8.【例4】利用因式分解计算：$101^2 - 99^2$

8. 解:原式 = $(101 + 99)(101 - 99) = 200 × 2 = 400$.

【分析】
首先观察算式结构，发现是两个数的平方作差，完全符合平方差公式$a^2 - b^2$的形式，因此不需要直接计算两个数的平方再相减，可利用平方差公式先因式分解再计算，能大幅降低计算量。解题时先确定公式中$a=101$、$b=99$，代入公式后分别计算两个括号内的和与差，最后相乘即可得到结果。
【解析】
解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$可得：
原式$=(101 + 99)×(101 - 99)$
$=200×2$
$=400$
【答案】
$400$
【知识点】
平方差公式因式分解、有理数简便运算
【点评】
本题考查利用因式分解简化运算，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，灵活运用公式降低计算难度，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.9

9. 利用因式分解计算：$52.8^2 - 47.2^2$

9. 解:原式 = $(52.8 + 47.2) × (52.8 - 47.2)$
= $100 × 5.6 = 560$.

【分析】
观察算式的结构，发现是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此可以利用平方差公式先对原式因式分解，将复杂的平方运算转化为更简单的加减、乘法运算，大幅降低计算难度，减少计算失误。
【解析】
解：原式符合平方差公式的结构，其中$a=52.8$，$b=47.2$，根据平方差公式因式分解可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(52.8 + 47.2) × (52.8 - 47.2)\\&=100 × 5.6\\&=560\end{aligned}$
【答案】
$560$
【知识点】
平方差公式；因式分解的简便应用
【点评】
本题是利用因式分解简化计算的典型基础题，解题核心是准确识别平方差的式子结构，熟练运用平方差公式转化运算，能有效避免直接计算平方带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.85

1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）

A.$a^2 + b^2$
B.$5m^2 - 20mn$
C.$-x^2 - y^2$
D.$-x^2 + 9$

1. D

【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都可以写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只要对照这三个条件逐一分析每个选项就能得出答案。
【解析】
平方差公式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐一分析选项：
选项A：$a^2 + b^2$是二项式，两项都为平方形式，但两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
选项B：$5m^2 - 20mn$的第二项是$-20mn$，不是整式平方的形式，不符合要求，不能用平方差公式分解；
选项C：$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，括号内两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
选项D：$-x^2 + 9 = 9 - x^2 = 3^2 - x^2$，符合平方差公式的结构特征，可以分解为$(3+x)(3-x)$，满足要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式分解因式的适用条件，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，判断时可先对多项式做简单变形再对照特征验证。
【难度系数】
0.8

2. (2025广西)因式分解:$a^2 -1 = ( )$

A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$

A

【分析】
本题考查因式分解的公式法应用，解题思路如下：第一步先观察待分解的式子$a^2-1$的结构，发现它是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式的适用条件；第二步回忆平方差公式的内容，将式子中的对应项代入公式计算；第三步将得到的结果和选项对比，选出正确答案，也可以通过将各选项展开逆推验证结果。
【解析】
我们可以利用平方差公式进行因式分解，平方差公式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$。
观察待分解式$a^2 -1$，可改写为$a^2 - 1^2$，其中对应$m=a$，$n=1$，代入公式得：
$a^2 -1 = a^2 - 1^2 = (a+1)(a-1)$，对应选项A。
也可通过展开选项验证：
B选项：$a(a+1)=a^2+a$，不符合原式；
C选项：$(a+1)^2=a^2+2a+1$，不符合原式；
D选项：$(a-1)^2=a^2-2a+1$，不符合原式。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别与应用，熟练掌握常用因式分解公式的形式是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9

3.若$2a + 4b = 6$，$a - 2b = 1$，则$a^2 - 4b^2$的值为。

3. 3

【分析】
首先观察所求代数式$a^2 - 4b^2$，其结构符合平方差公式的形式，因此可以先利用平方差公式对其因式分解，得到$(a+2b)(a-2b)$。再看已知条件，等式$2a+4b=6$的左边可以提取公因数2，变形得到$a+2b$的值，再结合已知的$a-2b=1$，将两个因式的值整体代入即可求出结果，不需要单独计算a和b的取值，简化计算过程。
【解析】
解：根据平方差公式可得：
$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a + 2b)(a - 2b)$
由已知$2a + 4b = 6$，等式左边提取公因数2，得：
$2(a + 2b) = 6$
两边同时除以2，解得：
$a + 2b = 3$
又已知$a - 2b = 1$，将$a + 2b = 3$、$a - 2b = 1$代入因式分解后的式子，得：
$a^2 - 4b^2 = 3×1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题的关键是先观察所求代数式的结构，利用因式分解将其转化为含有已知条件的形式，再通过整体代入的方法计算，避免单独求解未知数，降低计算复杂度。
【难度系数】
0.8

4. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长,则整式$(a - b)^2 - c^2$ 0.(填“＞”“＜”或“=”)

4. ＜

【分析】
首先观察整式的结构，$(a-b)^2 - c^2$是两个平方相减的形式，符合平方差公式的特征，因此第一步优先考虑用平方差公式将其因式分解为两个整式的乘积；接下来结合三角形三边的关系，分别判断两个因式的正负性；最后根据有理数乘法的符号法则（同号得正，异号得负），即可判断整式与0的大小关系。
【解析】
首先利用平方差公式对整式因式分解：
$(a - b)^2 - c^2 = (a - b + c)(a - b - c)$
因为$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系：
三角形任意两边之和大于第三边，因此$a + c ＞ b$，移项得$a - b + c ＞ 0$；
同时三角形任意两边之差小于第三边，因此$a - b ＜ c$，移项得$a - b - c ＜ 0$。
一个正数与一个负数相乘，积为负数，因此$(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即$(a - b)^2 - c^2 ＜ 0$。
【答案】
＜
【知识点】
平方差公式因式分解；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础常考题，解题核心是先通过因式分解变形代数式，再结合三角形三边性质判断各因式的符号，熟练掌握相关基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 分解因式:
(1)$1 - 4m^2$;
(2)$-\dfrac{1}{4}m^2 + 9n^2$;
(3)$25m^2 - x^2y^2$;
(4)$(2m + n)^2 - m^2$.
能力提升

5. (1)解:原式 = $1^2 - (2m)^2 = (1 + 2m)(1 - 2m)$.
(2)解:原式 = $9n^2 - \dfrac{1}{4}m^2 = (3n)^2 - (\dfrac{1}{2}m)^2 = (3n + \dfrac{1}{2}m)(3n - \dfrac{1}{2}m)$.
(3)解:原式 = $(5m)^2 - (xy)^2 = (5m + xy)(5m - xy)$.
(4)解:原式 = $(2m + n + m)(2m + n - m) = (3m + n)(m + n)$.

【分析】
这4道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：两项、符号相反、每项均可化为某个整式的平方，解题思路统一为：①先将原式变形为$a^2-b^2$的形式，确定对应公式中的$a$、$b$分别代表哪个整式；②直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$进行分解；③若分解后还有同类项，需合并同类项得到最简结果。具体到各小题：(1)直接将1、$4m^2$分别化为$1^2$、$(2m)^2$即可套用公式；(2)先调整两项顺序，把正项放前面，再将$9n^2$、$\dfrac{1}{4}m^2$分别化为$(3n)^2$、$(\dfrac{1}{2}m)^2$；(3)将$25m^2$、$x^2y^2$分别化为$(5m)^2$、$(xy)^2$；(4)把$(2m+n)$和$m$分别看作整体，直接套用公式后再合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式可转化为平方差形式：$1=1^2$，$4m^2=(2m)^2$，因此：
原式$=1^2 - (2m)^2=(1 + 2m)(1 - 2m)$
(2) 先调整两项顺序得$9n^2 - \dfrac{1}{4}m^2$，其中$9n^2=(3n)^2$，$\dfrac{1}{4}m^2=(\dfrac{1}{2}m)^2$，因此：
原式$=(3n)^2 - (\dfrac{1}{2}m)^2=(3n + \dfrac{1}{2}m)(3n - \dfrac{1}{2}m)$
(3) $25m^2=(5m)^2$，$x^2y^2=(xy)^2$，因此：
原式$=(5m)^2 - (xy)^2=(5m + xy)(5m - xy)$
(4) 把$(2m+n)$和$m$看作整体，直接套用平方差公式，再合并同类项：
原式$=(2m + n + m)(2m + n - m)=(3m + n)(m + n)$
【答案】
(1) $(1 + 2m)(1 - 2m)$
(2) $(3n + \dfrac{1}{2}m)(3n - \dfrac{1}{2}m)$
(3) $(5m + xy)(5m - xy)$
(4) $(3m + n)(m + n)$
【知识点】
1. 平方差公式因式分解 2. 整式乘方 3. 合并同类项
【点评】
本题考查因式分解中平方差公式的应用，解题核心是准确识别平方差“两项异号、均为平方项”的结构特征，正确定位公式中的$a$和$b$，遇到含整体结构的式子时可先将整体视为单个项处理，分解后注意化简得到最简结果，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8

6. (代数推理)学习了因式分解的知识后,老师提出了这样一个问题:已知$n$为整数,那么$(n+7)^2 - (n-3)^2$的值一定能被20整除吗？若能,请说明理由;若不能,请举出一个反例.

6. 解:能. 理由如下:
原式 = $[(n + 7) + (n - 3)][(n + 7) - (n - 3)]$
= $10(2n + 4) = 20(n + 2)$.
$\because n$为整数,
$\therefore (n + 7)^2 - (n - 3)^2$ 的值一定能被 20 整除.

【分析】
观察到所求式子是两个整式的平方作差的形式，符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步，套用平方差公式对原式进行因式分解；第二步，对分解后的式子去括号、合并同类项，化简为最简形式；第三步，结合n为整数的条件，判断化简结果是否为20的整数倍，即可得出结论。
【解析】
解：能，理由如下：
$\begin{aligned}(n+7)^2 - (n-3)^2&=[(n + 7) + (n - 3)][(n + 7) - (n - 3)]\\&=(2n+4)×10\\&=20(n + 2)\end{aligned}$
∵n为整数，
∴n+2也为整数，
∴$(n + 7)^2 - (n - 3)^2$的值是20的整数倍，一定能被20整除。
【答案】
能. 理由如下:原式 = $[(n + 7) + (n - 3)][(n + 7) - (n - 3)]$= $10(2n + 4) = 20(n + 2)$.$\because n$为整数,$\therefore (n + 7)^2 - (n - 3)^2$ 的值一定能被 20 整除.
【知识点】
1. 平方差公式 2. 因式分解的应用
【点评】
本题考查代数推理中整除性的判断，解题核心是通过因式分解简化整式运算，关键是准确识别式子的平方差结构，熟练掌握因式分解公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. (拓展题)如图,大正方形A的边长为$a$,小正方形B的边长为$b$,两个正方形重叠部分(阴影部分)的面积为$m$.
(1)用含$b,m$的代数式表示正方形B中空白部分的面积:;
(2)若$a + b = 8$,$a - b = 4$,设正方形A中空白部分的面积为$S_1$,正方形B中空白部分的面积为$S_2$,求$S_1 - S_2$的值.

7. 解:(1) $b^2 - m$
(2)由题易得正方形B中空白部分的面积 $S_2 = b^2 - m$,
正方形A中空白部分的面积 $S_1 = a^2 - m$.
$\therefore S_1 - S_2 = a^2 - m - (b^2 - m) = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.
$\because a + b = 8,a - b = 4,\therefore S_1 - S_2 = 8 × 4 = 32$.

【分析】
（1）求正方形B的空白面积时，先明确正方形总面积的计算方法，空白部分面积等于正方形B的总面积减去重叠阴影部分的面积，直接代入对应量列式即可。
（2）先分别写出两个正方形空白部分的面积表达式：正方形A的空白面积$S_1$是A的总面积减去重叠面积，$S_2$就是第（1）问得到的结果。计算$S_1-S_2$时，代入表达式后可发现重叠面积$m$会相互抵消，剩余的$a^2-b^2$可利用平方差公式变形，直接将已知的$a+b$和$a-b$整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化运算。
【解析】
（1）正方形B的面积为$b^2$，重叠部分面积为$m$，因此空白部分面积为：$b^2 - m$。
（2）由题意可得：
正方形A的空白面积$S_1 = a^2 - m$，正方形B的空白面积$S_2 = b^2 - m$，
则$S_1 - S_2 = (a^2 - m) - (b^2 - m)$
去括号得：$S_1 - S_2 = a^2 - m - b^2 + m$
合并同类项得：$S_1 - S_2 = a^2 - b^2$
由平方差公式因式分解得：$S_1 - S_2 = (a+b)(a-b)$
将$a+b=8$，$a-b=4$代入上式得：
$S_1 - S_2 = 8×4=32$
【答案】
（1）$\boldsymbol{b^2 - m}$；（2）$\boldsymbol{32}$
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题考查面积表示与整式运算的结合应用，解题关键是理清空白部分、总面积、重叠面积三者的数量关系，计算时利用整体代入思想可简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7