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1. 零次幂
任何
$a^0=1(a≠0)$
任何
非零
实数的零次幂都等于1.即$a^0=1(a≠0)$
答案
1. 非零
解析
【分析】
本题考查零次幂的基本概念，解题时可结合零次幂的推导过程思考：零次幂由同底数幂的除法法则推导而来，即$a^m÷ a^m = a^{m-m}=a^0$，而除法运算中除数不能为0，因此底数$a$不能为0，由此可确定空缺处的内容。
【解析】
根据零次幂的规定：因为0不能作除数，所以只有当底数$a≠0$时，$a^0=1$才成立，即任何非零实数的零次幂都等于1，因此横线处应填“非零”。
【答案】
非零
【知识点】
零次幂的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点关注零次幂成立的前提条件，是零次幂相关运算的基础，需牢记底数不为0的限制。
【难度系数】
0.9
本题考查零次幂的基本概念，解题时可结合零次幂的推导过程思考：零次幂由同底数幂的除法法则推导而来，即$a^m÷ a^m = a^{m-m}=a^0$，而除法运算中除数不能为0，因此底数$a$不能为0，由此可确定空缺处的内容。
【解析】
根据零次幂的规定：因为0不能作除数，所以只有当底数$a≠0$时，$a^0=1$才成立，即任何非零实数的零次幂都等于1，因此横线处应填“非零”。
【答案】
非零
【知识点】
零次幂的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点关注零次幂成立的前提条件，是零次幂相关运算的基础，需牢记底数不为0的限制。
【难度系数】
0.9
【变式2】计算：$-1^{2024} × 4 + (-\dfrac{1}{3})^{-2} + (π - 5)^0.$
答案
解:$-1^{2024}×4+(-\frac{1}{3})^{-2}+(π-5)^0=-1×4+9+1=6.$
解析
【分析】
本题是有理数混合运算题，需按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序解题：首先分别计算各幂次的值：①计算$-1^{2024}$时，注意底数为1，2024是偶数，故$1^{2024}=1$，添加负号后结果为$-1$；②计算$(-\dfrac{1}{3})^{-2}$时，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可转化为$\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}$计算；③计算$(π-5)^0$时，根据非零数的零次幂等于1的性质，$π-5≠0$，因此结果为1。接下来计算乘法，最后合并所有结果即可。
【解析】
解：原式$=-1×4 + \dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2} + 1$
$=-4 + 9 + 1$
$=6$
【答案】
$6$
【知识点】
零指数幂的性质、负整数指数幂的运算、有理数混合运算
【点评】
本题主要考查幂的相关运算和有理数混合运算规则，易错点是混淆$-1^n$与$(-1)^n$的符号、负整数指数幂计算错误，解题时牢记运算法则，按运算顺序逐步计算即可降低出错率。
【难度系数】
0.7
本题是有理数混合运算题，需按照“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序解题：首先分别计算各幂次的值：①计算$-1^{2024}$时，注意底数为1，2024是偶数，故$1^{2024}=1$，添加负号后结果为$-1$；②计算$(-\dfrac{1}{3})^{-2}$时，根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，可转化为$\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2}$计算；③计算$(π-5)^0$时，根据非零数的零次幂等于1的性质，$π-5≠0$，因此结果为1。接下来计算乘法，最后合并所有结果即可。
【解析】
解：原式$=-1×4 + \dfrac{1}{(-\dfrac{1}{3})^2} + 1$
$=-4 + 9 + 1$
$=6$
【答案】
$6$
【知识点】
零指数幂的性质、负整数指数幂的运算、有理数混合运算
【点评】
本题主要考查幂的相关运算和有理数混合运算规则，易错点是混淆$-1^n$与$(-1)^n$的符号、负整数指数幂计算错误，解题时牢记运算法则，按运算顺序逐步计算即可降低出错率。
【难度系数】
0.7
【例2】随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积$0.000\ 000\ 65\ \mathrm{mm}^2$，$0.000\ 000\ 65$用科学记数法表示为（
A.$6.5× 10^{7}$
B.$6.5× 10^{-6}$
C.$6.5× 10^{-8}$
D.$6.5× 10^{-7}$
方法归纳 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，先确定$a$的值，注意$1≤ |a|＜10$，再确定$n$的值，$n$等于从左边数第一个不为0的数前面的0的个数（包括小数点前面的0）。
D
）A.$6.5× 10^{7}$
B.$6.5× 10^{-6}$
C.$6.5× 10^{-8}$
D.$6.5× 10^{-7}$
方法归纳 用科学记数法表示绝对值小于1的数时，先确定$a$的值，注意$1≤ |a|＜10$，再确定$n$的值，$n$等于从左边数第一个不为0的数前面的0的个数（包括小数点前面的0）。
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确用科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中满足$1≤ a＜10$，$n$是正整数。解题时分两步走：第一步先确定$a$的值，将原数的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于小数点向右移动的位数，也等于原数中第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0），最后对应选项选出答案即可。
【解析】
用科学记数法表示$0.00000065$：
1. 确定$a$的值：把$0.00000065$的小数点向右移动7位，得到$6.5$，满足$1≤6.5＜10$，即$a=6.5$；
2. 确定指数：因为小数点向右移动了7位，且原数小于1，所以指数为$-7$；
因此$0.00000065=6.5×10^{-7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，核心是掌握表示绝对值小于1的数时$a$的取值要求和指数的确定方法，只要细心数清楚0的个数就不容易出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确用科学记数法表示小于1的正数的规则：形式为$a×10^{-n}$，其中满足$1≤ a＜10$，$n$是正整数。解题时分两步走：第一步先确定$a$的值，将原数的小数点向右移动，直到得到的数在1到10之间，这个数就是$a$；第二步确定$n$的值，$n$等于小数点向右移动的位数，也等于原数中第一个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0），最后对应选项选出答案即可。
【解析】
用科学记数法表示$0.00000065$：
1. 确定$a$的值：把$0.00000065$的小数点向右移动7位，得到$6.5$，满足$1≤6.5＜10$，即$a=6.5$；
2. 确定指数：因为小数点向右移动了7位，且原数小于1，所以指数为$-7$；
因此$0.00000065=6.5×10^{-7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂
【点评】
本题是科学记数法的基础考查题型，核心是掌握表示绝对值小于1的数时$a$的取值要求和指数的确定方法，只要细心数清楚0的个数就不容易出错。
【难度系数】
0.9
【例1】计算:(1)$2^0=$
(2)$3^{-2}=$
方法归纳 运用公式$a^0=1$,必须先判断$a$是否为0;运用公式$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$,应先将指数化负为正,取倒数,再计算.
1
;(2)$3^{-2}=$
$\frac{1}{9}$
.方法归纳 运用公式$a^0=1$,必须先判断$a$是否为0;运用公式$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$,应先将指数化负为正,取倒数,再计算.
答案
(1). 1 (2). $\frac{1}{9}$
解析
【分析】
解答本题需分别对应零次幂、负整数指数幂的运算规则思考：
1. 对于第(1)问求$2^0$，先回忆零次幂的运算性质：非零数的零次幂等于1，先判断底数2不为0，可直接套用公式计算；
2. 对于第(2)问求$3^{-2}$，回忆负整数指数幂的运算性质：非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，先判断底数3不为0，将负指数转化为正指数的倒数后再计算。
【解析】
(1) 根据零指数幂的运算性质：当$a≠0$时，$a^0=1$。
因为底数$2≠0$，所以$2^0=1$。
(2) 根据负整数指数幂的运算性质：当$a≠0$，$n$为正整数时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
因为底数$3≠0$，所以$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
【答案】
(1) $1$；(2) $\frac{1}{9}$
【知识点】
零次幂的运算；负整数指数幂的运算
【点评】
本题考查指数幂的基础运算，解题的核心是牢记两类指数幂的运算规则，同时注意运算成立的前提是底数不为0，属于基础运算类题目，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解答本题需分别对应零次幂、负整数指数幂的运算规则思考：
1. 对于第(1)问求$2^0$，先回忆零次幂的运算性质：非零数的零次幂等于1，先判断底数2不为0，可直接套用公式计算；
2. 对于第(2)问求$3^{-2}$，回忆负整数指数幂的运算性质：非零数的负整数次幂等于这个数正整数次幂的倒数，先判断底数3不为0，将负指数转化为正指数的倒数后再计算。
【解析】
(1) 根据零指数幂的运算性质：当$a≠0$时，$a^0=1$。
因为底数$2≠0$，所以$2^0=1$。
(2) 根据负整数指数幂的运算性质：当$a≠0$，$n$为正整数时，$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$。
因为底数$3≠0$，所以$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$。
【答案】
(1) $1$；(2) $\frac{1}{9}$
【知识点】
零次幂的运算；负整数指数幂的运算
【点评】
本题考查指数幂的基础运算，解题的核心是牢记两类指数幂的运算规则，同时注意运算成立的前提是底数不为0，属于基础运算类题目，熟练掌握公式即可快速得分。
【难度系数】
0.9
【变式1】有下列算式:①$0.001^0=1$;②$10^{-3}=0.001$;③$10^{-5}=-0.00001$;④$(6-3×2)^0=1$.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆零次幂和负整数指数幂的运算规则：1. 零次幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，注意底数不能为0，0的0次幂无意义；2. 负整数指数幂：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）。接下来依次对4个算式逐一验证判断即可。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
1. 算式①：$0.001^0$，底数$0.001≠0$，根据零次幂的规则，$0.001^0=1$，该算式正确。
2. 算式②：$10^{-3}$，根据负整数指数幂规则，$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0.001$，该算式正确。
3. 算式③：$10^{-5}=\frac{1}{10^5}=0.00001$，结果为正数，不是-0.00001，该算式错误。
4. 算式④：先计算底数$6-3×2=0$，0的0次幂无意义，所以$(6-3×2)^0=1$不成立，该算式错误。
综上，正确的算式是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
零次幂的性质，负整数指数幂的运算
【点评】
本题重点考查零次幂和负整数指数幂的运算，易错点是容易忽略零次幂的底数不能为0的前提条件，同时要注意负整数指数幂仅代表运算为取倒数，不会改变运算结果的符号。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆零次幂和负整数指数幂的运算规则：1. 零次幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，注意底数不能为0，0的0次幂无意义；2. 负整数指数幂：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p是正整数）。接下来依次对4个算式逐一验证判断即可。
【解析】
我们逐个分析每个算式：
1. 算式①：$0.001^0$，底数$0.001≠0$，根据零次幂的规则，$0.001^0=1$，该算式正确。
2. 算式②：$10^{-3}$，根据负整数指数幂规则，$10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}=0.001$，该算式正确。
3. 算式③：$10^{-5}=\frac{1}{10^5}=0.00001$，结果为正数，不是-0.00001，该算式错误。
4. 算式④：先计算底数$6-3×2=0$，0的0次幂无意义，所以$(6-3×2)^0=1$不成立，该算式错误。
综上，正确的算式是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
零次幂的性质，负整数指数幂的运算
【点评】
本题重点考查零次幂和负整数指数幂的运算，易错点是容易忽略零次幂的底数不能为0的前提条件，同时要注意负整数指数幂仅代表运算为取倒数，不会改变运算结果的符号。
【难度系数】
0.7
【变式1】近年来，我国芯片技术突飞猛进，在这领域常使用长度单位纳米$(1\ \mathrm{nm}=0.000\ 001\ \mathrm{mm})$，将数据“5纳米”用科学记数法表示为（
A.$0.5×10^{-5}\ \mathrm{mm}$
B.$5×10^{-5}\ \mathrm{mm}$
C.$5×10^{-6}\ \mathrm{mm}$
D.$0.5×10^{-6}\ \mathrm{mm}$
C
）A.$0.5×10^{-5}\ \mathrm{mm}$
B.$5×10^{-5}\ \mathrm{mm}$
C.$5×10^{-6}\ \mathrm{mm}$
D.$0.5×10^{-6}\ \mathrm{mm}$
答案
C
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心要点：一是纳米和毫米的换算关系，二是科学记数法表示小于1的正数的规则。第一步先根据给出的1nm与mm的换算关系，将5纳米换算为以mm为单位的数；第二步回忆科学记数法的形式：表示较小数时为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤ |a|＜10$，n等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0），最后把换算后的数写成符合要求的科学记数法形式，匹配选项即可。
【解析】
解：已知$1\ \mathrm{nm}=0.000001\ \mathrm{mm}$，
所以$5\ \mathrm{nm}=5×0.000001\ \mathrm{mm}$，
因为$0.000001=1×10^{-6}$，
所以$5\ \mathrm{nm}=5×1×10^{-6}\ \mathrm{mm}=5×10^{-6}\ \mathrm{mm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂；单位换算
【点评】
本题考查用科学记数法表示较小的数，同时结合了长度单位的换算，属于基础题型，解题关键是牢记科学记数法的格式要求和单位换算的进率，计算时注意数清小数点前0的个数，避免出错。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确两个核心要点：一是纳米和毫米的换算关系，二是科学记数法表示小于1的正数的规则。第一步先根据给出的1nm与mm的换算关系，将5纳米换算为以mm为单位的数；第二步回忆科学记数法的形式：表示较小数时为$a×10^{-n}$，其中要求$1≤ |a|＜10$，n等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（含小数点前的0），最后把换算后的数写成符合要求的科学记数法形式，匹配选项即可。
【解析】
解：已知$1\ \mathrm{nm}=0.000001\ \mathrm{mm}$，
所以$5\ \mathrm{nm}=5×0.000001\ \mathrm{mm}$，
因为$0.000001=1×10^{-6}$，
所以$5\ \mathrm{nm}=5×1×10^{-6}\ \mathrm{mm}=5×10^{-6}\ \mathrm{mm}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法；负整数指数幂；单位换算
【点评】
本题考查用科学记数法表示较小的数，同时结合了长度单位的换算，属于基础题型，解题关键是牢记科学记数法的格式要求和单位换算的进率，计算时注意数清小数点前0的个数，避免出错。
【难度系数】
0.8
【变式2】某种微生物的半径约为0.000 006 37 m，
若把数据0.000 006 37用科学记数法表示为$6.37×10^n$的形式，则$n=$
若把数据0.000 006 37用科学记数法表示为$6.37×10^n$的形式，则$n=$
-6
。答案
-6
解析
【分析】
要解决本题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，当原数小于1时，$n$为负整数，$n$的绝对值等于把原数变为$a$时小数点向右移动的位数，也等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含整数位的0）。我们可以通过移动小数点的方法快速确定$n$的值。
【解析】
第一步：明确科学记数法表示较小数的要求，要将$0.00000637$写成$6.37×10^n$的形式，先把原数的小数点向右移动，直到得到符合要求的$a=6.37$。
第二步：数小数点移动的位数：将$0.00000637$的小数点向右移动6位后得到$6.37$，因为原数小于1，所以指数$n$为负数，即$n=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
科学记数法表示较小的数；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，解题核心是准确判断小数点移动的位数，熟练掌握相关规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要回忆用科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，当原数小于1时，$n$为负整数，$n$的绝对值等于把原数变为$a$时小数点向右移动的位数，也等于原数左边第一个非零数字前所有0的个数（包含整数位的0）。我们可以通过移动小数点的方法快速确定$n$的值。
【解析】
第一步：明确科学记数法表示较小数的要求，要将$0.00000637$写成$6.37×10^n$的形式，先把原数的小数点向右移动，直到得到符合要求的$a=6.37$。
第二步：数小数点移动的位数：将$0.00000637$的小数点向右移动6位后得到$6.37$，因为原数小于1，所以指数$n$为负数，即$n=-6$。
【答案】
-6
【知识点】
科学记数法表示较小的数；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础题型，主要考查科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，解题核心是准确判断小数点移动的位数，熟练掌握相关规则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
