泉港期末」学校为丰富图书馆藏书，提高学生的阅读能力，计划购买一批科普类和文学类的书籍。书店给出优惠价：科普类书籍每本30元，文学类书籍每本40元。若学校计划购买这两类书籍共100本，在预算不超过3600元的前提下，学校至少要购买多少本科普类书籍？
答案
7. 解析 设学校购买x本科普类书籍，则购买$(100 - x)$本文学类书籍，根据题意得$30x + 40(100 - x) ≤ 3600$，解得$x ≥ 40$，
∴x的最小值为40。答：学校至少要购买40本科普类书籍。
∴x的最小值为40。答：学校至少要购买40本科普类书籍。
8.「2025陕西咸阳渭城期中」四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，育才中学组织八年级全体师生共500人外出游学，学校计划租用A，B两种型号客车共10辆，已知A型客车可以乘坐54人，租金为380元；B型客车可以乘坐39人，租金为310元。在保证将全部师生送达目的地的前提下，租车费用不超过3750元，学校可以选择哪几种租车方案？
答案
8. 解析 设学校租A型客车x辆，则租B型客车$(10 - x)$辆，由题意得$\begin{cases}54x + 39(10 - x) ≥ 500, \\ 380x + 310(10 - x) ≤ 3750,\end{cases}$解得$\frac{22}{3} ≤ x ≤ \frac{65}{7}$，
∵x为整数，
∴x可以取8或9，
∴共有2种租车方案，方案一：租8辆A型客车，2辆B型客车，方案二：租9辆A型客车，1辆B型客车。
∵x为整数，
∴x可以取8或9，
∴共有2种租车方案，方案一：租8辆A型客车，2辆B型客车，方案二：租9辆A型客车，1辆B型客车。
