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1.在平面直角坐标系中，到原点的距离为2的所有的点构成的图形是（
A.直线
B.正方形
C.圆
D.菱形
C
）A.直线
B.正方形
C.圆
D.菱形
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的基本定义，抓住题目的两个核心条件：一是定点为平面直角坐标系的原点，二是定长为到原点的距离等于2。我们需要判断哪个图形满足“所有点到定点的距离都等于定长”的特征，再逐一排除不符合的选项即可得出答案。首先明确各图形性质：直线上的点到原点的距离不固定；正方形、菱形只有部分特殊点到原点的距离为2，不满足所有点的要求；而圆刚好符合到定点距离等于定长的点的集合的特征。
【解析】
根据圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。
本题中定点是平面直角坐标系的原点，定长为2，因此满足条件的所有点构成的图形是以原点为圆心、半径为2的圆。
对其余选项逐一排除：
A. 直线上的点到原点的距离可以取任意非负值，不都等于2，不符合要求；
B. 正方形、D. 菱形仅部分点（如顶点）到原点的距离可能为2，无法保证所有点到原点的距离都是2，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的定义
2. 两点间的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的定义的理解和应用，只要准确掌握圆的本质特征，结合其他平面图形的性质即可快速选出正确答案，注意不要混淆不同平面图形的几何特征。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆圆的基本定义，抓住题目的两个核心条件：一是定点为平面直角坐标系的原点，二是定长为到原点的距离等于2。我们需要判断哪个图形满足“所有点到定点的距离都等于定长”的特征，再逐一排除不符合的选项即可得出答案。首先明确各图形性质：直线上的点到原点的距离不固定；正方形、菱形只有部分特殊点到原点的距离为2，不满足所有点的要求；而圆刚好符合到定点距离等于定长的点的集合的特征。
【解析】
根据圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径。
本题中定点是平面直角坐标系的原点，定长为2，因此满足条件的所有点构成的图形是以原点为圆心、半径为2的圆。
对其余选项逐一排除：
A. 直线上的点到原点的距离可以取任意非负值，不都等于2，不符合要求；
B. 正方形、D. 菱形仅部分点（如顶点）到原点的距离可能为2，无法保证所有点到原点的距离都是2，不符合要求。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 圆的定义
2. 两点间的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的定义的理解和应用，只要准确掌握圆的本质特征，结合其他平面图形的性质即可快速选出正确答案，注意不要混淆不同平面图形的几何特征。
【难度系数】
0.9
2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ C=90°,AC=8,BC=6,O$ 为 $AB$ 的中点.若以点 $O$ 为圆心,5 为半径作 $\odot O$,则下列说法正确的是 (
A.点 $C$ 在 $\odot O$ 外
B.点 $C$ 在 $\odot O$ 上
C.点 $C$ 在 $\odot O$ 内
D.无法确定点 $C$ 和 $\odot O$ 的位置关系
B
)A.点 $C$ 在 $\odot O$ 外
B.点 $C$ 在 $\odot O$ 上
C.点 $C$ 在 $\odot O$ 内
D.无法确定点 $C$ 和 $\odot O$ 的位置关系
答案
2.B
解析
【分析】
要判断点C与⊙O的位置关系，需比较点C到圆心O的距离OC和圆半径r的大小关系：若OC＞r，点在圆外；OC=r，点在圆上；OC＜r，点在圆内。首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OC的长度，最后将OC与半径5比较即可得到结论。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
∵O是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
∵⊙O的半径r=5
∴OC=r，即点C在⊙O上
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，将直角三角形的性质和点与圆的位置关系判定结合考查，解题的关键是正确求出点C到圆心O的距离，再与半径作比较。
【难度系数】
0.8
要判断点C与⊙O的位置关系，需比较点C到圆心O的距离OC和圆半径r的大小关系：若OC＞r，点在圆外；OC=r，点在圆上；OC＜r，点在圆内。首先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边中线的性质求出OC的长度，最后将OC与半径5比较即可得到结论。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
∵O是AB的中点，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
∴$OC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$
∵⊙O的半径r=5
∴OC=r，即点C在⊙O上
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；点与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，将直角三角形的性质和点与圆的位置关系判定结合考查，解题的关键是正确求出点C到圆心O的距离，再与半径作比较。
【难度系数】
0.8
3.已知M,N是⊙O上的两点.若OM=4,则下列结论正确的是 (
A.MN＞8
B.MN=8
C.0＜MN＜8
D.0＜MN≤8
D
)A.MN＞8
B.MN=8
C.0＜MN＜8
D.0＜MN≤8
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确圆的基本要素：OM是⊙O的半径，由此可推出圆的直径长度；其次要知道连接圆上两点的线段叫做弦，圆中最长的弦是直径；最后结合M、N是不同的两点，推导弦MN的长度范围即可判断选项。
【解析】
∵ M、N是⊙O上的两点，OM=4
∴ ⊙O的半径为4，直径为$2×4=8$
∵ MN是连接⊙O上两点的弦，且M、N为不同的点
∴ 弦MN的长度大于0，且最长为直径的长度8，即$0＜ MN≤8$
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.圆的基本概念
2.弦的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆中弦长的取值范围，解题关键是牢记“圆内最长的弦是直径”这一结论，熟练掌握圆的相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确圆的基本要素：OM是⊙O的半径，由此可推出圆的直径长度；其次要知道连接圆上两点的线段叫做弦，圆中最长的弦是直径；最后结合M、N是不同的两点，推导弦MN的长度范围即可判断选项。
【解析】
∵ M、N是⊙O上的两点，OM=4
∴ ⊙O的半径为4，直径为$2×4=8$
∵ MN是连接⊙O上两点的弦，且M、N为不同的点
∴ 弦MN的长度大于0，且最长为直径的长度8，即$0＜ MN≤8$
因此选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.圆的基本概念
2.弦的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆中弦长的取值范围，解题关键是牢记“圆内最长的弦是直径”这一结论，熟练掌握圆的相关概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.如图,在$\odot O$中,
AB
是直径;半径有OA,OB
;以A为端点的弧中,优弧有$\overgroup{ADC},\overgroup{ADF},\overgroup{ABE},\overgroup{ABD}$(写法不唯一)
,劣弧有$\overgroup{AF},\overgroup{AC},\overgroup{AD},\overgroup{AE}$
.答案
4.AB OA,OB $\overgroup{ADC},\overgroup{ADF},\overgroup{ABE},\overgroup{ABD}$(写法不唯一) $\overgroup{AF},\overgroup{AC},\overgroup{AD},\overgroup{AE}$
解析
【分析】
解题前先明确圆的相关概念：①直径是经过圆心的弦；②半径是连接圆心与圆上任意一点的线段；③优弧是大于半圆的弧，需用三个字母表示；④劣弧是小于半圆的弧，可用两个字母表示。按照定义依次对应图形查找对应元素即可：第一步找过圆心的弦得到直径；第二步找圆心到圆上点的线段得到半径；第三步找以A为端点、长度大于半圆的弧得到优弧；第四步找以A为端点、长度小于半圆的弧得到劣弧。
【解析】
1. 找直径：根据直径的定义，经过圆心的弦为直径，图中弦AB经过圆心O，因此AB是直径。
2. 找半径：根据半径的定义，连接圆心和圆上任意一点的线段为半径，因此OA、OB都是$\odot O$的半径。
3. 找以A为端点的优弧：优弧长度大于半圆，需用三个字母表示，符合要求的有$\overgroup{ADC}$、$\overgroup{ADF}$、$\overgroup{ABE}$、$\overgroup{ABD}$（写法不唯一）。
4. 找以A为端点的劣弧：劣弧长度小于半圆，符合要求的有$\overgroup{AF}$、$\overgroup{AC}$、$\overgroup{AD}$、$\overgroup{AE}$。
【答案】
AB；OA,OB；$\overgroup{ADC},\overgroup{ADF},\overgroup{ABE},\overgroup{ABD}$(写法不唯一)；$\overgroup{AF},\overgroup{AC},\overgroup{AD},\overgroup{AE}$
【知识点】
直径的定义；半径的定义；弧的分类
【点评】
本题属于圆的基础概念考查题，解题核心是准确区分直径、半径、优弧、劣弧的定义，尤其注意优弧需要用三个字母标注，避免和劣弧的表示方法混淆。
【难度系数】
0.8
解题前先明确圆的相关概念：①直径是经过圆心的弦；②半径是连接圆心与圆上任意一点的线段；③优弧是大于半圆的弧，需用三个字母表示；④劣弧是小于半圆的弧，可用两个字母表示。按照定义依次对应图形查找对应元素即可：第一步找过圆心的弦得到直径；第二步找圆心到圆上点的线段得到半径；第三步找以A为端点、长度大于半圆的弧得到优弧；第四步找以A为端点、长度小于半圆的弧得到劣弧。
【解析】
1. 找直径：根据直径的定义，经过圆心的弦为直径，图中弦AB经过圆心O，因此AB是直径。
2. 找半径：根据半径的定义，连接圆心和圆上任意一点的线段为半径，因此OA、OB都是$\odot O$的半径。
3. 找以A为端点的优弧：优弧长度大于半圆，需用三个字母表示，符合要求的有$\overgroup{ADC}$、$\overgroup{ADF}$、$\overgroup{ABE}$、$\overgroup{ABD}$（写法不唯一）。
4. 找以A为端点的劣弧：劣弧长度小于半圆，符合要求的有$\overgroup{AF}$、$\overgroup{AC}$、$\overgroup{AD}$、$\overgroup{AE}$。
【答案】
AB；OA,OB；$\overgroup{ADC},\overgroup{ADF},\overgroup{ABE},\overgroup{ABD}$(写法不唯一)；$\overgroup{AF},\overgroup{AC},\overgroup{AD},\overgroup{AE}$
【知识点】
直径的定义；半径的定义；弧的分类
【点评】
本题属于圆的基础概念考查题，解题核心是准确区分直径、半径、优弧、劣弧的定义，尤其注意优弧需要用三个字母标注，避免和劣弧的表示方法混淆。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB是$\odot O$的直径，点C，D都在$\odot O$上，$∠ BOC = 110°$，$AD // OC$，则$∠ AOD$的度数为
40°
。答案
5.40°
解析
【分析】
解题时先从平角的性质入手，先求出∠AOC的度数；再利用平行线的内错角相等，得到△OAD的底角∠OAD的度数；结合圆的半径相等可知△OAD是等腰三角形，得到另一个底角的度数，最后用三角形内角和即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，
已知$∠ BOC=110°$，
∴$∠ AOC = 180° - 110° = 70°$。
∵$AD// OC$，
∴$∠ OAD = ∠ AOC = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OD$，即$△ OAD$为等腰三角形，
∴$∠ ODA = ∠ OAD = 70°$。
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ AOD = 180° - ∠ OAD - ∠ ODA = 180° - 70° - 70° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆的半径相等；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的基本性质和三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清各角之间的数量关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从平角的性质入手，先求出∠AOC的度数；再利用平行线的内错角相等，得到△OAD的底角∠OAD的度数；结合圆的半径相等可知△OAD是等腰三角形，得到另一个底角的度数，最后用三角形内角和即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOC + ∠ BOC = 180°$，
已知$∠ BOC=110°$，
∴$∠ AOC = 180° - 110° = 70°$。
∵$AD// OC$，
∴$∠ OAD = ∠ AOC = 70°$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵OA、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OD$，即$△ OAD$为等腰三角形，
∴$∠ ODA = ∠ OAD = 70°$。
在$△ OAD$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ AOD = 180° - ∠ OAD - ∠ ODA = 180° - 70° - 70° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
圆的半径相等；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，将圆的基本性质和三角形、平行线的性质结合考查，解题的关键是理清各角之间的数量关系，逐步推导求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，AB，AC为$\odot O$的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，$∠ B=∠ C$.求证:$CE=BF$.
答案
6.【证明】
∵OB,OC是⊙O的半径，
∴OB=OC.
又∠B=∠C,∠BOE=∠COF，
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴OE=OF.
∴OE+OC=OB+OF.
∴CE=BF.
∵OB,OC是⊙O的半径，
∴OB=OC.
又∠B=∠C,∠BOE=∠COF，
∴△EOB≌△FOC(ASA).
∴OE=OF.
∴OE+OC=OB+OF.
∴CE=BF.
解析
【分析】
要证明CE=BF，首先观察两条线段的构成：CE=OC+OE，BF=OB+OF。根据圆的基本性质，同圆的半径相等，可得OB=OC，因此只需证明OE=OF即可推出结论。要证OE=OF，可通过证明△EOB与△FOC全等实现：已知∠B=∠C，∠BOE和∠COF是对顶角天然相等，再结合OB=OC的条件，即可用ASA判定两个三角形全等，得到OE=OF，最终通过线段和的推导证出CE=BF。
【解析】
证明：
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC。
又
∵∠B=∠C，∠BOE=∠COF（对顶角相等），
∴△EOB≌△FOC（ASA）。
∴OE=OF。
∴OE+OC=OB+OF，
即CE=BF。
【答案】
CE=BF，得证。
【知识点】
1.圆的半径性质
2.全等三角形的判定与性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合了圆的基本性质与三角形全等的知识点考查，解题的关键是挖掘同圆半径相等的隐含条件，准确找到全等三角形，再通过线段和差关系推导结论，要求同学们熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.8
要证明CE=BF，首先观察两条线段的构成：CE=OC+OE，BF=OB+OF。根据圆的基本性质，同圆的半径相等，可得OB=OC，因此只需证明OE=OF即可推出结论。要证OE=OF，可通过证明△EOB与△FOC全等实现：已知∠B=∠C，∠BOE和∠COF是对顶角天然相等，再结合OB=OC的条件，即可用ASA判定两个三角形全等，得到OE=OF，最终通过线段和的推导证出CE=BF。
【解析】
证明：
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB=OC。
又
∵∠B=∠C，∠BOE=∠COF（对顶角相等），
∴△EOB≌△FOC（ASA）。
∴OE=OF。
∴OE+OC=OB+OF，
即CE=BF。
【答案】
CE=BF，得证。
【知识点】
1.圆的半径性质
2.全等三角形的判定与性质
3.对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，结合了圆的基本性质与三角形全等的知识点考查，解题的关键是挖掘同圆半径相等的隐含条件，准确找到全等三角形，再通过线段和差关系推导结论，要求同学们熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】
0.8
7. 下列各组图形中,四个顶点一定在同一个圆上的是 (
A.矩形、菱形
B.矩形、正方形
C.菱形、正方形
D.平行四边形、菱形
B
)A.矩形、菱形
B.矩形、正方形
C.菱形、正方形
D.平行四边形、菱形
答案
7.B
解析
【分析】
要判断四边形的四个顶点是否共圆，核心依据有两个：一是圆内接四边形对角互补；二是若四个点到同一个定点的距离相等，则这四个点共圆。解题时先回忆各特殊四边形的性质，逐一验证是否满足上述共圆条件即可。
【解析】
首先明确四点共圆的判定规则：①对角互补的四边形，四个顶点共圆；②四个顶点到某一定点的距离相等时，四点共圆。
我们逐个分析选项中的图形性质：
1. 矩形：四个内角均为90°，对角和为180°，满足对角互补；且矩形对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点的距离相等，因此矩形的四个顶点一定共圆。
2. 菱形：普通菱形的对角相等但和不为180°，只有特殊的菱形（正方形）才满足对角互补，因此一般菱形的四个顶点不一定共圆。
3. 正方形：属于特殊的矩形，四个内角均为90°，对角互补，对角线交点到四个顶点距离相等，因此正方形的四个顶点一定共圆。
4. 平行四边形：普通平行四边形仅对角相等，对角和不一定为180°，因此四个顶点不一定共圆。
综上，只有矩形、正方形的四个顶点一定共圆，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆判定、特殊四边形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，结合特殊四边形的性质判断四点共圆，熟练掌握常见四边形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断四边形的四个顶点是否共圆，核心依据有两个：一是圆内接四边形对角互补；二是若四个点到同一个定点的距离相等，则这四个点共圆。解题时先回忆各特殊四边形的性质，逐一验证是否满足上述共圆条件即可。
【解析】
首先明确四点共圆的判定规则：①对角互补的四边形，四个顶点共圆；②四个顶点到某一定点的距离相等时，四点共圆。
我们逐个分析选项中的图形性质：
1. 矩形：四个内角均为90°，对角和为180°，满足对角互补；且矩形对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点的距离相等，因此矩形的四个顶点一定共圆。
2. 菱形：普通菱形的对角相等但和不为180°，只有特殊的菱形（正方形）才满足对角互补，因此一般菱形的四个顶点不一定共圆。
3. 正方形：属于特殊的矩形，四个内角均为90°，对角互补，对角线交点到四个顶点距离相等，因此正方形的四个顶点一定共圆。
4. 平行四边形：普通平行四边形仅对角相等，对角和不一定为180°，因此四个顶点不一定共圆。
综上，只有矩形、正方形的四个顶点一定共圆，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆判定、特殊四边形性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，结合特殊四边形的性质判断四点共圆，熟练掌握常见四边形的性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
8. 如图，A，B，C是$\odot O$上三点，$∠ OAB=80°$，$∠ OBC=60°$，则$∠ ABC$的度数为
140°
。答案
8.140°
解析
【分析】
解题时先利用圆的性质：同圆的所有半径相等，可得OA=OB，因此△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的特征，可求出∠OBA的度数；再观察图形可知∠ABC由∠OBA和∠OBC两部分组成，将两个角的度数相加即可得到最终结果。
【解析】
∵ OA、OB都是⊙O的半径
∴ OA=OB，即△OAB为等腰三角形
∴ ∠OBA=∠OAB=80°（等腰三角形等边对等角）
由图可知，∠ABC=∠OBA+∠OBC
已知∠OBC=60°，代入得：
∠ABC=80°+60°=140°
【答案】
140°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是圆的性质和等腰三角形性质的基础综合题，解题的关键是准确识别图形中角的组成关系，结合已知条件逐步推导，整体计算难度不大，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆的性质：同圆的所有半径相等，可得OA=OB，因此△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的特征，可求出∠OBA的度数；再观察图形可知∠ABC由∠OBA和∠OBC两部分组成，将两个角的度数相加即可得到最终结果。
【解析】
∵ OA、OB都是⊙O的半径
∴ OA=OB，即△OAB为等腰三角形
∴ ∠OBA=∠OAB=80°（等腰三角形等边对等角）
由图可知，∠ABC=∠OBA+∠OBC
已知∠OBC=60°，代入得：
∠ABC=80°+60°=140°
【答案】
140°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题是圆的性质和等腰三角形性质的基础综合题，解题的关键是准确识别图形中角的组成关系，结合已知条件逐步推导，整体计算难度不大，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
9.点P到⊙O的最短距离为2 cm，最长距离为7 cm，则⊙O的半径长是
2.5 cm或4.5 cm
。答案
9.2.5 cm或4.5 cm
解析
【分析】
解决本题首先要明确点与圆有3种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，结合题中给出的最短距离和最长距离不相等，可排除点在圆上的情况，因此分两种情况讨论：①点P在圆内；②点P在圆外。两种情况下，点到圆的最短和最长距离都在过点P和圆心的直线上，据此分别计算直径，再求出半径即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点$ P $在$ \odot O $内部时：
点到圆的最长距离与最短距离之和等于圆的直径，即直径$ d = 2\mathrm{cm} + 7\mathrm{cm} = 9\mathrm{cm} $，
因此半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\mathrm{cm} $。
2. 当点$ P $在$ \odot O $外部时：
点到圆的最长距离与最短距离之差等于圆的直径，即直径$ d = 7\mathrm{cm} - 2\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm} $，
因此半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\mathrm{cm} $。
综上，$ \odot O $的半径为$ 2.5\mathrm{cm} $或$ 4.5\mathrm{cm} $。
【答案】
2.5 cm或4.5 cm
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本概念
【点评】
本题是易错题，解题的关键是不要遗漏点与圆的位置关系的所有可能情况，培养分类讨论的数学思维，避免仅考虑其中一种位置关系导致漏解。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确点与圆有3种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，结合题中给出的最短距离和最长距离不相等，可排除点在圆上的情况，因此分两种情况讨论：①点P在圆内；②点P在圆外。两种情况下，点到圆的最短和最长距离都在过点P和圆心的直线上，据此分别计算直径，再求出半径即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当点$ P $在$ \odot O $内部时：
点到圆的最长距离与最短距离之和等于圆的直径，即直径$ d = 2\mathrm{cm} + 7\mathrm{cm} = 9\mathrm{cm} $，
因此半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5\mathrm{cm} $。
2. 当点$ P $在$ \odot O $外部时：
点到圆的最长距离与最短距离之差等于圆的直径，即直径$ d = 7\mathrm{cm} - 2\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm} $，
因此半径$ r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\mathrm{cm} $。
综上，$ \odot O $的半径为$ 2.5\mathrm{cm} $或$ 4.5\mathrm{cm} $。
【答案】
2.5 cm或4.5 cm
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本概念
【点评】
本题是易错题，解题的关键是不要遗漏点与圆的位置关系的所有可能情况，培养分类讨论的数学思维，避免仅考虑其中一种位置关系导致漏解。
【难度系数】
0.6
