1. 如图1，点B，E，C，F在同一条直线上，$BC=EF$，$AB// DE$，$∠ A=∠ D$.
（1）求证：$△ ABC≌△ DEF$.
（2）若$AC=3\ \mathrm{cm}$，求$DF$的长.

（1）证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ B=∠ DEF$.
在$△ ABC$和$△ DEF$中，$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\∠ B=∠ DEF,\\BC=EF,\end{cases}$ $\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{AAS})$
（2）$\because △ ABC≌△ DEF$，$\therefore AC=DF$. $\because AC=3\ \mathrm{cm}$，$\therefore DF=3\ \mathrm{cm}$

【分析】
（1）要证明$△ ABC≌△ DEF$，先梳理已知条件：由$AB// DE$可根据平行线的同位角相等性质得到$∠ B=∠ DEF$，再结合题目给出的$∠ A=∠ D$、$BC=EF$，刚好满足角角边（AAS）的全等判定条件，即可完成证明。
（2）要求$DF$的长，可利用全等三角形对应边相等的性质，由第一问的全等结论可得$DF$和$AC$是对应边，二者相等，代入$AC$的长度即可求出$DF$。
【解析】
（1）证明：$\because AB// DE$，$\therefore ∠ B=∠ DEF$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ABC$和$△ DEF$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ D,\\∠ B=∠ DEF,\\BC=EF,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEF(\mathrm{AAS})$。
（2）解：$\because △ ABC≌△ DEF$，$\therefore AC=DF$（全等三角形对应边相等）。
$\because AC=3\ \mathrm{cm}$，$\therefore DF=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
（1）$△ ABC≌△ DEF$得证；（2）$DF=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础考察题，解题核心是熟练运用平行线性质和全等三角形的判定、性质定理，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.8

2. 如图2，AC与BD相交于点O，AB=DC，要使△ABO≌△DCO，则需添加的一个条件可以是，并说明理由。 图2

2. $∠ B=∠ C$（答案不唯一）. 理由如下：在$△ ABO$和$△ DCO$中，$\begin{cases}∠ AOB=∠ DOC,\\∠ B=∠ C,\\AB=DC,\end{cases}$ $\therefore △ ABO≌△ DCO$（AAS）

【分析】
要解决这道题，首先梳理已知和隐含条件：已知$AB=DC$，$AC$与$BD$交于点$O$，可得对顶角$∠AOB=∠DOC$，目前已有一组边相等、一组角相等，要判定$△ ABO≌△ DCO$，结合全等三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，即可利用AAS判定两个三角形全等，因此可添加$∠B=∠C$（或$∠A=∠D$，答案不唯一）。
【解析】
添加的条件：$\boldsymbol{∠B=∠C}$（答案不唯一）
理由：在$△ ABO$和$△ DCO$中，
$\begin{cases}∠AOB=∠DOC\quad (\mathrm{对顶角相等}),\\∠B=∠C,\\AB=DC,\end{cases}$
$\therefore △ ABO≌△ DCO \quad (\mathrm{AAS})$
【答案】
$∠B=∠C$（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的AAS判定；对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的开放性试题，解题时要先挖掘题目隐含的对顶角相等的条件，再结合已知的边相等的条件，选择合适的全等判定定理补充对应条件即可，注意避免使用SSA等无法判定三角形全等的条件。
【难度系数】
0.8

3. 如图3，在△ABC中，AB=AC，AD是高，E在AD上。求证：（1）△ABD≌△ACD.（2）BE=CE.

（1）证明：$\because AD$是高，$\therefore AD⊥ BC$.
$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\begin{cases}AB=AC,\\AD=AD,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL）
（2）$\because \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$，$\therefore DB=DC$. 在$△ BDE$和$△ CDE$中，$\begin{cases}ED=ED,\\∠ EDB=∠ EDC,\\BD=CD,\end{cases}$ $\therefore △ BDE≌△ CDE$（SAS）. $\therefore BE=CE$

【分析】
（1）要证明$△ ABD≌△ ACD$，先由AD是高可知两个三角形都是直角三角形，已知斜边$AB=AC$，且AD是两个三角形的公共直角边，符合直角三角形全等的HL判定条件，即可完成证明；
（2）要证明$BE=CE$，可通过证明BE、CE所在的$△ BDE$和$△ CDE$全等来推导。由第一问的全等结论可得$BD=CD$，结合AD是高可得$∠ EDB=∠ EDC$，再加上ED为公共边，符合SAS全等判定条件，证得两三角形全等后对应边相等，即可得到$BE=CE$。
【解析】
（1）证明：
$\because AD$是高，$\therefore AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ ACD$中：
$\begin{cases}AB=AC\\AD=AD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL）。
（2）证明：
$\because \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$，$\therefore BD=CD$，
在$△ BDE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}ED=ED\\∠ EDB=∠ EDC\\BD=CD\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDE$（SAS），
$\therefore BE=CE$。
【答案】
（1）$\because AD$是高，$\therefore AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 和 $\mathrm{Rt}△ ACD$中，$\begin{cases}AB=AC,\\AD=AD,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$（HL）；
（2）$\because \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ ACD$，$\therefore DB=DC$。在$△ BDE$和$△ CDE$中，$\begin{cases}ED=ED,\\∠ EDB=∠ EDC,\\BD=CD,\end{cases}$ $\therefore △ BDE≌△ CDE$（SAS），$\therefore BE=CE$。
【知识点】
HL全等判定、SAS全等判定、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查全等三角形的判定与性质的应用，解题时需要结合高、等腰三角形的特征挖掘隐含的等角、等边条件，凑齐全等判定所需的要素即可完成推导，能够帮助学生巩固全等证明的基本思路。
【难度系数】
0.8