8.如图,在$△ ABC$中,若$∠ B=∠ ACB$,$AD⊥ BC,CE⊥ AB,AE=CE$.求证:
(1)$△ AEF≌△ CEB$;
(2)$AF=2CD$.

证明：
(1) $\because CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ EAF + ∠ B = 90°$。
$\because AD ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ECB + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ ECB$。
在$△ AEF$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ EAF = ∠ ECB \\AE = CE \\∠ AEF = ∠ CEB\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ CEB \ (\mathrm{ASA})$。
(2) 由$△ AEF ≌ △ CEB$，得$AF = CB$。
$\because ∠ B = ∠ ACB$，
$\therefore AB = AC$，即$△ ABC$为等腰三角形。
又$\because AD ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一性质，得$BD = CD$，
$\therefore BC = 2CD$，
$\therefore AF = 2CD$。

【分析】
(1) 证明三角形全等需先找对应相等的边和角：已知AE=CE，由CE⊥AB可得∠AEF=∠CEB=90°；再结合AD⊥BC，根据同角的余角相等可推出∠EAF=∠ECB，满足ASA全等判定条件，即可证得△AEF≌△CEB。
(2) 要证AF=2CD，先由全等三角形的性质得AF=BC，再推导BC和CD的关系：由∠B=∠ACB可知△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC=2CD，等量代换即可证得结论。
【解析】
(1) $\because CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ AEF = ∠ CEB = 90°$，
$\therefore ∠ EAF + ∠ B = 90°$。
$\because AD ⊥ BC$，
$\therefore ∠ ECB + ∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ EAF = ∠ ECB$。
在$△ AEF$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}∠ EAF = ∠ ECB \\AE = CE \\∠ AEF = ∠ CEB\end{cases}$
$\therefore △ AEF ≌ △ CEB \ (\mathrm{ASA})$。
(2) 由$△ AEF ≌ △ CEB$，得$AF = CB$。
$\because ∠ B = ∠ ACB$，
$\therefore AB = AC$，即$△ ABC$为等腰三角形。
又$\because AD ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一性质，得$BD = CD$，
$\therefore BC = 2CD$，
$\therefore AF = 2CD$。
【答案】
(1) $△ AEF≌△ CEB$成立；
(2) $AF=2CD$成立。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是三角形知识的基础综合题，解题核心是找准全等三角形的对应相等条件，结合等腰三角形三线合一的性质推导线段的倍分关系，能有效考查对三角形核心性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

9. 提升题 在$△ ABC$中，$D$，$F$分别为线段$AC$，$AB$上两点，连接$BD$，$CF$，交于点$E$.
(1)若$BD⊥ AC$，$CF⊥ AB$，如图①，则$∠ A+∠ BEC=$；
(2)若$BD$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，如图②，试说明此时$∠ BAC$与$∠ BEC$的数量关系；
(3)在(2)的条件下，若$∠ BAC=60°$，求证$EF=ED$.

解：
(1) $\boldsymbol{180°}$
(2) $\because BD$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ EBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ECB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在$△ ABC$中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC$，
$\therefore ∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=90°-\frac{1}{2}∠ BAC$。
在$△ BEC$中，$∠ BEC=180°-(∠ EBC+∠ ECB)$，
代入得：$∠ BEC=180°-(90°-\frac{1}{2}∠ BAC)=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$。
(3) 证明：过点$E$作$EG⊥ AB$于$G$，$EH⊥ AC$于$H$。
由(2)得$∠ BEC=90°+\frac{1}{2}∠ BAC$，
$\because ∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ BEC=90°+\frac{1}{2}×60°=120°$，
$\therefore ∠ FEB=∠ DEC=180°-120°=60°$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$CF$平分$∠ ACB$，$EG⊥ AB$，$EH⊥ AC$，
$\therefore EG=EH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在四边形$AFEH$中，$∠ A=60°$，$∠ EGF=∠ EHD=90°$，
$\therefore ∠ GEH=360°-90°-90°-60°=120°$，
即$∠ GEF+∠ FEH=120°$，
又$∠ HED+∠ FEH=∠ FED=∠ BEC=120°$，
$\therefore ∠ GEF=∠ HED$。
在$△ EFG$和$△ EDH$中：
$\begin{cases}∠ EGF=∠ EHD=90° \\EG=EH \\∠ GEF=∠ HED\end{cases}$
$\therefore △ EFG≌△ EDH\ (\mathrm{ASA})$，
$\therefore EF=ED$。

【分析】
(1) 已知BD⊥AC，CF⊥AB，可得∠AFE=∠ADE=90°，结合四边形内角和为360°可推出∠A与∠FED的和为180°，再利用对顶角相等即可得到∠A和∠BEC的数量关系。
(2) 先根据角平分线的定义得到∠EBC、∠ECB分别为∠ABC、∠ACB的一半，再结合三角形内角和定理，将∠EBC与∠ECB的和用∠BAC表示，最后代入△BEC的内角和公式整理，即可得到∠BAC与∠BEC的数量关系。
(3) 要证EF=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。结合角平分线的性质，过点E作AB、AC的垂线得到相等的垂线段，再推导角相等，利用ASA证明三角形全等，即可得到线段相等的结论。
【解析】
(1)
∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AFE=∠ADE=90°，
在四边形AFED中，∠A+∠AFE+∠FED+∠ADE=360°，
∴∠A+∠FED=360°-90°-90°=180°，
又
∵∠FED和∠BEC是对顶角，
∴∠FED=∠BEC，
∴∠A+∠BEC=180°。
(2)
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∴∠EBC+∠ECB=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC。
在△BEC中，∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)，
代入得：∠BEC=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠BAC)=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC。
(3) 证明：过点E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H。
由(2)的结论得∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BEC=90°+$\frac{1}{2}$×60°=120°，
∴∠FEB=∠DEC=180°-120°=60°。
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，EG⊥AB，EH⊥AC，
∴EG=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在四边形AFEH中，∠A=60°，∠EGF=∠EHD=90°，
∴∠GEH=360°-90°-90°-60°=120°，即∠GEF+∠FEH=120°，
又
∵∠HED+∠FEH=∠FED=∠BEC=120°，
∴∠GEF=∠HED。
在△EFG和△EDH中：
$\begin{cases}∠EGF=∠EHD=90° \\EG=EH \\∠GEF=∠HED\end{cases}$
∴△EFG≌△EDH（ASA），
∴EF=ED。
【答案】
(1) $\boldsymbol{180°}$
(2) $\boldsymbol{∠BEC=90°+\frac{1}{2}∠BAC}$
(3) 证明成立，EF=ED。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题梯度设置合理，从基础角度计算到线段相等的证明，综合考查了三角形相关的核心知识点，能够有效训练逻辑推理能力和辅助线构造能力，是三角形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6