1. (2025 潍坊)若一元二次方程$x^2 - 2x + c = 0$有两个相等的实数根，则$c$的值为（）

A.$-1$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

1. D

【分析】
本题已知一元二次方程有两个相等的实数根，解题的核心是联想到一元二次方程根的个数与判别式的对应关系：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。我们先确定方程中对应a、b的取值，再代入Δ=0建立关于c的一元一次方程，求解即可得到c的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2-4ac=0$。
在方程$x^2 - 2x + c = 0$中，$a=1$，$b=-2$，常数项为$c$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1× c = 0$
计算得$4 - 4c = 0$，
移项得$4c=4$，
解得$c=1$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记判别式与根的个数的对应关系即可快速解题，得分率较高。
【难度系数】
0.9

2. 下列方程,最适合用公式法求解的是（）

A.$(x - 1)^2 = 4$
B.$2x^2 = 8$
C.$x^2 - x - 1 = 0$
D.$2(x + 1)^2 - 20 = 0$

2. C

【分析】
要判断哪个方程最适合用公式法求解，首先需要明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的方程，计算更简便；因式分解法适用于方程左边易分解为两个一次因式乘积、右边为0的情况；公式法适用于所有一元二次方程，尤其适合无法用上述两种简便方法求解的方程。接下来逐一分析每个选项的方程形式，判断其适配的最优解法即可。
【解析】
我们逐个分析各选项适合的解法：
A. 方程$(x-1)^2=4$符合$(ax+b)^2=c$的形式，适合直接开平方法，两边开平方即可快速求解，无需使用公式法；
B. 方程$2x^2=8$化简后为$x^2=4$，可直接开平方得到解，适合直接开平方法；
C. 方程$x^2-x-1=0$无法直接变形为完全平方式等于非负常数的形式，也不易进行因式分解，因此最适合用公式法求解；
D. 方程$2(x+1)^2-20=0$移项、化简后可得$(x+1)^2=10$，符合直接开平方法的适用形式，开平方即可快速求解。
综上，最适合用公式法求解的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 公式法解一元二次方程
3. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题核心是熟练掌握各类解法的适用特征，根据方程的结构特点选择最简便的解法即可。
【难度系数】
0.9

3. (2025 广东)不解方程,判断一元二次方程$2x^2 + x -1=0$的根的情况是.

3. 有两个不相等的实数根

【分析】
不解方程判断一元二次方程根的情况，需使用一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路为：首先确定一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中对应的$a$、$b$、$c$的值，注意各项的符号；其次代入判别式公式计算$\Delta$的数值；最后根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 + x -1=0$，对应一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$a=2$，$b=1$，$c=-1$
代入根的判别式公式得：
$\Delta = 1^2 - 4×2×(-1) = 1 + 8 = 9$
∵$9＞0$，即$\Delta＞0$
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根。
【答案】
有两个不相等的实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是准确识别方程各项的系数、牢记判别式不同取值对应的根的三种情况，计算时注意系数的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.85

4. 用公式法解方程：
(1) $x^2 + 2x - 2 = -7$；
(2) $2x^2 - 4x - 5 = 0$。

4. (1)解:方程化为$x^2 + 2x + 5 = 0$.
这里$a = 1,b = 2,c = 5$.
$\because b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × 5 = -16 ＜ 0$,
$\therefore$ 方程无实数根.
(2)解:这里$a = 2,b = -4,c = -5$.
$\because b^2 - 4ac = ( - 4)^2 - 4 × 2 × ( - 5) = 56 ＞ 0$,
$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{- ( - 4) \pm \sqrt{56}}{2 × 2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{14}}{4}$.
$\therefore x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2},x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$.

【分析】
使用公式法解一元二次方程时，需遵循固定解题步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值；②计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若方程有实根，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算并化简结果即可。
对于第(1)题，先移项把常数项移到等号左侧化为一般式，再计算判别式判断根的情况；第(2)题已是一般形式，直接确定$a$、$b$、$c$后代入步骤计算即可。
【解析】
(1) 解：移项整理方程，得$x^2 + 2x + 5 = 0$，
其中二次项系数$a = 1$，一次项系数$b = 2$，常数项$c = 5$，
计算根的判别式：$\because b^2 - 4ac = 2^2 - 4 × 1 × 5 = 4 - 20 = -16 ＜ 0$，
$\therefore$ 原方程无实数根。
(2) 解：方程$2x^2 - 4x - 5 = 0$已是一般形式，
其中二次项系数$a = 2$，一次项系数$b = -4$，常数项$c = -5$，
计算根的判别式：$\because b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 × 2 × (-5) = 16 + 40 = 56 ＞ 0$，
$\therefore$ 代入求根公式得$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{56}}{2 × 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4}$，
化简得：$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$，$x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$。
【答案】
(1) 方程无实数根；
(2) $x_1 = 1 + \frac{\sqrt{14}}{2},x_2 = 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程一般式
【点评】
本题是公式法解方程的基础练习题，解题核心是严格遵循公式法的解题步骤，注意移项要变号，确定$a$、$b$、$c$时要带上对应符号，计算判别式时注意运算符号，有实根时结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8

5. 已知关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^2 - 3x + 1 = 0$无实数根，求$a$的取值范围.

5. 解:$\because$ 关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^2 - 3x + 1 = 0$无实数根，
$\therefore \Delta = ( - 3)^2 - 4(a + 2) ＜ 0$ 且 $a + 2 ≠ 0$. 解得 $a ＞ \frac{1}{4}$.
$\therefore a$ 的取值范围是 $a ＞ \frac{1}{4}$.

【分析】
解题时先抓住题目的两个关键信息：一是该方程是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会退化为一元一次方程，不符合题目的定义要求；二是方程无实数根，对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，无实根的等价条件是判别式$\Delta=B^2-4AC＜0$。接下来我们只需要分别列出这两个条件对应的不等式，求解后取公共部分，就能得到$a$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的一元二次方程$(a + 2)x^2 - 3x + 1 = 0$无实数根，
$\therefore$ 需同时满足两个条件：
1. 二次项系数不为0：$a+2≠0$，解得$a≠-2$；
2. 判别式小于0：$\Delta=(-3)^2-4×(a+2)×1＜0$，
计算得：$9-4(a+2)＜0$，
去括号化简：$1-4a＜0$，
移项解得：$a＞\frac{1}{4}$。
结合两个条件，$a＞\frac{1}{4}$已经满足$a≠-2$，因此可得$a$的取值范围。
【答案】
$a ＞ \frac{1}{4}$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，易错点是容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含限制条件，解题时要养成先验证方程定义条件，再结合根的情况列式求解的习惯。
【难度系数】
0.7

6. 用20 cm长的铁丝围矩形.
(1)若所围矩形的面积是16 cm²,则所围矩形的长、宽分别为多少厘米？
(2)能围成一个面积是30 cm²的矩形吗？若能,请求长、宽分别为多少厘米；若不能,请说明理由.

6. 解:(1)设矩形一边长为$x$ cm,则另一边长为$(\frac{20}{2} - x)$cm.
由题意,得$(\frac{20}{2} - x)x = 16$. 解得 $x_1 = 2,x_2 = 8$.
$\therefore \frac{20}{2} - x = 8$ 或 2.
答:矩形的长和宽分别为8 cm和2 cm.
(2)不能. 理由如下：
设矩形一边长为$y$ cm,则另一边长为$(\frac{20}{2} - y)$cm.
由题意,得$(\frac{20}{2} - y)y = 30$. 整理得 $y^2 - 10y + 30 = 0$.
$\because a = 1,b = - 10,c = 30,b^2 - 4ac = - 20 ＜ 0$,
$\therefore$ 此方程无实数根.
答:不能围成一个面积是30 cm²的矩形.

【分析】
本题是一元二次方程在矩形围建问题中的实际应用，解题思路可梳理为：首先明确铁丝长度为矩形周长，可得矩形相邻两边之和为周长的一半即10cm；第一问可设其中一边长为未知数，用含未知数的式子表示出另一边长，再结合已知面积列一元二次方程求解，最后结合长大于宽的常识确定长宽即可；第二问同理根据目标面积列方程，再通过计算一元二次方程根的判别式，判断方程是否有正实数根，即可确定能否围成对应面积的矩形。
【解析】
(1) 设矩形一边长为$x$ cm，则另一边长为$(\frac{20}{2} - x)=(10 - x)$ cm。
由题意得面积等量关系：
$x(10 - x) = 16$
整理得$x^2 - 10x + 16 = 0$，
解得 $x_1 = 2$，$x_2 = 8$。
当$x=2$时，$10 - x = 8$；当$x=8$时，$10 - x = 2$，结合矩形长大于宽的属性，可得长为8cm，宽为2cm。
(2) 不能围成，理由如下：
设矩形一边长为$y$ cm，则另一边长为$(10 - y)$ cm。
由题意得：$y(10 - y) = 30$
整理得$y^2 - 10y + 30 = 0$，
其中$a=1$，$b=-10$，$c=30$，根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4×1×30 = -20 ＜ 0$，
因此该方程无实数根，即不存在符合条件的矩形边长，故不能围成面积为30cm²的矩形。
【答案】
(1) 所围矩形的长为8 cm，宽为2 cm；
(2) 不能围成面积是30 cm²的矩形。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形的周长与面积计算、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，结合了矩形的基本性质，解题核心是根据周长建立两边的数量关系，再结合面积等量关系列方程，第二问需通过根的判别式判断实际问题是否有解，能有效考查学生建立数学模型解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.75

7.已知关于$x$的一元二次方程$(x - 3)(x - 2) = m^2$.
(1)求证:对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求$m$的值及方程的另一个根.

7. (1)证明:原方程可化为$x^2 - 5x + 6 - m^2 = 0$.
这里$a = 1,b = - 5,c = 6 - m^2$.
$\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 4(6 - m^2) = 1 + 4m^2$.
$\because m^2 \ge 0, \therefore 1 + 4m^2 ＞ 0$,即$\Delta ＞ 0$.
$\therefore$ 对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:若方程的一个根是1,则$(1 - 3) × (1 - 2) = m^2$,
即$m^2 = 2$. 解得 $m = \pm \sqrt{2}$.
$\therefore$ 原方程可化为$x^2 - 5x + 4 = 0$. 解得 $x_1 = 1,x_2 = 4$.
$\therefore$ 方程的另一个根为4.

【分析】
（1）要证明对任意实数m，一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心是证明方程的判别式Δ恒大于0。首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，代入判别式公式计算Δ，再结合平方的非负性（m²≥0）判断Δ的符号，即可完成证明。
（2）已知方程的一个根是1，可直接将x=1代入原方程求出m²的值，进而得到m的取值，再将m²的值代入原方程求解，即可得到另一个根；也可利用根与系数的关系直接求解另一个根，两种方法均符合要求。
【解析】
(1)证明：原方程可化为$x^2 - 5x + 6 - m^2 = 0$，
其中$a = 1,b = - 5,c = 6 - m^2$，
则判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 25 - 4(6 - m^2) = 1 + 4m^2$，
$\because m^2 \ge 0, \therefore 1 + 4m^2 ＞ 0$，即$\Delta ＞ 0$，
$\therefore$ 对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：把$x=1$代入原方程，得$(1 - 3) × (1 - 2) = m^2$，
即$m^2 = 2$，解得 $m = \pm \sqrt{2}$，
将$m^2=2$代入原方程的一般形式，得$x^2 - 5x + 4 = 0$，
因式分解得$(x-1)(x-4)=0$，解得 $x_1 = 1,x_2 = 4$，
$\therefore$ 方程的另一个根为4。
【答案】
(1)证明成立，对任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)$m=\pm\sqrt{2}$，方程的另一个根为4。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的解的定义
3.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，第一问侧重考查利用判别式判断方程根的情况，需要结合非负数的性质完成证明；第二问解题方法灵活，既可以直接代入根求解参数，也可以用根与系数的关系简化计算，能有效考查学生对一元二次方程基础性质的掌握程度。
【难度系数】
0.8