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1. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的。已知同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB=1 cm，则线段BC=
（第1题）（第2题）
3
cm。（第1题）（第2题）
答案
1. 3
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：五线谱的五条横线是等距离的平行直线，点A、B、C在同一直线上且分别落在平行横线上，已知AB长为1cm。我们可运用平行线分线段成比例定理求解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，而等距平行线的间隔数之比就等于对应截得线段的长度比。首先数出AB、BC分别对应的平行线间隔数，再结合AB的长度即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵五线谱的五条平行横线是等距离的，
∴相邻两条横线的距离相等，直线AC被这组平行线截得的线段长度比等于对应线段跨越的间隔数之比。
观察图形可得，AB跨越1个间隔，BC跨越3个间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{3}$，
又
∵AB=1cm，
∴$\frac{1}{BC}=\frac{1}{3}$，解得BC=3cm。
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是准确数出两条线段对应的平行线间隔数，将实际问题转化为几何比例问题求解，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先明确已知条件：五线谱的五条横线是等距离的平行直线，点A、B、C在同一直线上且分别落在平行横线上，已知AB长为1cm。我们可运用平行线分线段成比例定理求解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，而等距平行线的间隔数之比就等于对应截得线段的长度比。首先数出AB、BC分别对应的平行线间隔数，再结合AB的长度即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵五线谱的五条平行横线是等距离的，
∴相邻两条横线的距离相等，直线AC被这组平行线截得的线段长度比等于对应线段跨越的间隔数之比。
观察图形可得，AB跨越1个间隔，BC跨越3个间隔，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{1}{3}$，
又
∵AB=1cm，
∴$\frac{1}{BC}=\frac{1}{3}$，解得BC=3cm。
【答案】
3
【知识点】
平行线分线段成比例
【点评】
本题结合生活中的五线谱场景考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题的关键是准确数出两条线段对应的平行线间隔数，将实际问题转化为几何比例问题求解，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 如图，已知点D，E分别在$△ ABC$的边AB，AC上，且$DE// BC$。若$BD=2AD$，则$\frac{CE}{AC}=$
$\frac{2}{3}$
。答案
2. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
已知DE平行于BC，首先联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例。首先根据已知BD=2AD，先求出AD与AB的比值，再利用比例关系得到AE与AC的比值，最后通过线段和差关系求出CE与AC的比值即可。
【解析】
解：
∵ DE//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
又
∵ BD=2AD，
∴ AB=AD+BD=AD+2AD=3AD，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{3AD}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，即$AE=\frac{1}{3}AC$。
∴ $CE=AC-AE=AC-\frac{1}{3}AC=\frac{2}{3}AC$，
∴ $\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{2}{3}AC}{AC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 线段和差计算
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是利用平行线分线段成比例的性质建立线段比例关系，再结合已知的线段倍数关系即可求解，掌握定理内容是解题的关键。
【难度系数】
0.8
已知DE平行于BC，首先联想到平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例。首先根据已知BD=2AD，先求出AD与AB的比值，再利用比例关系得到AE与AC的比值，最后通过线段和差关系求出CE与AC的比值即可。
【解析】
解：
∵ DE//BC，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
又
∵ BD=2AD，
∴ AB=AD+BD=AD+2AD=3AD，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{3AD}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$，即$AE=\frac{1}{3}AC$。
∴ $CE=AC-AE=AC-\frac{1}{3}AC=\frac{2}{3}AC$，
∴ $\frac{CE}{AC}=\frac{\frac{2}{3}AC}{AC}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 平行线分线段成比例
2. 线段和差计算
【点评】
本题是基础应用类题型，核心是利用平行线分线段成比例的性质建立线段比例关系，再结合已知的线段倍数关系即可求解，掌握定理内容是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 如图，直线 $ l_1 // l_2 // l_3 $。
（1）若 $ AB=4, BC=8, EF=12 $，求 $ DE $ 的长。
（2）若 $ DE:EF=2:3, AB=6 $，求 $ AC $ 的长。
（1）若 $ AB=4, BC=8, EF=12 $，求 $ DE $ 的长。
（2）若 $ DE:EF=2:3, AB=6 $，求 $ AC $ 的长。
答案
3. （1）$DE=6$ （2）$AC=15$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：
1. 明确定理内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，本题中$l_1 // l_2 // l_3$，截两条斜线可得对应线段$AB$与$BC$的比等于$DE$与$EF$的比。
2. 第（1）问：将已知的$AB$、$BC$、$EF$的长度代入比例式，即可直接求解$DE$的长度。
3. 第（2）问：先根据$DE$与$EF$的比得到$AB$与$BC$的比，结合$AB$的长度求出$BC$的长度，再利用$AC=AB+BC$即可求出$AC$的长度。
【解析】
解：
∵直线$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$。
（1）将$AB=4, BC=8, EF=12$代入比例式：
$\frac{DE}{12}=\frac{4}{8}$
化简得$\frac{DE}{12}=\frac{1}{2}$，解得$DE=6$。
（2）
∵$DE:EF=2:3$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$，
将$AB=6$代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{3}$，
解得$BC=9$，
∴$AC=AB+BC=6+9=15$。
【答案】
（1）$DE=6$；（2）$AC=15$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算，线段和差运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是找准对应线段，正确列出比例式，计算难度较低，掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：
1. 明确定理内容：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，本题中$l_1 // l_2 // l_3$，截两条斜线可得对应线段$AB$与$BC$的比等于$DE$与$EF$的比。
2. 第（1）问：将已知的$AB$、$BC$、$EF$的长度代入比例式，即可直接求解$DE$的长度。
3. 第（2）问：先根据$DE$与$EF$的比得到$AB$与$BC$的比，结合$AB$的长度求出$BC$的长度，再利用$AC=AB+BC$即可求出$AC$的长度。
【解析】
解：
∵直线$l_1 // l_2 // l_3$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$。
（1）将$AB=4, BC=8, EF=12$代入比例式：
$\frac{DE}{12}=\frac{4}{8}$
化简得$\frac{DE}{12}=\frac{1}{2}$，解得$DE=6$。
（2）
∵$DE:EF=2:3$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{2}{3}$，
将$AB=6$代入得：$\frac{6}{BC}=\frac{2}{3}$，
解得$BC=9$，
∴$AC=AB+BC=6+9=15$。
【答案】
（1）$DE=6$；（2）$AC=15$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算，线段和差运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是找准对应线段，正确列出比例式，计算难度较低，掌握定理内容即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4. 已知:如图,在△ABC中,DE//BC,DF//AC。求证:$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$。
答案
4. 因为$DE//BC$,所以$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}$;因为$DF//AC$,所以$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BD}$。所以$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$。
解析
【分析】
要证明$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$，可通过寻找中间比作为桥梁来推导。结合已知的两组平行线，先利用$DE// BC$的条件，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AC}{CE}$和$\frac{AB}{BD}$的等量关系，再利用$DF// AC$的条件得到$\frac{BC}{BF}$和$\frac{AB}{BD}$的等量关系，最后通过等量代换即可证明待证结论。
【解析】
1. 由平行线分线段成比例定理，当$DE// BC$时，直线DE截$△ ABC$的两边AB、AC，对应线段成比例，因此可得$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}$；
2. 同理，当$DF// AC$时，直线DF截$△ ABC$的两边AB、BC，对应线段成比例，因此可得$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BD}$；
3. 两个比例式均和$\frac{AB}{BD}$相等，通过等量代换即可得到$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$。
【答案】
因为$DE//BC$,所以$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}$;因为$DF//AC$,所以$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BD}$。所以$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$。
【知识点】
平行线分线段成比例、等量代换
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是找到公共中间比作为桥梁完成比例的等量转换，熟练掌握平行线截线段的比例对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$，可通过寻找中间比作为桥梁来推导。结合已知的两组平行线，先利用$DE// BC$的条件，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{AC}{CE}$和$\frac{AB}{BD}$的等量关系，再利用$DF// AC$的条件得到$\frac{BC}{BF}$和$\frac{AB}{BD}$的等量关系，最后通过等量代换即可证明待证结论。
【解析】
1. 由平行线分线段成比例定理，当$DE// BC$时，直线DE截$△ ABC$的两边AB、AC，对应线段成比例，因此可得$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}$；
2. 同理，当$DF// AC$时，直线DF截$△ ABC$的两边AB、BC，对应线段成比例，因此可得$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BD}$；
3. 两个比例式均和$\frac{AB}{BD}$相等，通过等量代换即可得到$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$。
【答案】
因为$DE//BC$,所以$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{BD}$;因为$DF//AC$,所以$\frac{BC}{BF}=\frac{AB}{BD}$。所以$\frac{AC}{CE}=\frac{BC}{BF}$。
【知识点】
平行线分线段成比例、等量代换
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是找到公共中间比作为桥梁完成比例的等量转换，熟练掌握平行线截线段的比例对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
