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6. 下列式子中,变形正确的是().
A.$\dfrac{-x+y}{-x-y}=\dfrac{x-y}{x+y}$
B.$\dfrac{a+b}{a+b}=0$
C.$\dfrac{ab-1}{ac-1}=\dfrac{b-1}{c-1}$
D.$\dfrac{a+m}{b+m}=\dfrac{a}{b}$
A.$\dfrac{-x+y}{-x-y}=\dfrac{x-y}{x+y}$
B.$\dfrac{a+b}{a+b}=0$
C.$\dfrac{ab-1}{ac-1}=\dfrac{b-1}{c-1}$
D.$\dfrac{a+m}{b+m}=\dfrac{a}{b}$
答案
A
解析
【分析】
本题考查分式的变形，解题核心是熟练运用分式的基本性质和符号变化规律逐一验证选项：首先回忆分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时分式的符号规律为：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。接下来对每个选项分别用上述规则判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：对分子分母分别提取负号，分子$-x+y=-(x-y)$，分母$-x-y=-(x+y)$，因此$\dfrac{-x+y}{-x-y}=\dfrac{-(x-y)}{-(x+y)}$，分子分母的负号可以约去，得到$\dfrac{x-y}{x+y}$，变形正确。
选项B：当$a+b≠0$时，分子分母完全相同的分式值为1，不是0，变形错误。
选项C：分式约分需要约去分子和分母的公因式，分子$ab-1$没有因式$a$，即$ab-1≠ a(b-1)$，不能直接约去$a$，变形错误。
选项D：分式的基本性质是分子分母同时乘除同一个不为0的整式，不是同时加同一个数，因此$\dfrac{a+m}{b+m}=\dfrac{a}{b}$不成立（$m≠0$时），变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式符号化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查对分式基本性质的理解，易错点是误将分子分母同时加同一个数、或者约去不是公因式的部分，学习时要注意区分分式变形中乘除和加减的区别。
【难度系数】
0.8
本题考查分式的变形，解题核心是熟练运用分式的基本性质和符号变化规律逐一验证选项：首先回忆分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；同时分式的符号规律为：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。接下来对每个选项分别用上述规则判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：对分子分母分别提取负号，分子$-x+y=-(x-y)$，分母$-x-y=-(x+y)$，因此$\dfrac{-x+y}{-x-y}=\dfrac{-(x-y)}{-(x+y)}$，分子分母的负号可以约去，得到$\dfrac{x-y}{x+y}$，变形正确。
选项B：当$a+b≠0$时，分子分母完全相同的分式值为1，不是0，变形错误。
选项C：分式约分需要约去分子和分母的公因式，分子$ab-1$没有因式$a$，即$ab-1≠ a(b-1)$，不能直接约去$a$，变形错误。
选项D：分式的基本性质是分子分母同时乘除同一个不为0的整式，不是同时加同一个数，因此$\dfrac{a+m}{b+m}=\dfrac{a}{b}$不成立（$m≠0$时），变形错误。
综上，只有A选项变形正确。
【答案】
A
【知识点】
分式的基本性质；分式符号化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查对分式基本性质的理解，易错点是误将分子分母同时加同一个数、或者约去不是公因式的部分，学习时要注意区分分式变形中乘除和加减的区别。
【难度系数】
0.8
7.(易错题)若把分式$\frac{x^2 y^2}{x+y}$中$x,y$的值同时扩大到原来的10倍,则分式的值将().
A.扩大到原来的10倍
B.扩大到原来的100倍
C.扩大到原来的10 000倍
D.扩大到原来的1 000倍
A.扩大到原来的10倍
B.扩大到原来的100倍
C.扩大到原来的10 000倍
D.扩大到原来的1 000倍
答案
D
解析
【分析】
要判断x、y同时扩大到原来的10倍后分式的值的变化，解题思路为：首先用10x、10y分别替换原分式中的x、y，再根据幂的运算规则化简新得到的分式，最后和原分式对比，即可确定分式值扩大的倍数。注意不能只计算分子扩大的倍数，要同时考虑分母的变化。
【解析】
将x、y分别替换为10x、10y，代入原分式得：
新分式 = $\frac{(10x)^2 · (10y)^2}{10x + 10y}$
先计算分子：$(10x)^2 · (10y)^2 = 100x^2 · 100y^2 = 10000x^2y^2$
再化简分母：$10x + 10y = 10(x+y)$
因此新分式 = $\frac{10000x^2y^2}{10(x+y)} = 1000 · \frac{x^2y^2}{x+y}$
对比原分式可知，新分式的值是原分式值的1000倍。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质 2.积的乘方运算
【点评】
本题属于易错题，常见错误是忽略分母也会随x、y的扩大而扩大，误将分子扩大的10000倍当做最终结果错选C。解题时要分别计算分子、分母扩大后的倍数，再通过化简对比得到正确结论，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
要判断x、y同时扩大到原来的10倍后分式的值的变化，解题思路为：首先用10x、10y分别替换原分式中的x、y，再根据幂的运算规则化简新得到的分式，最后和原分式对比，即可确定分式值扩大的倍数。注意不能只计算分子扩大的倍数，要同时考虑分母的变化。
【解析】
将x、y分别替换为10x、10y，代入原分式得：
新分式 = $\frac{(10x)^2 · (10y)^2}{10x + 10y}$
先计算分子：$(10x)^2 · (10y)^2 = 100x^2 · 100y^2 = 10000x^2y^2$
再化简分母：$10x + 10y = 10(x+y)$
因此新分式 = $\frac{10000x^2y^2}{10(x+y)} = 1000 · \frac{x^2y^2}{x+y}$
对比原分式可知，新分式的值是原分式值的1000倍。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质 2.积的乘方运算
【点评】
本题属于易错题，常见错误是忽略分母也会随x、y的扩大而扩大，误将分子扩大的10000倍当做最终结果错选C。解题时要分别计算分子、分母扩大后的倍数，再通过化简对比得到正确结论，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
8. 下列分式的变形:①$\frac{a}{b}=\frac{ac}{bc}(c≠0)$;②$\frac{-a - b}{a + b}=-1$;③$\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b}=\frac{5a + b}{2a - 3b}$;④$\frac{x - y}{x + y}=\frac{y - x}{y + x}$. 其中错误的是.(填序号)
答案
解：
根据分式的基本性质逐一判断：
① 已知$c≠0$，将分式$\frac{a}{b}$的分子、分母同时乘$c$，可得$\frac{ac}{bc}$，变形正确；
② 由分式有意义可知$a+b≠0$，对分子提取负号得$\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1$，变形正确；
③ 将分式$\frac{0.5a+b}{0.2a-0.3b}$的分子、分母同时乘10，可得$\frac{5a+10b}{2a-3b}$，不等于$\frac{5a+b}{2a-3b}$，变形错误；
④ $\frac{x-y}{x+y}=\frac{-(y-x)}{x+y}=-\frac{y-x}{y+x}$，不等于$\frac{y-x}{y+x}$，变形错误。
其中错误的是$\boldsymbol{③④}$。
根据分式的基本性质逐一判断：
① 已知$c≠0$，将分式$\frac{a}{b}$的分子、分母同时乘$c$，可得$\frac{ac}{bc}$，变形正确；
② 由分式有意义可知$a+b≠0$，对分子提取负号得$\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}=-1$，变形正确；
③ 将分式$\frac{0.5a+b}{0.2a-0.3b}$的分子、分母同时乘10，可得$\frac{5a+10b}{2a-3b}$，不等于$\frac{5a+b}{2a-3b}$，变形错误；
④ $\frac{x-y}{x+y}=\frac{-(y-x)}{x+y}=-\frac{y-x}{y+x}$，不等于$\frac{y-x}{y+x}$，变形错误。
其中错误的是$\boldsymbol{③④}$。
解析
【分析】
这道题考查分式变形的正误判断，解题核心是紧扣分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，同时要掌握分式符号变形的规则。解题时逐一验证4个变形即可：①先确认乘的数不为0，再核对分子分母是否同乘；②先明确分母不为0，再对分子变形约分；③核对分子分母同乘10时每一项是否都参与运算；④核对分子变号时符号规则是否运用正确。
【解析】
根据分式的基本性质逐一判断：
① 已知$c≠0$，将$\frac{a}{b}$的分子、分母同时乘不为0的$c$，可得$\frac{ac}{bc}$，符合分式基本性质，变形正确；
② 由分式有意义的条件可知$a+b≠0$，将分子提取负号得$\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}$，约分后结果为$-1$，变形正确；
③ 将$\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b}$的分子、分母同时乘10时，分子的每一项都要乘10，正确结果应为$\frac{5a + 10b}{2a - 3b}$，题中变形未给$b$乘10，不符合分式基本性质，变形错误；
④ 对$\frac{x - y}{x + y}$的分子变形可得$\frac{x-y}{x+y}=\frac{-(y - x)}{x + y}=-\frac{y - x}{y + x}$，与题中$\frac{y - x}{y + x}$不相等，变形错误。
【答案】
$\boldsymbol{③④}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式的符号化简
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，解题时要注意两点：一是分子分母同乘一个数时，分子分母的每一项都要参与乘法运算，避免漏乘常数项；二是分子或分母整体变号时，分式本身的符号也要对应改变，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
这道题考查分式变形的正误判断，解题核心是紧扣分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，同时要掌握分式符号变形的规则。解题时逐一验证4个变形即可：①先确认乘的数不为0，再核对分子分母是否同乘；②先明确分母不为0，再对分子变形约分；③核对分子分母同乘10时每一项是否都参与运算；④核对分子变号时符号规则是否运用正确。
【解析】
根据分式的基本性质逐一判断：
① 已知$c≠0$，将$\frac{a}{b}$的分子、分母同时乘不为0的$c$，可得$\frac{ac}{bc}$，符合分式基本性质，变形正确；
② 由分式有意义的条件可知$a+b≠0$，将分子提取负号得$\frac{-a-b}{a+b}=\frac{-(a+b)}{a+b}$，约分后结果为$-1$，变形正确；
③ 将$\frac{0.5a + b}{0.2a - 0.3b}$的分子、分母同时乘10时，分子的每一项都要乘10，正确结果应为$\frac{5a + 10b}{2a - 3b}$，题中变形未给$b$乘10，不符合分式基本性质，变形错误；
④ 对$\frac{x - y}{x + y}$的分子变形可得$\frac{x-y}{x+y}=\frac{-(y - x)}{x + y}=-\frac{y - x}{y + x}$，与题中$\frac{y - x}{y + x}$不相等，变形错误。
【答案】
$\boldsymbol{③④}$
【知识点】
1.分式的基本性质 2.分式的符号化简
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，解题时要注意两点：一是分子分母同乘一个数时，分子分母的每一项都要参与乘法运算，避免漏乘常数项；二是分子或分母整体变号时，分式本身的符号也要对应改变，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
9. 对分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$的变形，甲同学的解法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a + b)(a - b)}{a + b} = a - b$；乙同学的解法是$\frac{a^2 - b^2}{a + b} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a^2 - b^2)(a - b)}{a^2 - b^2} = a - b$。请根据分式的基本性质，判断甲、乙两位同学的解法是否正确。
答案
解：
甲同学的解法正确。
因为分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$有意义，所以$a + b ≠ 0$，根据分式的基本性质，将该分式的分子、分母同时除以不为0的整式$a+b$，可得$\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$，变形符合分式基本性质的要求。
乙同学的解法错误。
乙同学变形时，给分式的分子、分母同时乘了整式$a-b$，题目没有给出$a-b ≠ 0$的条件，若$a-b=0$，该操作不符合分式的基本性质，会导致原式无意义，因此变形过程错误。
甲同学的解法正确。
因为分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$有意义，所以$a + b ≠ 0$，根据分式的基本性质，将该分式的分子、分母同时除以不为0的整式$a+b$，可得$\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$，变形符合分式基本性质的要求。
乙同学的解法错误。
乙同学变形时，给分式的分子、分母同时乘了整式$a-b$，题目没有给出$a-b ≠ 0$的条件，若$a-b=0$，该操作不符合分式的基本性质，会导致原式无意义，因此变形过程错误。
解析
【分析】
解题需依据分式的基本性质判断：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，核心注意乘除的整式不能为0。首先明确原式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$有意义的隐含条件是分母$a+b≠0$，再分别分析两位同学的变形操作：甲同学是将分子分母同除以$a+b$，需判断$a+b$是否恒不为0；乙同学是将分子分母同乘$a-b$，需判断$a-b$是否恒不为0，结合条件即可得出结论。
【解析】
甲同学的解法正确。
因为分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$有意义，所以隐含条件$a + b ≠ 0$，根据分式的基本性质，将该分式的分子、分母同时除以不为0的整式$a+b$，可得$\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$，变形符合分式基本性质的要求。
乙同学的解法错误。
乙同学变形时，给分式的分子、分母同时乘了整式$a-b$，题目没有给出$a-b ≠ 0$的条件，若$a-b=0$，该操作不符合分式的基本性质，还会导致变形后的分式分母为0无意义，因此变形过程错误。
【答案】
甲同学的解法正确，乙同学的解法错误。
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式变形的易错题，重点考查对分式基本性质的准确理解，解题时需注意区分原式隐含的分母不为0的条件，以及变形时额外乘除的整式必须保证不为0，避免忽略限制条件导致判断错误。
【难度系数】
0.6
解题需依据分式的基本性质判断：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，核心注意乘除的整式不能为0。首先明确原式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$有意义的隐含条件是分母$a+b≠0$，再分别分析两位同学的变形操作：甲同学是将分子分母同除以$a+b$，需判断$a+b$是否恒不为0；乙同学是将分子分母同乘$a-b$，需判断$a-b$是否恒不为0，结合条件即可得出结论。
【解析】
甲同学的解法正确。
因为分式$\frac{a^2 - b^2}{a + b}$有意义，所以隐含条件$a + b ≠ 0$，根据分式的基本性质，将该分式的分子、分母同时除以不为0的整式$a+b$，可得$\frac{(a+b)(a-b)}{a+b}=a-b$，变形符合分式基本性质的要求。
乙同学的解法错误。
乙同学变形时，给分式的分子、分母同时乘了整式$a-b$，题目没有给出$a-b ≠ 0$的条件，若$a-b=0$，该操作不符合分式的基本性质，还会导致变形后的分式分母为0无意义，因此变形过程错误。
【答案】
甲同学的解法正确，乙同学的解法错误。
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件；平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式变形的易错题，重点考查对分式基本性质的准确理解，解题时需注意区分原式隐含的分母不为0的条件，以及变形时额外乘除的整式必须保证不为0，避免忽略限制条件导致判断错误。
【难度系数】
0.6
10. (推理能力、运算能力)阅读下面的解题过程.
题目:已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$(a,b,c互不相等),求$x+y+z$的值.
解:设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$,
则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)$.
$\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$.
$\therefore x+y+z=0$.
仿照上述方法解答下列问题:
已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$,其中$x+y+z≠0$,求$\frac{x+y-z}{x+y+z}$的值.
题目:已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}$(a,b,c互不相等),求$x+y+z$的值.
解:设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k$,
则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a)$.
$\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$.
$\therefore x+y+z=0$.
仿照上述方法解答下列问题:
已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$,其中$x+y+z≠0$,求$\frac{x+y-z}{x+y+z}$的值.
答案
解：设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则$y+z=kx$，$z+x=ky$，$x+y=kz$。
将三式相加，得：
$y+z+z+x+x+y = kx + ky + kz$，
即$2(x+y+z) = k(x+y+z)$。
$\because x+y+z ≠ 0$，
$\therefore$等式两边同时除以$x+y+z$，得$k=2$。
$\therefore x+y = kz = 2z$。
将$x+y=2z$代入$\frac{x+y-z}{x+y+z}$，得：
$\frac{x+y-z}{x+y+z} = \frac{2z - z}{2z + z} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3}$。
则$y+z=kx$，$z+x=ky$，$x+y=kz$。
将三式相加，得：
$y+z+z+x+x+y = kx + ky + kz$，
即$2(x+y+z) = k(x+y+z)$。
$\because x+y+z ≠ 0$，
$\therefore$等式两边同时除以$x+y+z$，得$k=2$。
$\therefore x+y = kz = 2z$。
将$x+y=2z$代入$\frac{x+y-z}{x+y+z}$，得：
$\frac{x+y-z}{x+y+z} = \frac{2z - z}{2z + z} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3}$。
解析
【分析】
遇到多个分式连等的问题，我们可以参考例题的设参数法求解：第一步，先设这几个相等分式的比值为常数k，将每个分式的分子转化为k与分母的乘积形式；第二步，把得到的三个等式左右两边分别相加，整理得到含x+y+z的等式；第三步，结合题目给出的x+y+z≠0的条件，两边同时除以x+y+z求出k的值；第四步，将k代入x+y=kz，得到x+y与z的数量关系，再把这个关系代入要求值的分式，化简即可得到结果。
【解析】
设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则$y+z=kx$，$z+x=ky$，$x+y=kz$。
将三个等式左右两边分别相加，得：
$y+z+z+x+x+y = kx + ky + kz$，
整理得$2(x+y+z) = k(x+y+z)$。
$\because x+y+z ≠ 0$，
$\therefore$等式两边同时除以$x+y+z$，解得$k=2$。
$\therefore x+y = kz = 2z$，
将$x+y=2z$代入$\frac{x+y-z}{x+y+z}$，得：
$\frac{x+y-z}{x+y+z} = \frac{2z - z}{2z + z} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
连比设k法、等式的性质、分式化简求值
【点评】
本题是方法迁移类题目，核心是掌握连等分式的常用处理技巧——设参数k，解题时要注意利用题目给出的限定条件进行约分化简，通过整体代入的方式简化求值运算，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
遇到多个分式连等的问题，我们可以参考例题的设参数法求解：第一步，先设这几个相等分式的比值为常数k，将每个分式的分子转化为k与分母的乘积形式；第二步，把得到的三个等式左右两边分别相加，整理得到含x+y+z的等式；第三步，结合题目给出的x+y+z≠0的条件，两边同时除以x+y+z求出k的值；第四步，将k代入x+y=kz，得到x+y与z的数量关系，再把这个关系代入要求值的分式，化简即可得到结果。
【解析】
设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
则$y+z=kx$，$z+x=ky$，$x+y=kz$。
将三个等式左右两边分别相加，得：
$y+z+z+x+x+y = kx + ky + kz$，
整理得$2(x+y+z) = k(x+y+z)$。
$\because x+y+z ≠ 0$，
$\therefore$等式两边同时除以$x+y+z$，解得$k=2$。
$\therefore x+y = kz = 2z$，
将$x+y=2z$代入$\frac{x+y-z}{x+y+z}$，得：
$\frac{x+y-z}{x+y+z} = \frac{2z - z}{2z + z} = \frac{z}{3z} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
连比设k法、等式的性质、分式化简求值
【点评】
本题是方法迁移类题目，核心是掌握连等分式的常用处理技巧——设参数k，解题时要注意利用题目给出的限定条件进行约分化简，通过整体代入的方式简化求值运算，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
