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结构梳理
有理数的除法
填空:①;②;③;④;⑤。
有理数的除法
填空:①;②;③;④;⑤。
答案
解：①正；②负；③绝对值；④0；⑤倒数。
解析
【分析】
本题考查有理数除法的基础法则，属于识记类题目。解题时首先回忆有理数除法的两类规则：一是直接做除法的运算规则，包含符号判断、数值计算、0相关的除法要求；二是除法转化为乘法的运算规则，对应空缺位置依次匹配对应知识点即可得出答案。
【解析】
根据有理数除法的相关法则：
1. 两数相除的符号规则：同号的两个数相除，结果符号为正，因此①填“正”；
2. 异号的两个数相除，结果符号为负，因此②填“负”；
3. 确定符号后，需将两个数的绝对值相除得到结果的数值部分，因此③填“绝对值”；
4. 根据0的除法运算性质：0除以任何非0的数结果都为0，因此④填“0”；
5. 有理数除法可转化为乘法运算：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，因此⑤填“倒数”。
【答案】
①正；②负；③绝对值；④0；⑤倒数
【知识点】
有理数除法法则；倒数；0的除法性质
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查对有理数除法相关基础规则的记忆，是后续有理数混合运算的基础，熟练掌握相关法则即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
本题考查有理数除法的基础法则，属于识记类题目。解题时首先回忆有理数除法的两类规则：一是直接做除法的运算规则，包含符号判断、数值计算、0相关的除法要求；二是除法转化为乘法的运算规则，对应空缺位置依次匹配对应知识点即可得出答案。
【解析】
根据有理数除法的相关法则：
1. 两数相除的符号规则：同号的两个数相除，结果符号为正，因此①填“正”；
2. 异号的两个数相除，结果符号为负，因此②填“负”；
3. 确定符号后，需将两个数的绝对值相除得到结果的数值部分，因此③填“绝对值”；
4. 根据0的除法运算性质：0除以任何非0的数结果都为0，因此④填“0”；
5. 有理数除法可转化为乘法运算：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，因此⑤填“倒数”。
【答案】
①正；②负；③绝对值；④0；⑤倒数
【知识点】
有理数除法法则；倒数；0的除法性质
【点评】
本题属于基础概念题，侧重考查对有理数除法相关基础规则的记忆，是后续有理数混合运算的基础，熟练掌握相关法则即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
1. 对于式子“$2÷(-3\dfrac{3}{5})$”的变形正确的是（）
A.$-2×3\dfrac{3}{5}$
B.$2×\dfrac{18}{5}$
C.$2×\dfrac{5}{18}$
D.$-2×\dfrac{5}{18}$
A.$-2×3\dfrac{3}{5}$
B.$2×\dfrac{18}{5}$
C.$2×\dfrac{5}{18}$
D.$-2×\dfrac{5}{18}$
答案
D
解析
【分析】
要判断该除法式子的变形是否正确，需按照有理数除法的运算逻辑逐步推导：首先回忆有理数除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，且异号两数相除结果为负；其次要先把除数的带分数转化为假分数，再求倒数，最后转化为乘法形式，和选项对比即可。
【解析】
第一步：将除数的带分数化为假分数：
$-3\dfrac{3}{5}=-\dfrac{3×5 + 3}{5}=-\dfrac{18}{5}$
第二步：根据有理数除法法则转化为乘法：
两数相除，异号得负，再结合“除以一个数等于乘它的倒数”可得：
$2÷(-3\dfrac{3}{5})=2÷(-\dfrac{18}{5})=2×(-\dfrac{5}{18})=-2×\dfrac{5}{18}$
对比选项，只有D选项符合变形结果。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则，带分数化假分数，倒数的认识
【点评】
本题是有理数除法的基础变形题，核心考查除法转乘法的运算规则，解题时需注意先确定运算符号，再正确完成带分数的转化和倒数的求解，避免因符号判断错误、带分数转化错误或倒数求反失分。
【难度系数】
0.8
要判断该除法式子的变形是否正确，需按照有理数除法的运算逻辑逐步推导：首先回忆有理数除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，且异号两数相除结果为负；其次要先把除数的带分数转化为假分数，再求倒数，最后转化为乘法形式，和选项对比即可。
【解析】
第一步：将除数的带分数化为假分数：
$-3\dfrac{3}{5}=-\dfrac{3×5 + 3}{5}=-\dfrac{18}{5}$
第二步：根据有理数除法法则转化为乘法：
两数相除，异号得负，再结合“除以一个数等于乘它的倒数”可得：
$2÷(-3\dfrac{3}{5})=2÷(-\dfrac{18}{5})=2×(-\dfrac{5}{18})=-2×\dfrac{5}{18}$
对比选项，只有D选项符合变形结果。
【答案】
D
【知识点】
有理数除法法则，带分数化假分数，倒数的认识
【点评】
本题是有理数除法的基础变形题，核心考查除法转乘法的运算规则，解题时需注意先确定运算符号，再正确完成带分数的转化和倒数的求解，避免因符号判断错误、带分数转化错误或倒数求反失分。
【难度系数】
0.8
2. 下列各算式中,结果最大的是 ()
A.$16×\frac{5}{7}$
B.$16÷\frac{5}{7}$
C.$\frac{5}{7}÷16$
D.$\frac{5}{7}÷5$
A.$16×\frac{5}{7}$
B.$16÷\frac{5}{7}$
C.$\frac{5}{7}÷16$
D.$\frac{5}{7}÷5$
答案
B
解析
【分析】
要找出结果最大的算式，我们可以结合有理数乘除的规律快速判断，也可以直接计算各选项结果再比较。首先回忆相关规律：正数乘小于1的正数，积小于原数；正数乘大于1的正数，积大于原数；除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。我们逐个分析选项：A是16乘小于1的$\frac{5}{7}$，结果小于16；B是16除以$\frac{5}{7}$，等价于乘大于1的$\frac{7}{5}$，结果大于16；C、D都是小于1的正数除以大于1的整数，结果都远小于1，显然远小于B的结果，因此可快速锁定B为正确选项。
【解析】
我们可以通过计算各选项结果验证：
A. $16×\frac{5}{7}=\frac{80}{7}\approx11.43$，结果小于16；
B. 根据除以一个数等于乘它的倒数，$16÷\frac{5}{7}=16×\frac{7}{5}=\frac{112}{5}=22.4$，结果大于16；
C. $\frac{5}{7}÷16=\frac{5}{7}×\frac{1}{16}=\frac{5}{112}\approx0.045$，结果远小于1；
D. $\frac{5}{7}÷5=\frac{5}{7}×\frac{1}{5}=\frac{1}{7}\approx0.14$，结果远小于1。
对比四个结果，$22.4＞\frac{80}{7}＞\frac{1}{7}＞\frac{5}{112}$，因此结果最大的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘除运算，倒数的性质，数的大小比较
【点评】
本题既可以通过直接计算结果判断大小，也可以利用乘除运算的规律快速得出答案，熟练掌握运算规律能大幅提升解题速度和准确率，是有理数运算部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
要找出结果最大的算式，我们可以结合有理数乘除的规律快速判断，也可以直接计算各选项结果再比较。首先回忆相关规律：正数乘小于1的正数，积小于原数；正数乘大于1的正数，积大于原数；除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。我们逐个分析选项：A是16乘小于1的$\frac{5}{7}$，结果小于16；B是16除以$\frac{5}{7}$，等价于乘大于1的$\frac{7}{5}$，结果大于16；C、D都是小于1的正数除以大于1的整数，结果都远小于1，显然远小于B的结果，因此可快速锁定B为正确选项。
【解析】
我们可以通过计算各选项结果验证：
A. $16×\frac{5}{7}=\frac{80}{7}\approx11.43$，结果小于16；
B. 根据除以一个数等于乘它的倒数，$16÷\frac{5}{7}=16×\frac{7}{5}=\frac{112}{5}=22.4$，结果大于16；
C. $\frac{5}{7}÷16=\frac{5}{7}×\frac{1}{16}=\frac{5}{112}\approx0.045$，结果远小于1；
D. $\frac{5}{7}÷5=\frac{5}{7}×\frac{1}{5}=\frac{1}{7}\approx0.14$，结果远小于1。
对比四个结果，$22.4＞\frac{80}{7}＞\frac{1}{7}＞\frac{5}{112}$，因此结果最大的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘除运算，倒数的性质，数的大小比较
【点评】
本题既可以通过直接计算结果判断大小，也可以利用乘除运算的规律快速得出答案，熟练掌握运算规律能大幅提升解题速度和准确率，是有理数运算部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 若计算式子$(2□7)△(-\dfrac{1}{3})$的结果为最大，则应分别在$□$，$△$中填入下列选项中的（）
A.$+,-$
B.$×,-$
C.$÷,-$
D.$-,÷$
A.$+,-$
B.$×,-$
C.$÷,-$
D.$-,÷$
答案
D
解析
【分析】
要找到使式子结果最大的符号组合，我们可以采用逐一代入验证的方法：把每个选项中的符号分别填入和△，按照有理数的运算法则计算出每个式子的结果，再比较四个结果的大小，结果最大的对应的选项就是正确答案。计算时要注意负数运算的符号规则，尤其是减去负数等于加它的相反数，除以负数要注意符号变化。
【解析】
我们依次计算每个选项的结果：
选项A：填+，△填-
原式=$(2+7)-(-\dfrac{1}{3})=9+\dfrac{1}{3}=9\dfrac{1}{3}$
选项B：填×，△填-
原式=$(2×7)-(-\dfrac{1}{3})=14+\dfrac{1}{3}=14\dfrac{1}{3}$
选项C：填÷，△填-
原式=$(2÷7)-(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{21}$
选项D：填-，△填÷
原式=$(2-7)÷(-\dfrac{1}{3})=(-5)×(-3)=15$
比较四个结果：$15＞14\dfrac{1}{3}＞9\dfrac{1}{3}＞\dfrac{13}{21}$，因此选项D的结果最大。
【答案】
D
【知识点】
有理数四则运算；有理数大小比较
【点评】
本题解题核心是通过代入法逐一计算各选项的结果再比较大小，运算过程中要格外注意负数相关的运算法则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
要找到使式子结果最大的符号组合，我们可以采用逐一代入验证的方法：把每个选项中的符号分别填入和△，按照有理数的运算法则计算出每个式子的结果，再比较四个结果的大小，结果最大的对应的选项就是正确答案。计算时要注意负数运算的符号规则，尤其是减去负数等于加它的相反数，除以负数要注意符号变化。
【解析】
我们依次计算每个选项的结果：
选项A：填+，△填-
原式=$(2+7)-(-\dfrac{1}{3})=9+\dfrac{1}{3}=9\dfrac{1}{3}$
选项B：填×，△填-
原式=$(2×7)-(-\dfrac{1}{3})=14+\dfrac{1}{3}=14\dfrac{1}{3}$
选项C：填÷，△填-
原式=$(2÷7)-(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{13}{21}$
选项D：填-，△填÷
原式=$(2-7)÷(-\dfrac{1}{3})=(-5)×(-3)=15$
比较四个结果：$15＞14\dfrac{1}{3}＞9\dfrac{1}{3}＞\dfrac{13}{21}$，因此选项D的结果最大。
【答案】
D
【知识点】
有理数四则运算；有理数大小比较
【点评】
本题解题核心是通过代入法逐一计算各选项的结果再比较大小，运算过程中要格外注意负数相关的运算法则，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
4. (1)计算$27÷(-9)$，先确定结果的符号为号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以$27÷(-9)=-($$÷$$)=$；
(2)计算$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})$，先确定结果的符号为号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的”计算，即$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})=-(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=$；
(2)计算$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})$，先确定结果的符号为号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的”计算，即$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})=-(\_\_\_\_\_\_×\_\_\_\_\_\_)=$；
答案
解：
(1) 计算$27÷(-9)$，先确定结果的符号为负号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以$27÷(-9)=-(27÷9)=-3$；
(2) 计算$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})$，先确定结果的符号为负号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”计算，即$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})=-(\dfrac{3}{4}×\dfrac{8}{15})=-\dfrac{2}{5}$。
(1) 计算$27÷(-9)$，先确定结果的符号为负号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以$27÷(-9)=-(27÷9)=-3$；
(2) 计算$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})$，先确定结果的符号为负号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”计算，即$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})=-(\dfrac{3}{4}×\dfrac{8}{15})=-\dfrac{2}{5}$。
解析
【分析】
解决有理数除法问题的核心思路是“先定符号，再算绝对值”：首先根据“两数相除，同号得正，异号得负”确定结果的符号，再计算绝对值部分的商：若绝对值相除结果为整数，可直接做除法运算；若结果不是整数，就利用“除以一个非0数等于乘它的倒数”，将除法转化为乘法后约分计算。
(1)中27是正数，-9是负数，两数异号，因此结果符号为负，绝对值分别是27和9，直接相除即可得结果；
(2)中被除数是正数，除数是负数，两数异号，结果符号为负，绝对值是分数除法，因此转化为乘倒数计算即可。
【解析】
(1) 两数相除异号得负，因此先确定结果的符号为负号；计算绝对值的商时，27和9相除得整数，因此$27÷(-9)=-(27÷9)=-3$；
(2) 被除数为正、除数为负，异号得负，因此先确定结果的符号为负号；绝对值是分数除法，结果不是整数，因此利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”计算，即$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})=-(\dfrac{3}{4}×\dfrac{8}{15})=-\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1) 负；27；9；-3
(2) 负；倒数；$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{8}{15}$；$-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
有理数除法法则；倒数的定义
【点评】
本题是有理数除法的基础应用类题目，重点考察有理数除法的运算步骤，帮助学生熟练掌握“先定符号、再算绝对值”的运算逻辑，区分整数除法和分数除法的计算方法，是巩固除法运算法则的典型习题。
【难度系数】
0.9
解决有理数除法问题的核心思路是“先定符号，再算绝对值”：首先根据“两数相除，同号得正，异号得负”确定结果的符号，再计算绝对值部分的商：若绝对值相除结果为整数，可直接做除法运算；若结果不是整数，就利用“除以一个非0数等于乘它的倒数”，将除法转化为乘法后约分计算。
(1)中27是正数，-9是负数，两数异号，因此结果符号为负，绝对值分别是27和9，直接相除即可得结果；
(2)中被除数是正数，除数是负数，两数异号，结果符号为负，绝对值是分数除法，因此转化为乘倒数计算即可。
【解析】
(1) 两数相除异号得负，因此先确定结果的符号为负号；计算绝对值的商时，27和9相除得整数，因此$27÷(-9)=-(27÷9)=-3$；
(2) 被除数为正、除数为负，异号得负，因此先确定结果的符号为负号；绝对值是分数除法，结果不是整数，因此利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”计算，即$(+\dfrac{3}{4})÷(-\dfrac{15}{8})=-(\dfrac{3}{4}×\dfrac{8}{15})=-\dfrac{2}{5}$。
【答案】
(1) 负；27；9；-3
(2) 负；倒数；$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{8}{15}$；$-\dfrac{2}{5}$
【知识点】
有理数除法法则；倒数的定义
【点评】
本题是有理数除法的基础应用类题目，重点考察有理数除法的运算步骤，帮助学生熟练掌握“先定符号、再算绝对值”的运算逻辑，区分整数除法和分数除法的计算方法，是巩固除法运算法则的典型习题。
【难度系数】
0.9
